Pereiti prie turinio

Matematika/Trigonometrinės formulės

Iš Wikibooks.

Pagrindinių trigonometrinių formulių įrodymai

[keisti]
Įrodysime pagrindines trigonometrines formules, iš kurių išplaukia daug kitų trigonometrinių formulių.
1 pav. Vienetinis apskritimas, kuriame yra pažymėti 2 kampai ir tų kampų skirtumo kampas.
Vienetiniame apskritime pažymėkime taškus ir (1 pav.). Remdamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, tų taškų koordinates galime užrašyti šitaip:
Kadangi lankai ir yra lygūs, tai atkarpos ilgis lygus atkarpos ilgiui. Šį teiginį galime užrašyti atstumo tarp dviejų taškų, nurodytų jų koordinatėmis (žr. (0)), formule:
arba
Abi šios lygybės puses pakelkime kvadratu ir po to pertvarkykime jas, remdamiesi tapatybe
Iš čia gauname skirtumo kosinuso formulę:
Iš lygybių ir bei (1) formulės išplaukia:
Taigi sumos kosinuso formulė yra tokia:
Į formulę (1) įstačius vietoje ir įstačius vietoje gausime
Gautoje formulėje
įstačius vietoje gausime
Toliau į (1) formulę įstačius vietoje gausime
Pasinaudojome formule
kuri išplaukia iš formulės (2) įstačius į ją vietoje tada
[]
Taigi, gavome formulę (3) ir formulę
Iš (4) formulės gauname:
Todėl
Iš (1.2) ir (4) formulės išplaukia
Padaliję šios lygybės dešiniosios pusės skaitiklį ir vardiklį iš gauname:
Pagaliau (iš to, kad )
Todėl

Redukcijos formulės

[keisti]

Tangentas ir kotangentas ant vienetinio apskritimo

[keisti]
1 pav. Tangentas ant vienetinio apskritimo.
2 pav. Kotangentas ant vienetinio apskritimo.
Trigonometrines funkcijas ir negalima vaizdžiai parodyti kaip atkarpas ant ašių Ox ir Oy, esančias vienetiniame apskritime. Kad juos parodyti pasielgsime štai kaip.
Nagrinėkime vienetinį apskritimą ir jo liestinę pereinančią per tašką (1 pav.). Tegu apskritimo taškas atitinka realiajam skaičiui (arba kampui radianų). Pagal apibrėžimą Iš trikampių ir panašumo seka, kad t. y. arba Skaičių ašis vadinama tangentų linija (arba tangentų ašimi). Analogiškai, atkarpa yra tangentas skaičiaus
Panašiai sudaroma linija (arba ašis) kotangentų (2 pav.). Kadangi ~ (trikampiai ir panašūs), tai t. y. arba

Nuorodos

[keisti]