Pradinių klasių matematika/Natūralieji skaičiai

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Kaip skaityti šią dalį?

Natūraliųjų skaičių apibrėžimas[keisti]

Apibrėžimas. Natūraliuoju skaičiumi vadinsime vienodo dydžio sagučių krūvelę. Natūraliuoju skaičiumi vadinsime ir tokią krūvelę, kurioje sagučių nėra. Sagutę žymėsime simboliu ⚫. Krūvelę žymėsime stačiakampiu. Natūraliuosius skaičius žymėsime mažosiomis lotyniškomis raidėmis: a, b, c, ...

Pavyzdžiai[keisti]

⚫⚫⚫⚫⚫

⚫⚫⚫

⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫

⚫    ⚫          ⚫

⚫⚫⚫   ⚫


⚫⚫

⚫⚫⚫     ⚫⚫⚫    ⚫⚫

   

Natūraliųjų skaičių palyginimas[keisti]

Apibrėžimas. Dviejų natūraliųjų skaičių a ir b palyginimu vadinsime šią veiksmų seką:

  1. Skaičius a ir b pavadinkime atitinkamai pirmuoju ir antruoju skaičiumi.
  2. Jei ir pirmajame, ir antrajame skaičiuje dar yra sagučių, tai eikime į 3-ią žingsnį. Jei taip nėra, eikime į 4-ą žingsnį.
  3. Išimkime sagutę iš pirmojo ir iš antrojo skaičių ir vėl eikime į 2-ąjį žingsnį.
  4. Galimi tokie atvejai:
    1. Liko pirmojo skaičiaus sagučių, bet neliko antrojo skaičiaus sagučių. Tokiu atveju sakome, kad skaičius a yra didesnis už skaičių b (žymime a > b), o skaičius b yra mažesnis už skaičių a (žymime b < a).
    2. Neliko pirmojo skaičiaus sagučių ir neliko antrojo skaičiaus sagučių. Tokiu atveju sakome, kad skaičiai a ir b yra lygūs (žymime a = b).
    3. Neliko pirmojo skaičiaus sagučių, bet liko antrojo skaičiaus sagučių. Tokiu atveju sakome, kad skaičius a yra mažesnis už skaičių b (žymime a < b), o skaičius b yra didesnis už skaičių a (žymime b > a).

Dviejų skaičių palyginimo pavyzdys[keisti]

Skaičius a   Skaičius b
⚫   ⚫    ⚫

     ⚫⚫⚫

  ⚫⚫⚫⚫⚫

Atlikime pirmąjį palyginimo veiksmą, t. y. pervadinkime skaičius atitinkamai pirmuoju ir antruoju:

Pirmasis skaičius   Antrasis skaičius
⚫   ⚫    ⚫

     ⚫⚫⚫

  ⚫⚫⚫⚫⚫

Tęskime. 2-as žinsgnis: kadangi ir pirmajame, ir antrajame skaičiuje yra sagučių, eikime į 3-ią žingsnį: išimkime po vieną sagutę iš pirmojo ir iš antrojo skaičių.

Pirmasis skaičius   Antrasis skaičius
    ⚫    ⚫

     ⚫⚫⚫

   ⚫⚫⚫⚫

Vėl darome tą patį:

Pirmasis skaičius   Antrasis skaičius
         ⚫

     ⚫⚫⚫

    ⚫⚫⚫

Vėl darome tą patį:

Pirmasis skaičius   Antrasis skaičius
          

     ⚫⚫⚫

     ⚫⚫

Vėl darome tą patį:

Pirmasis skaičius   Antrasis skaičius
          

      ⚫⚫

      ⚫

Vėl darome tą patį:

Pirmasis skaičius   Antrasis skaičius
          

       ⚫

   

Paskutinį kartą kartojame antrąjį žingsnį, bet pastebime, kad antrojo skaičiaus sagučių nebeliko. Taigi einame į 4-ąjį žingsnį. Turime atvejį, kai pirmojo skaičiaus sagučių liko, o antrojo — neliko, taigi skaičius a yra didesnis už skaičių b (a > b) ir skaičius b yra mažesnis už skaičių a (b < a).

Natūraliųjų skaičių suma ir skirtumas[keisti]

Sumos apibrėžimas[keisti]

Apibrėžimas. Natūraliųjų skaičių a ir b suma vadinsime natūralųjį skaičių, kuris sudaromas a ir b krūveles apjungiant į vieną. Sumos gavimo veiksmą vadinsime sudėtimi, skaičius a ir b vadinsime dėmenimis, sumos veiksmą žymėsime simboliu +, gautą natūralųjį skaičių žymėsime a + b.

Sumos pavyzdys[keisti]

Skaičius a   Skaičius b   Skaičius a + b
⚫   ⚫    ⚫

     ⚫⚫⚫

  ⚫⚫⚫⚫⚫   ⚫   ⚫    ⚫

     ⚫⚫⚫

⚫⚫⚫⚫⚫

Skirtumo apibrėžimas[keisti]

Apibrėžimas. Palyginkime natūraliuosius skaičiais a ir b:

  • Jei gauname a > b arba a = b, tai skaičių a ir b skirtumu vadinsime pirmąjį skaičių, gautą pabaigus a ir b lyginimą.
  • Jei gauname a < b, tai sakysime, kad skaičių a ir b skirtumas neegzistuoja.

Skirtumo gavimo veiksmą vadinsime atimtimi, skaičius a ir b vadinsime atitinkamai turiniu ir atėminiu, skirtumo veiksmą žymėsime simboliu -, gautą natūralųjį skaičių žymėsime a - b.

Skirtumo pavyzdys[keisti]

Skaičius a   Skaičius b
⚫   ⚫    ⚫

     ⚫⚫⚫

  ⚫⚫⚫⚫⚫

Atlikę šių skaičių palyginimą gauname tokias galutines krūveles:

Pirmasis skaičius   Antrasis skaičius
          

       ⚫

   

Taigi pagal skaičių palyginimo apibrėžimą a > b, o pagal skaičių skirtumo apibrėžimą gauname, kad a - b = .

Sudėties dėsniai[keisti]

Sudėties jungiamumas (asociatyvumas)[keisti]

Teiginys. .
Pavyzdys. Tegu skaičiai yra tokios krūvelės kaip parodyta žemiau esančioje lentelėje.
Skaičius a   Skaičius b   Skaičius c
⚫⚫   ⚫⚫⚫⚫   ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫
Apskaičiuosime sumą . Pirma rasime sumą , o po po to sudėsime ir , kad gautume .
Skaičius   Skaičius
⚫⚫                  ⚫⚫⚫⚫          ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫
Skaičius
⚫⚫                  ⚫⚫⚫⚫              ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫
Dabar apskaičiuosime sumą . Pirma rasime sumą , o po po to sudėsime ir , kad gautume .
Skaičius   Skaičius
⚫⚫   ⚫⚫⚫⚫             ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫
Skaičius
⚫⚫                  ⚫⚫⚫⚫              ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫
Akivaizdžiai matome, kad šiuo atveju lygybė galioja. Įsitikinkime, kad taip bus visuomet.
Įrodymas. Palyginkime skaičius ir . Pirmąjį skaičių gavome pirma apjungę krūveles ir , o vėliau prie gautos krūvelės prijungę . Antrajį skaičių gavome pirma apjungę krūveles ir , o vėliau prie gautos krūvelės prijungę . Taigi tiek krūvelė , tiek ir yra sudaryta iš krūvelių , ir . Lygindami šiuos skaičius tiek iš pirmojo, tiek iš antrojo skaičiaus išiminėsime pirmiausiau krūvelę sudariusias sagutes, po to ir galiausiai . Kadangi galioja lygybės , tai, baigus lyginti skaičius, sagučių neliks. Vadinasi, . ∎

Sudėties perstatomumas (komutatyvumas)[keisti]

Teiginys.
Įrodymas. Akivaizdu.

Sudėtis su nuliu[keisti]

Teiginys. a +    = a

Mažiausias ir didžiausias natūralusis skaičius[keisti]

Apibrėžimas. Mažiausiu natūraliuoju skaičiumi vadinsime tokį natūralųjį skaičių a, su kuriuo nelygybė a > b bus neteisinga su bet kokiu natūraliuoju skaičiumi b. Atitinkamai didžiausiu natūraliuoju skaičiumi vadinsime tokį natūralųjį skaičių c, su kuriuo nelygybė c < d bus neteisinga su bet kokiu natūraliuoju skaičiumi d.

Teiginys.    yra mažiausias natūralusis skaičius.

Teiginys. Didžiausias natūralusis skaičius neegzistuoja.