Matematika/Liestinės ir normalės projekcijos

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Angliškai liestinės projekcija vadinasi subtangent, o liestinės normalės projekcija vadinasi subnormal. Rusiškai liestinės projekcija vadinasi подкасательная, o liestinės normalės projekcija vadinasi поднормаль.

Lygtis liestinės ir normalės. Ilgiai subtangentės ir subnormalės[keisti]

Pav. 87.
Panagrinėkime kreivę, lygtis kurios yra
Paimsime ant šitos kreivės tašką (pav. 87) ir parašysime lygtį lietinės šitai kreivei taške M, tarę, kad šita liestinė ne lygiagreti ordinačių ašiai.
Lygtis tiesės su krypties koeficientų k, praeinančios per tašką M, turi pavidalą
Liestinei
todėl lygtis liestinės turi pavidalą
Drauge su liestine kreivės duotame taške dažnai tenka nagrinėti normalę.
Apibrėžimas. Kreivės normale duotame taške vadinama tiesė, praeinanti per duotą tašką, statmenai liestinei duotame taške.
Iš normalės apibrėžimo seka, kad jos krypties koficientas surištas su koeficientu liestinės lygybe
t. y.
Iš to seka, kad lygtis normalės kreivės taške turi pavidalą
Ilgis T atkarpos QM (pav. 87) liestinės, esančios tarp susilietimo taško ir ašies Ox, vadinamas liestinės ilgiu. Projekcija šitos atkarpos ant ašies Ox, t. y. atkarpa QP, vadinasi subtangentė; ilgis subtangentės žymimas Ilgis N atkarpos MR vadinasi normalės ilgiu, o projekcija RP atkarpos RM ant ašies Ox vadinasi subnormale; ilgis subnormalės žymimas
Rasime dydžius , , kreivei ir taškui
Iš paveikslėlio 87 matyti, kad
todėl
Toliau iš šito pačio paveikslėlio aišku, kad
todėl
Šitos formulės išvestos tariant, kad Tačiau jos išsisaugo ir bendru atveju.

Pavyzdžiai[keisti]

Pav. 88.
  • Parašyti lygtį liestinės ir normalės kreivės taške M(1; 1).
Sprendimas. Kadangi tai kampinis koeficientas liestinės lygūs
Iš to seka lygtis liestinės:
arba
Lygtis normalės:
arba
(žr. pav. 88)
Pav. 89.
  • Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės elipsei:
taške kuriai (pav. 89).
Sprendimas. Iš lygčių (1) randame:
Randame koordinates susilietimo taško M:
Liestinės lygtis:
arba
Normalės lygtis:
arba
Ilgis subtangentės:
Ilgis subnormalės:
Ilgiai liestinės ir normalės:


  • Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės parabolei taške .
Sprendimas. Randame:
Liestinės lygtis:
arba
Normalės lygtis:
arba
Ilgis subtangentės:
Ilgis subnormalės:
Ilgiai liestinės ir normalės:
Sprendimas 2 (kitoks sprendimo būdas). Randame:
Liestinės lygtis:
arba
Normalės lygtis:
arba
Toliau randame liestinės ir ašies Ox susikirtimo tašką įstatę į liestinės lygtį :
Vadinasi, liestinės ir ašies Ox susikirtimo taškas yra A(1,5; 0).
Liestinės projekcijos ilgis yra:
Liestinės atkarpos AM ilgis yra lygus:
Randame liestinės normalės ir ašies Ox susikirtimo tašką įstatę į normalės lygtį :
Vadinasi, normalės ir ašies Ox susikirtimo taškas yra B(57; 0).
Normalės projekcijos ilgis yra:
Normalės atkarpos BM ilgis yra lygus: