Pereiti prie turinio
Pagrindinis meniu
Pagrindinis meniu
move to sidebar
paslėpti
Naršymas
Pagrindinis puslapis
Bendruomenės puslapis
Naujausi keitimai
Atsitiktinis puslapis
Pagalba
Paaukokite
Paieška
Paieška
Sukurti paskyrą
Prisijungti
Asmeniniai įrankiai
Sukurti paskyrą
Prisijungti
Pages for logged out editors
sužinoti daugiau
Indėlis
Aptarimas
Turinys
move to sidebar
paslėpti
Pradžia
1
Pagrindinių trigonometrinių formulių įrodymai
2
Redukcijos formulės
3
Tangentas ir kotangentas ant vienetinio apskritimo
4
Nuorodos
Toggle the table of contents
Matematika/Trigonometrinės formulės
Pridėti kalbas
Pridėti nuorodas
Puslapis
Aptarimas
lietuvių
Skaityti
Keisti
Istorija
Įrankiai
Įrankiai
move to sidebar
paslėpti
Actions
Skaityti
Keisti
Istorija
Bendra
Susiję puslapiai
Susiję keitimai
Įkelti rinkmeną
Specialieji puslapiai
Nuolatinė nuoroda
Puslapio informacija
Cituoti šį puslapį
Gauti sutrumpintą URL nuorodą
Atsisiųsti QR kodą
Spausdinti/eksportuoti
Kurti knygą
Parsisiųsti kaip PDF
Versija spausdinimui
Iš Wikibooks.
<
Matematika
Pagrindinių trigonometrinių formulių įrodymai
[
keisti
]
Įrodysime pagrindines trigonometrines formules, iš kurių išplaukia daug kitų trigonometrinių formulių.
1 pav. Vienetinis apskritimas, kuriame yra pažymėti 2 kampai ir tų kampų skirtumo kampas.
Vienetiniame apskritime pažymėkime taškus
P
α
,
P
β
,
P
α
−
β
{\displaystyle P_{\alpha },\;P_{\beta },\;P_{\alpha -\beta }\;}
ir
P
0
{\displaystyle P_{0}\;}
(1 pav.). Remdamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, tų taškų koordinates galime užrašyti šitaip:
P
α
(
cos
α
;
sin
α
)
;
P
β
(
cos
β
;
sin
β
)
;
{\displaystyle P_{\alpha }(\cos \alpha ;\;\sin \alpha );\;P_{\beta }(\cos \beta ;\;\sin \beta );}
P
α
−
β
(
cos
(
α
−
β
)
;
sin
(
α
−
β
)
)
;
P
0
(
1
;
0
)
.
(
0
)
{\displaystyle P_{\alpha -\beta }(\cos(\alpha -\beta );\;\sin(\alpha -\beta ));\;P_{0}(1;\;0).\quad (0)}
Kadangi lankai
P
α
P
β
{\displaystyle P_{\alpha }P_{\beta }\;}
ir
P
α
−
β
P
0
{\displaystyle P_{\alpha -\beta }P_{0}\;}
yra lygūs, tai atkarpos
P
α
P
β
{\displaystyle P_{\alpha }P_{\beta }}
ilgis lygus atkarpos
P
α
−
β
P
0
{\displaystyle P_{\alpha -\beta }P_{0}}
ilgiui. Šį teiginį galime užrašyti atstumo tarp dviejų taškų, nurodytų jų koordinatėmis (žr. (0)), formule:
(
cos
α
−
cos
β
)
2
+
(
sin
α
−
sin
β
)
2
=
(
cos
(
α
−
β
)
−
cos
0
)
2
+
(
sin
(
α
−
β
)
−
sin
0
)
2
{\displaystyle {\sqrt {(\cos \alpha -\cos \beta )^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta )^{2}}}={\sqrt {(\cos(\alpha -\beta )-\cos 0)^{2}+(\sin(\alpha -\beta )-\sin 0)^{2}}}}
arba
(
cos
α
−
cos
β
)
2
+
(
sin
α
−
sin
β
)
2
=
(
cos
(
α
−
β
)
−
1
)
2
+
sin
2
(
α
−
β
)
.
{\displaystyle {\sqrt {(\cos \alpha -\cos \beta )^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta )^{2}}}={\sqrt {(\cos(\alpha -\beta )-1)^{2}+\sin ^{2}(\alpha -\beta )}}.}
Abi šios lygybės puses pakelkime kvadratu ir po to pertvarkykime jas, remdamiesi tapatybe
cos
2
t
+
sin
2
t
=
1
:
{\displaystyle \cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1:}
cos
2
α
−
2
cos
α
cos
β
+
cos
2
β
+
sin
2
α
−
2
sin
α
sin
β
+
sin
2
β
=
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha -2\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\alpha -2\sin \alpha \sin \beta +\sin ^{2}\beta =}
=
cos
2
(
α
−
β
)
−
2
cos
(
α
−
β
)
+
1
+
sin
2
(
α
−
β
)
;
{\displaystyle =\cos ^{2}(\alpha -\beta )-2\cos(\alpha -\beta )+1+\sin ^{2}(\alpha -\beta );}
(
cos
2
α
+
sin
2
α
)
+
(
cos
2
β
+
sin
2
β
)
−
2
(
cos
α
cos
β
+
sin
α
sin
β
)
=
{\displaystyle (\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )+(\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=}
=
[
cos
2
(
α
−
β
)
+
sin
2
(
α
−
β
)
]
−
2
cos
(
α
−
β
)
+
1
;
{\displaystyle =[\cos ^{2}(\alpha -\beta )+\sin ^{2}(\alpha -\beta )]-2\cos(\alpha -\beta )+1;}
2
−
2
(
cos
α
cos
β
+
sin
α
sin
β
)
=
2
−
2
cos
(
α
−
β
)
.
{\displaystyle 2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=2-2\cos(\alpha -\beta ).}
Iš čia gauname
skirtumo kosinuso formulę
:
cos
(
α
−
β
)
=
cos
α
cos
β
+
sin
α
sin
β
.
(
1
)
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta .\quad (1)}
Iš lygybių
cos
(
−
β
)
=
cos
β
{\displaystyle \cos(-\beta )=\cos \beta }
ir
sin
(
−
β
)
=
−
sin
β
{\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin \beta }
bei (1) formulės išplaukia:
cos
(
α
+
β
)
=
cos
(
α
−
(
−
β
)
)
=
cos
α
cos
(
−
β
)
+
sin
α
sin
(
−
β
)
=
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha -(-\beta ))=\cos \alpha \cos(-\beta )+\sin \alpha \sin(-\beta )=}
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
.
{\displaystyle =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .}
Taigi
sumos kosinuso formulė
yra tokia:
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
.
(
1.2
)
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .\quad (1.2)}
Į formulę (1) įstačius
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
vietoje
α
{\displaystyle \alpha }
ir įstačius
α
{\displaystyle \alpha }
vietoje
β
{\displaystyle \beta }
gausime
cos
(
π
2
−
α
)
=
cos
π
2
cos
α
+
sin
π
2
sin
α
=
sin
α
.
{\displaystyle \cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )=\cos {\frac {\pi }{2}}\cos \alpha +\sin {\frac {\pi }{2}}\sin \alpha =\sin \alpha .}
Gautoje formulėje
sin
α
=
cos
(
π
2
−
α
)
(
2
)
{\displaystyle \sin \alpha =\cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\quad (2)}
įstačius
α
+
β
{\displaystyle \alpha +\beta }
vietoje
α
,
{\displaystyle \alpha ,}
gausime
sin
(
α
+
β
)
=
cos
(
π
2
−
α
−
β
)
=
cos
(
(
π
2
−
α
)
−
β
)
.
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha -\beta )=\cos(({\frac {\pi }{2}}-\alpha )-\beta ).}
Toliau į (1) formulę įstačius
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }
vietoje
α
,
{\displaystyle \alpha ,}
gausime
sin
(
α
+
β
)
=
cos
(
(
π
2
−
α
)
−
β
)
=
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\cos(({\frac {\pi }{2}}-\alpha )-\beta )=}
=
cos
(
π
2
−
α
)
cos
β
+
sin
(
π
2
−
α
)
sin
β
=
{\displaystyle =\cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\cos \beta +\sin({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\sin \beta =}
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
.
{\displaystyle =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .}
Pasinaudojome formule
sin
(
π
2
−
α
)
=
cos
α
,
(
3
)
{\displaystyle \sin({\frac {\pi }{2}}-\alpha )=\cos \alpha ,\quad (3)}
kuri išplaukia iš formulės (2) įstačius į ją
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }
vietoje
α
;
{\displaystyle \alpha ;}
tada
[
sin
α
=
cos
(
π
2
−
α
)
(
2
)
{\displaystyle \sin \alpha =\cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\quad (2)}
]
sin
(
π
2
−
α
)
=
cos
(
π
2
−
(
π
2
−
α
)
)
=
cos
α
.
{\displaystyle \sin({\frac {\pi }{2}}-\alpha )=\cos({\frac {\pi }{2}}-({\frac {\pi }{2}}-\alpha ))=\cos \alpha .}
Taigi, gavome formulę (3) ir formulę
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
.
(
4
)
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .\quad (4)}
Iš (4) formulės gauname:
sin
(
α
−
β
)
=
sin
(
α
+
(
−
β
)
)
=
sin
α
cos
(
−
β
)
+
cos
α
sin
(
−
β
)
=
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha +(-\beta ))=\sin \alpha \cos(-\beta )+\cos \alpha \sin(-\beta )=}
=
sin
α
cos
β
−
cos
α
sin
β
.
{\displaystyle =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .}
Todėl
sin
(
α
−
β
)
=
sin
α
cos
β
−
cos
α
sin
β
.
(
5
)
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .\quad (5)}
Iš (1.2) ir (4) formulės išplaukia
tan
(
α
+
β
)
=
sin
(
α
+
β
)
cos
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
.
{\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}.}
Padaliję šios lygybės dešiniosios pusės skaitiklį ir vardiklį iš
cos
α
cos
β
,
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ,}
gauname:
tan
(
α
+
β
)
=
tan
α
+
tan
β
1
−
tan
α
tan
β
.
(
6
)
{\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}.\quad (6)}
Pagaliau (iš to, kad
tg
(
−
α
)
=
−
tg
α
{\displaystyle {\text{tg}}(-\alpha )=-{\text{tg}}\;\alpha }
)
tan
(
α
−
β
)
=
tan
(
α
+
(
−
β
)
)
=
tan
α
+
tan
(
−
β
)
1
−
tan
α
tan
(
−
β
)
=
tan
α
−
tan
β
1
+
tan
α
tan
β
.
{\displaystyle \tan(\alpha -\beta )=\tan(\alpha +(-\beta ))={\frac {\tan \alpha +\tan(-\beta )}{1-\tan \alpha \tan(-\beta )}}={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}.}
Todėl
tan
(
α
−
β
)
=
tan
α
−
tan
β
1
+
tan
α
tan
β
.
(
7
)
{\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}.\quad (7)}
Redukcijos formulės
[
keisti
]
u
{\displaystyle u}
π
2
+
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }
π
+
α
{\displaystyle \pi +\alpha }
3
π
2
+
α
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}+\alpha }
−
α
{\displaystyle -\alpha }
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }
π
−
α
{\displaystyle \pi -\alpha }
3
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}-\alpha }
sin
u
{\displaystyle \sin u}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha }
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha }
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha }
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha }
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha }
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha }
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha }
cos
u
{\displaystyle \cos u}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha }
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha }
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha }
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha }
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha }
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha }
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha }
tg
u
{\displaystyle \operatorname {tg} u}
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }
ctg
u
{\displaystyle \operatorname {ctg} u}
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }
Tangentas ir kotangentas ant vienetinio apskritimo
[
keisti
]
1 pav. Tangentas ant vienetinio apskritimo.
2 pav. Kotangentas ant vienetinio apskritimo.
Trigonometrines funkcijas
tg
x
{\displaystyle \operatorname {tg} x}
ir
ctg
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} x}
negalima vaizdžiai parodyti kaip atkarpas ant ašių
Ox
ir
Oy
, esančias vienetiniame apskritime. Kad juos parodyti pasielgsime štai kaip.
Nagrinėkime vienetinį apskritimą ir jo liestinę pereinančią per tašką
M
0
{\displaystyle M_{0}}
(1 pav.). Tegu apskritimo taškas
P
α
{\displaystyle P_{\alpha }}
atitinka realiajam skaičiui
α
{\displaystyle \alpha }
(arba kampui
α
{\displaystyle \alpha }
radianų). Pagal apibrėžimą
tg
α
=
P
α
B
O
B
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {P_{\alpha }B}{OB}}.}
Iš trikampių
O
P
α
B
{\displaystyle OP_{\alpha }B}
ir
O
T
M
0
{\displaystyle OTM_{0}}
panašumo seka, kad
P
α
B
O
B
=
T
M
0
O
M
0
=
T
M
0
1
=
T
M
0
,
{\displaystyle {\frac {P_{\alpha }B}{OB}}={\frac {TM_{0}}{OM_{0}}}={\frac {TM_{0}}{1}}=TM_{0},}
t. y.
tg
α
=
T
M
0
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =TM_{0},}
arba
T
(
1
;
tg
α
)
.
{\displaystyle T(1;\,\operatorname {tg} \alpha ).}
Skaičių ašis
M
0
T
{\displaystyle M_{0}T}
vadinama
tangentų linija
(arba
tangentų ašimi
). Analogiškai, atkarpa
Q
M
0
{\displaystyle QM_{0}}
yra tangentas skaičiaus
β
.
{\displaystyle \beta .}
Panašiai sudaroma
linija
(arba
ašis
)
kotangentų
(2 pav.). Kadangi
Δ
O
P
α
B
{\displaystyle \Delta OP_{\alpha }B}
~
Δ
Q
O
D
{\displaystyle \Delta QOD}
(trikampiai
O
P
α
B
{\displaystyle OP_{\alpha }B}
ir
Q
O
D
{\displaystyle QOD}
panašūs), tai
ctg
α
=
O
B
P
α
B
=
Q
D
O
D
=
Q
D
1
=
Q
D
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {OB}{P_{\alpha }B}}={\frac {QD}{OD}}={\frac {QD}{1}}=QD,}
t. y.
ctg
α
=
Q
D
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha =QD,}
arba
Q
(
ctg
α
;
1
)
.
{\displaystyle Q(\operatorname {ctg} \alpha ;\,1).}
Nuorodos
[
keisti
]
Visų trigonometrinių formulių įrodymai
Toggle limited content width