Matematika/Pasikliautiniai intervalai dispersijose

Sudarysime pasikliautinį intervalą pagal normalųjį dėsnį pasiskirsčiusio dydžio $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ dispersijai $\mathbf {D} [X]=\sigma ^{2}$. Jeigu atsitiktinio dydžio vidurkis yra žinomas, o $\langle N_{1},N_{2},\dots ,N_{n}\rangle$ atsitiktinė imtis, tai dispersijos taškiniam įverčiui galime naudoti statistiką

$S_{0}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}$.

Šis įvertis yra nepaslinktas, t.y. $\mathbf {E} [S_{0}^{2}]=\sigma ^{2}$. Jeigu padalytume iš dispersijos, gautume

${\frac {S_{0}^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {1}{n\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}$,   ${\frac {nS_{0}^{2}}{\sigma ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}$.

Panagrinėkime dydžius $Y_{i}=\left(X_{i}-\mu \right)/\sigma$. Jie yra nepriklausomi, normalieji. Dar daugiau, kadangi $\mathbf {E} [Y_{i}]=0$, $\mathbf {D} [Y_{i}]=1$, tai dydžiai yra standartiniai normalieji, $Y_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$. Tačiau tada

${\frac {nS_{0}^{2}}{\sigma ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\sim {\mathcal {X}}^{2}(n),$

taigi žinome koks yra statistikos $nS_{0}^{2}/\sigma ^{2}$ pasiskirstymo dėsnis. Toliau sudaryti pasikliautinį intervalą galime panašiai kaip vidurkio atveju. Po dydžio ${\mathcal {X}}_{n}^{2}\sim {\mathcal {X}}^{2}(n)$ tankiu tiesėmis $x=u$, $x=v$, $y=0$ apribokime ploto $\mathrm {Q} \,\!$ figūrą. Čia $0<\mathrm {Q} <1\,\!$ yra pasikliovimo lygmuo. Tada

$P\left(u<{\frac {nS_{0}^{2}}{\sigma ^{2}}}<v\right)=Q$,   arba $P\left({\frac {nS_{0}^{2}}{v}}<\sigma ^{2}<{\frac {nS_{0}^{2}}{u}}\right)=Q$

Kaip parinkti skaičius $u$, $v$? Geriausia juos parinkti taip, kad plotai po tankio grafiku į kairę nuo tiesės $x=u$ ir į dešinę nuo tiesės $x=v$ būtų lygūs $(1-\mathrm {Q} )/2\,\!$. Tada šie skaičiai būtų lygūs dydžio ${\mathcal {X}}_{n}^{2}$ atitinkamai $(1-Q)/2\,\!$ ir $(1+Q)/2\,\!$ lygmens kvantiliai, t.y. lygčių

$\mathrm {F} _{{\mathcal {X}}_{n}^{2}}(u)={\frac {1-\mathrm {Q} }{2}}$,   $\mathrm {F} _{{\mathcal {X}}_{n}^{2}}(v)={\frac {1+\mathrm {Q} }{2}}$,

sprendiniai. Juos galime rasti iš lentelių arba apskaičiuoti kompiuteriu.