Matematika/Atvirkštinė matrica

Atvirkštinė matrica $A^{-1}$ yra tokia matricos A matrica, kad

$AA^{-1}=A^{-1}A=E,$

Čia E yra vienetinė matrica.

$A^{-1}={\frac {1}{|A|}}\cdot {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{bmatrix}},$

Čia |A| yra matricos A determinantas:

$d=detA=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}.$

$A_{11}=(-1)^{1+1}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}),$

$A_{21}=(-1)^{2+1}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}),$

$A_{31}=(-1)^{3+1}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}),$

$A_{12}=(-1)^{1+2}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}),$

$A_{22}=(-1)^{2+2}(a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}),$

$A_{32}=(-1)^{3+2}(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}),$

$A_{13}=(-1)^{1+3}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}),$

$A_{23}=(-1)^{2+3}(a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}),$

$A_{33}=(-1)^{3+3}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}).$

Matricos A adjunktas $A_{ij}$ (čia i simbolizuoja adjunkto eilutę, o j simbolizuoja adjunkto stulpelį) į atvirkštinę matricą dedamas tokiu budu, kad j reiškia eilutę atvirkštinėje matricoje, o i reiškia stulpelį.

• Pavyzdis. Rasti matricos

$A={\begin{bmatrix}3&-1&0\\-2&1&1\\2&-1&4\end{bmatrix}}$

atvirkštinę matricą.

Pirmiausia rasime matricos A determinantą.

$d=|A|={\begin{vmatrix}3&-1&0\\-2&1&1\\2&-1&4\end{vmatrix}}=3\cdot 1\cdot 4+(-1)\cdot 1\cdot 2+(-2)\cdot (-1)\cdot 0-0\cdot 1\cdot 2-(-1)\cdot (-2)\cdot 4-3\cdot 1\cdot (-1)=$

$=12-2+0-0-8+3=10-8+3=5.$

Determinantą galima surasti ir kitu budu, pridėjus antrą determinanto stulpelį, padaugintą iš 3, prie pirmo stulpelio:

$d=|A|={\begin{vmatrix}3&-1&0\\-2&1&1\\2&-1&4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&-1&0\\1&1&1\\-1&-1&4\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}1&1\\-1&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-1\cdot (-1)=5.$

Randame matricos A visus adjunktus:

$A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}1&1\\-1&4\end{vmatrix}}=5;\qquad A_{12}=(-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}-2&1\\2&4\end{vmatrix}}=10;\qquad A_{13}=(-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}-2&1\\2&-1\end{vmatrix}}=0;$

$A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}-1&0\\-1&4\end{vmatrix}}=4;\qquad A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}3&0\\2&4\end{vmatrix}}=12;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}3&-1\\2&-1\end{vmatrix}}=(-1)(-3-(-2))=1;$

$A_{31}=(-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}-1&0\\1&1\end{vmatrix}}=-1;\qquad A_{32}=(-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}3&0\\-2&1\end{vmatrix}}=-3;\qquad A_{33}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}3&-1\\-2&1\end{vmatrix}}=1.$

Toliau sudarome ir apskaičiuojame atvirkštinę A matricą:

$A^{-1}={\frac {1}{|A|}}\cdot {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}\cdot {\begin{bmatrix}5&4&-1\\10&12&-3\\0&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&{\frac {4}{5}}&-{\frac {1}{5}}\\2&{\frac {12}{5}}&-{\frac {3}{5}}\\0&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}.$

Sudauginę A matricą su jos atvirkštine matrica $A^{-1}$, gauname vienetinę matricą:

$E=AA^{-1}={\begin{bmatrix}3&-1&0\\-2&1&1\\2&-1&4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&{\frac {4}{5}}&-{\frac {1}{5}}\\2&{\frac {12}{5}}&-{\frac {3}{5}}\\0&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 1+(-1)\cdot 2+0\cdot 0&3\cdot {\frac {4}{5}}+(-1)\cdot {\frac {12}{5}}+0\cdot {\frac {1}{5}}&3\cdot (-{\frac {1}{5}})+(-1)\cdot (-{\frac {3}{5}})+0\cdot {\frac {1}{5}}\\-2\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 0&-2\cdot {\frac {4}{5}}+1\cdot {\frac {12}{5}}+1\cdot {\frac {1}{5}}&-2\cdot (-{\frac {1}{5}})+1\cdot (-{\frac {3}{5}})+1\cdot {\frac {1}{5}}\\2\cdot 1+(-1)\cdot 2+4\cdot 0&2\cdot {\frac {4}{5}}+(-1)\cdot {\frac {12}{5}}+4\cdot {\frac {1}{5}}&2\cdot (-{\frac {1}{5}})+(-1)\cdot (-{\frac {3}{5}})+4\cdot {\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}3-2+0&{\frac {12}{5}}-{\frac {12}{5}}+0&-{\frac {3}{5}}+{\frac {3}{5}}+0\\-2+2+0&-{\frac {8}{5}}+{\frac {12}{5}}+{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}-{\frac {3}{5}}+{\frac {1}{5}}\\2-2+0&{\frac {8}{5}}-{\frac {12}{5}}+{\frac {4}{5}}&-{\frac {2}{5}}+{\frac {3}{5}}+{\frac {4}{5}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},$