Pereiti prie turinio

Matematika/Atvirkštinė matrica

Iš Wikibooks.
Atvirkštinė matrica yra tokia matricos
matrica, kad
čia E yra vienetinė matrica (EA = AE = A).
Atvirkštinė matrica gaunama taip:
|A| yra matricos A determinantas:

Matricos A adjunktas (čia i simbolizuoja adjunkto eilutę, o j simbolizuoja adjunkto stulpelį) į atvirkštinę matricą dedamas tokiu budu, kad j reiškia eilutę atvirkštinėje matricoje, o i reiškia stulpelį.


  • Pavyzdys. Rasti matricos

atvirkštinę matricą.

Pirmiausia rasime matricos A determinantą.
Determinantą galima surasti ir kitu budu, pridėjus antrą determinanto stulpelį, padaugintą iš 3, prie pirmo stulpelio:

Randame matricos A visus adjunktus:

Toliau sudarome ir apskaičiuojame atvirkštinę A matricą:

Sudauginę A matricą su jos atvirkštine matrica , gauname vienetinę matricą:

Antros eilės matricos atvirkštinė matrica

[keisti]
Tegu duota antros eilės (kvadratinė) matrica
Jos atvirkštinė matrica apskaičiuojama taip:
čia |A| yra matricos A determinantas:
Parodysime kaip ši antros eilės matricos atvirkštinės matricos formulė buvo gauta (ji gauta pagal tuos pačius dėsnius kaip ir trečios ir aukštesnės eilės atvirkštinės matricos).
Matricos
adjunktai yra tokie:
Toliau kaip ir trečios eilės matricai, sukeičiame adjunktų eilutes su stulpeliais (kolonom) ir sudedam į kvadratinę matricą padalintą iš matricos A determinanto:
Gavome atvirkštinę matricos A matricą

Pavyzdžiai

[keisti]
  • Turime matricą
Jos determinantas yra lygus:
Matricos A atvirkštinė matrica yra tokia:
Sudaugtinę matricą A su jos atvirkštine matrica gausime vienetinę matricą E:


  • Turime matricą
Jos determinantas yra lygus:
Matricos A atvirkštinė matrica yra tokia:
Sudaugtinę matricą A su jos atvirkštine matrica gausime vienetinę matricą E:


  • Turime matricą
Šią matricą transponavus ir jos kompleksinius skaičius pakeitus sujungtiniais, gaunama ta pati matrica. Tai yra, matrica yra hermitinė, nes
Rasime jos atvirkštinę matricą
Jos determinantas yra lygus:
Matricos atvirkštinė matrica yra tokia:
Sudaugtinę matricą su jos atvirkštine matrica gauname:
Matrica nėra unitarinė matrica (unitarinėms matricoms galioja tokia lygybė: ), nes Bet Aukštosios Algebros vadovėlyje teigiama, kad matrica yra unitarinė (būna klaidų ir vadovėliuose).


  • Turime matricą
Matrica nėra hermitinė nes
Rasime matricos atvirkštinę matricą
Matricos determinantas yra lygus:
Matricos atvirkštinė matrica yra tokia:
Matome, kad bet nes
Vadovėlyje sakoma, kad kadangi determinantas unitarinės matricos dažnai yra kompleksinis skaičius, tai tik jo modulis yra lygus 1 (kompleksinio skaičiaus modulis yra ). Ir dar sakoma, kad unitarinėms ir ortogonalinėms matricoms Bet ir padauginus matricą
ne iš -1, o iš vis tiek negaunama, kad yra lygu
Sudaugtinę matricą su jos atvirkštine matrica gauname:
Kur ten mato unitarines matricas Aukštosios Algebros vadovėlio pavyzdyje? Nes matricos ir nėra unitarinės.


  • Surasime matricų ir sandaugos atvirkštinę matricą.
Surandame matricos determinantą:
Matricos atvirkštinė matrica yra tokia:
Matome, kad Jei matrica yra unitarinė, tai pritaikius jai žvaigždutinę operaciją (*), turėtume gauti atvirkštinę matricą Žiūrim:
(žvaigždutinė operacija sukeičia elementų eilutes su stulpeliais (transponuoja) ir kompleksinius skaičius pakeičia jiems jungtiniais kompleksiniais skaičiais). Gavome, kad matrica nėra unitarinė (nes ) ir nėra ermitinė (nes ). Vadovėlyje teigiama, kad matrica yra unitarinė (ir kad dviejų unitarinių matricų sandauga yra unitarinė matrica), bet taip nėra.
Sudauginę matricą su jos atvirkštine matrica gauname:


Unitariųjų matricų pavyzdžiai

[keisti]
Vokiškoj, berdos, Vikipedijoje yra teisingų unitariųjų matricų pavyzdžių: https://de.wikipedia.org/wiki/Unitäre_Matrix


  • Turime unitarinę matricą
Jos atvirkštinė matrica yra tokia (matricos U determinantas lygus 1):
Sudauginę matricą su U gauname:


  • Turime unitarinę matricą
Jos determinantas yra (skaičiuojant determinantą iš kiekvienos matricos eilutės (arba stulpelio) reikia iškelti dauginamąjį, todėl 1/4, o ne 1/2 prieš determinantą):
Pritaikę žvaigždutinę operaciją gauname tokią matricą:
O sudauginę ką tik gautą matricą su matrica U gauname:
Matricos U atvirkštinė matrica yra tokia:
Visiškai teisingai. Gavome, kad Matrica U be jokių abejonių yra unitarioji (unitarinė ~1960 metų vadovėlyje).