Matematika/Liestinės ir normalės projekcijos
Jump to navigation
Jump to search
Angliškai liestinės projekcija vadinasi subtangent, o liestinės normalės projekcija vadinasi subnormal. Rusiškai liestinės projekcija vadinasi подкасательная, o liestinės normalės projekcija vadinasi поднормаль.
Lygtis liestinės ir normalės. Ilgiai subtangentės ir subnormalės[keisti]
- Panagrinėkime kreivę, lygtis kurios yra
- Paimsime ant šitos kreivės tašką (pav. 87) ir parašysime lygtį lietinės šitai kreivei taške M, tarę, kad šita liestinė ne lygiagreti ordinačių ašiai.
- Lygtis tiesės su krypties koeficientų k, praeinančios per tašką M, turi pavidalą
- Liestinei
- todėl lygtis liestinės turi pavidalą
- Drauge su liestine kreivės duotame taške dažnai tenka nagrinėti normalę.
- Apibrėžimas. Kreivės normale duotame taške vadinama tiesė, praeinanti per duotą tašką, statmenai liestinei duotame taške.
- Iš normalės apibrėžimo seka, kad jos krypties koficientas surištas su koeficientu liestinės lygybe
- t. y.
- Iš to seka, kad lygtis normalės kreivės taške turi pavidalą
- Ilgis T atkarpos QM (pav. 87) liestinės, esančios tarp susilietimo taško ir ašies Ox, vadinamas liestinės ilgiu. Projekcija šitos atkarpos ant ašies Ox, t. y. atkarpa QP, vadinasi subtangentė; ilgis subtangentės žymimas Ilgis N atkarpos MR vadinasi normalės ilgiu, o projekcija RP atkarpos RM ant ašies Ox vadinasi subnormale; ilgis subnormalės žymimas
- Rasime dydžius , , kreivei ir taškui
- Iš paveikslėlio 87 matyti, kad
- todėl
- Toliau iš šito pačio paveikslėlio aišku, kad
- todėl
- Šitos formulės išvestos tariant, kad Tačiau jos išsisaugo ir bendru atveju.
Pavyzdžiai[keisti]
- Parašyti lygtį liestinės ir normalės kreivės taške M(1; 1).
- Sprendimas. Kadangi tai kampinis koeficientas liestinės lygūs
- Iš to seka lygtis liestinės:
- arba
- Lygtis normalės:
- arba
- (žr. pav. 88)
- Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės elipsei:
- taške kuriai (pav. 89).
- Sprendimas. Iš lygčių (1) randame:
- Randame koordinates susilietimo taško M:
- Liestinės lygtis:
- arba
- Normalės lygtis:
- arba
- Ilgis subtangentės:
- Ilgis subnormalės:
- Ilgiai liestinės ir normalės:
- Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės parabolei taške .
- Sprendimas. Randame:
- Liestinės lygtis:
- arba
- Normalės lygtis:
- arba
- Ilgis subtangentės:
- Ilgis subnormalės:
- Ilgiai liestinės ir normalės:
- Sprendimas 2 (kitoks sprendimo būdas). Randame:
- Liestinės lygtis:
- arba
- Normalės lygtis:
- arba
- Toliau randame liestinės ir ašies Ox susikirtimo tašką įstatę į liestinės lygtį :
- Vadinasi, liestinės ir ašies Ox susikirtimo taškas yra A(1,5; 0).
- Liestinės projekcijos ilgis yra:
- Liestinės atkarpos AM ilgis yra lygus:
- Randame liestinės normalės ir ašies Ox susikirtimo tašką įstatę į normalės lygtį :
- Vadinasi, normalės ir ašies Ox susikirtimo taškas yra B(57; 0).
- Normalės projekcijos ilgis yra:
- Normalės atkarpos BM ilgis yra lygus: