Matematika/Liestinės ir normalės projekcijos: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos |
|||
5 eilutė: | 5 eilutė: | ||
:Panagrinėkime kreivę, lygtis kurios yra |
:Panagrinėkime kreivę, lygtis kurios yra |
||
:<math>y=f(x).\;</math> |
:<math>y=f(x).\;</math> |
||
:Paimsime ant šitos kreivės tašką <math>M(x_1; y_1) \;</math> ir parašysime lygtį lietinės šitai kreivei taške ''M'', tarę, kad šita liestinė ne lygiagreti ordinačių ašiai. |
:Paimsime ant šitos kreivės tašką <math>M(x_1; y_1) \;</math> (pav. 87) ir parašysime lygtį lietinės šitai kreivei taške ''M'', tarę, kad šita liestinė ne lygiagreti ordinačių ašiai. |
||
:Lygtis tiesės su krypties koeficientų ''k'', praeinančios per tašką ''M'', turi pavidalą |
:Lygtis tiesės su krypties koeficientų ''k'', praeinančios per tašką ''M'', turi pavidalą |
||
:<math>y-y_1=k(x-x_1).</math> |
:<math>y-y_1=k(x-x_1).</math> |
||
21 eilutė: | 21 eilutė: | ||
:<math>y-y_1=-\frac{1}{f'(x_1)}(x-x_1).</math> |
:<math>y-y_1=-\frac{1}{f'(x_1)}(x-x_1).</math> |
||
:Ilgis ''T'' atkarpos ''QM'' liestinės, esančios tarp susilietimo taško ir ašies ''Ox'', vadinamas ''liestinės ilgiu''. Projekcija šitos atkarpos ant ašies ''Ox'', t. y. atkarpa ''QP'', vadinasi ''subtangentė''; ilgis subtangentės žymimas <math>S_T. \;</math> Ilgis ''N'' atkarpos ''MR'' vadinasi ''normalės ilgiu'', o projekcija ''RP'' atkarpos ''RM'' ant ašies ''Ox'' vadinasi ''subnormale''; ilgis subnormalės žymimas <math>S_N. \;</math> |
:Ilgis ''T'' atkarpos ''QM'' (pav. 87) liestinės, esančios tarp susilietimo taško ir ašies ''Ox'', vadinamas ''liestinės ilgiu''. Projekcija šitos atkarpos ant ašies ''Ox'', t. y. atkarpa ''QP'', vadinasi ''subtangentė''; ilgis subtangentės žymimas <math>S_T. \;</math> Ilgis ''N'' atkarpos ''MR'' vadinasi ''normalės ilgiu'', o projekcija ''RP'' atkarpos ''RM'' ant ašies ''Ox'' vadinasi ''subnormale''; ilgis subnormalės žymimas <math>S_N. \;</math> |
||
:Rasime dydžius <math>T</math>, <math>S_T</math>, <math>N,</math> <math>S_N</math> kreivei <math>y=f(x)\;</math> ir taškui <math>M(x_1; \; y_1).</math> |
:Rasime dydžius <math>T</math>, <math>S_T</math>, <math>N,</math> <math>S_N</math> kreivei <math>y=f(x)\;</math> ir taškui <math>M(x_1; \; y_1).</math> |
||
:Iš paveikslėlio 87 matyti, kad |
:Iš paveikslėlio 87 matyti, kad |
||
46 eilutė: | 46 eilutė: | ||
:<math>y-1=-\frac{1}{3}(x-1)</math> |
:<math>y-1=-\frac{1}{3}(x-1)</math> |
||
:arba |
:arba |
||
:<math>y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3} |
:<math>y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}</math> |
||
:(žr. pav. 88) |
|||
*Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės elipsei: |
*Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės elipsei: |
||
:<math>x=a\cos t, \quad y=b\sin t \quad (1)</math> |
:<math>x=a\cos t, \quad y=b\sin t \quad (1)</math> |
||
:taške <math>M(x_1; \; y_1),</math> kuriai <math>t=\frac{\pi}{4} |
:taške <math>M(x_1; \; y_1),</math> kuriai <math>t=\frac{\pi}{4}</math> (pav. 89). |
||
:''Sprendimas''. Iš lygčių (1) randame: |
:''Sprendimas''. Iš lygčių (1) randame: |
||
:<math>\frac{dx}{dt}=-a\sin t; \;\; \frac{dy}{dt}=b\cos t; \;\; \frac{dy}{dx}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t; \;\; k=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=\frac{\pi}{4}}=-\frac{b}{a}\cot\frac{\pi}{4}=-\frac{b}{a}.</math> |
:<math>\frac{dx}{dt}=-a\sin t; \;\; \frac{dy}{dt}=b\cos t; \;\; \frac{dy}{dx}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t; \;\; k=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=\frac{\pi}{4}}=-\frac{b}{a}\cot\frac{\pi}{4}=-\frac{b}{a}.</math> |
||
:Randame koordinates susilietimo taško ''M'': |
:Randame koordinates susilietimo taško ''M'': |
16:17, 17 rugpjūčio 2011 versija
Angliškai liestinės projekcija vadinasi subtangent, o liestinės normalės projekcija vadinasi subnormal. Rusiškai liestinės projekcija vadinasi подкасательная, o liestinės normalės projekcija vadinasi поднормаль.
Lygtis liestinės ir normalės. Ilgiai subtangentės ir subnormalės
- Panagrinėkime kreivę, lygtis kurios yra
- Paimsime ant šitos kreivės tašką (pav. 87) ir parašysime lygtį lietinės šitai kreivei taške M, tarę, kad šita liestinė ne lygiagreti ordinačių ašiai.
- Lygtis tiesės su krypties koeficientų k, praeinančios per tašką M, turi pavidalą
- Liestinei
- todėl lygtis liestinės turi pavidalą
- Drauge su liestine kreivės duotame taške dažnai tenka nagrinėti normalę.
- Apibrėžimas. Kreivės normale duotame taške vadinama tiesė, praeinanti per duotą tašką, statmenai liestinei duotame taške.
- Iš normalės apibrėžimo seka, kad jos krypties koficientas surištas su koeficientu liestinės lygybe
- t. y.
- Iš to seka, kad lygtis normalės kreivės taške turi pavidalą
- Ilgis T atkarpos QM (pav. 87) liestinės, esančios tarp susilietimo taško ir ašies Ox, vadinamas liestinės ilgiu. Projekcija šitos atkarpos ant ašies Ox, t. y. atkarpa QP, vadinasi subtangentė; ilgis subtangentės žymimas Ilgis N atkarpos MR vadinasi normalės ilgiu, o projekcija RP atkarpos RM ant ašies Ox vadinasi subnormale; ilgis subnormalės žymimas
- Rasime dydžius , , kreivei ir taškui
- Iš paveikslėlio 87 matyti, kad
- todėl
- Toliau iš šito pačio paveikslėlio aišku, kad
- todėl
- Šitos formulės išvestos tariant, kad Tačiau jos išsisaugo ir bendru atveju.
Pavyzdžiai
- Parašyti lygtį liestinės ir normalės kreivės taške M(1; 1).
- Sprendimas. Kadangi tai kampinis koeficientas liestinės lygūs
- Iš to seka lygtis liestinės:
- arba
- Lygtis normalės:
- arba
- (žr. pav. 88)
- Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės elipsei:
- taške kuriai (pav. 89).
- Sprendimas. Iš lygčių (1) randame:
- Randame koordinates susilietimo taško M:
- Liestinės lygtis:
- arba
- Normalės lygtis:
- arba
- Ilgis subtangentės:
- Ilgis subnormalės:
- Ilgiai liestinės ir normalės: