Matematika/Tiesė su vektoriais

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Bendrosios lygtys tiesės erdvėje[keisti]

Tegu duotos lygtys dviejų susikertančių plokštumų:

ir
kur
Tada sistemą šių lygčių:
galima nagrinėti kaip lygtį tiesės - susikirtimo linijos šių plokštumų. Lygtys (1) vadinasi bendrosiomis lygtimis tiesės erdvėje vektorinėje formoje.
Išreiškę lygtis (1) koordinatinėje formoje, gausime:
Lygtys (2) vadinasi bendrosiomis lygtimis tiesės koordinatinėje formoje.
Užrašymas bendrųjų lygčių tiesės kanoninėje išraiškoje. Tegu duodamos lygtys tiesės benrojoje išraiškoje:
Lygtis yra lygtis plokštumos , statmenos vektoriui - lygtis plokštumos , statmenos vektoriui (93 pav.). Lygtį linijos jų susikirtimo galima užrašyti vektorinėje formoje: kur - krypties vektorius šitos tiesės (gauname, kad , todėl t tik nustato krypties vektoriaus ilgį, jei būtų žinomos tikslios vektoriaus koordinatės; yra ).
Rasime vektorinę sandaugą
Iš apibrėžimo vektorinės sandaugos seka, kad vektorius kolinearus vektoriui Pasekoje, koordinatės šitų dviejų vektorių proporcingos:
Tokiu budu, į kanonines lygtys tiesės
vietoje koeficientų m, n, p galima įstatyti, jiems propocingus, ir gausime lygtis
Taigi, kad iš bendrųjų tiesės lygčių
pereiti prie kanoninių lygčių tos pačios tiesės, reikia rasti kokį nors tašką gulintį ant tiesės, ir vietoje koeficientų m, n, p įstatyti proporcingus jiems skaičius (žiūrėti (4)).
Verta pastebėti, kad ieškant taško, gulinčio ant tiesės, vieną vieną iš koordinačių galima parinkti visiškai savavališkai; sumanu tašką susikirtimo tiesės su viena iš koordinatinių plokštumu, kadangi tada nors viena iš koordinačių šito taško bus lygi nuliui.


Pavyzdžiai[keisti]

  • Lygtį tiesės
užrašyti kanoniniame pavidale.
Tašką paimsime susikirtimo tiesės su plokštuma xOy, tada . Nustatymui , turėsime sekančią sistemą:
Spresdami šitą sistemą,
randame, kad ; .
Panaudodami lygybę (4) radimui santykio koeficientų m, n, p, gausime:
Pasekoje, ieškomos lygtys turi pavidalą:


Kampas tarp dviejų tiesių[keisti]

Kampu tarp dviejų tiesių erdvėje vadina bet kokį iš kampų, sukurtų dviejų tiesių, pravestų iš vieno taško lygiagrečiai duotoms tiesėms (priedo, jeigu tiesės lygiagrečios, kampas tarp jų laikomas lygus nuliui arba ).

Tegu duotos lygtys dviejų tiesių:
kur ir
kur
Pažymėsime kampą tarp tiesių ir per , o kampą tarp jų krypties vektorių ir - per kampą . Be to
Kadangi arba tai Pasekkoje,
Jeigu lygtys dviejų tiesių duotos kanoninėje formoje:
tai formulę (2) galima užrašyti koordinatinėje formoje:
Formulės (2) ir (3) yra formulės nustatymui kampo tarp diejų tiesių erdvėje.
Sąlygos lygiagretumo ir stamenumo dviejų tiesių erdvėje. Tam, kad dvi tiesės
ir
kur ir būtų lygiagrečios, būtina ir užtenkama, kad jų krypties vektoriai būtų kolinearūs, t. y. atitinkančios koordinatės vektorių ir būtų propocingos:
Sąlyga (4) yra sąlyga lygiagretumo dviejų tiesių ir erdvėje.
Tam, kad tiesės ir būtų statmenos tarpusavyje, būtina ir pakankama, kad lygiagretūs joms vektoriai ir būtų ortogonalūs.
Sąlyga ortogonalumo (statmenumo) dviejų vektorių ir :
yra sąlyga statmenumo dviejų tiesių ir erdvėje.

Pavyzdžiai[keisti]

  • Rasti lygtį tiesės, praeinančios per tašką M(9; -13; 15) statmenai dviems tiesiems ir :
Sudarysime lygtį betkokios tiesės, pereinančios per tašką M:
Panaudodami sąlyga statmenumo ieškomos tiesės iš pradžių tiesei , o paskui ir tiesei , gausime
Iš šitos vienarūšės sistemos linijinių lygčių su nežinomaisiais m, n, p rasime santykį nežinomųjų:
Kadangi dviejų vektorių vektorinė sandauga yra naujas vektorius status tiems dviems vektoriams, tai, kad gauti tą naują vektorių statmeną tiesėms ir reikia rasti šių dviejų tiesių krypties vektorių ir vektorinę sandaugą:
Įstatydami į lygtį tiesės (6) vietoje m, n ir p proporcingus jiems dydžius, gausime ieškomą lygtį:
  • Sudaryti lygtį tiesės praeinančios per tašką (8; -5; 0) lygiagrečiai tiesei
Sudarysime lygtį betkokios tiesės, praeinančios per tašką M(8; -5; 0):
Pažymėsime kampinius koeficientus tiesės per m, n, p ir rasime jų santykius, panaudodami lygybes (4) iš aukštesnio skyriaus:
Kadangi lygiagrečių tiesių koeficientai proporcingi, tai į lygtis (7) vietoje , , galima įstatyti dydžius, jiems proporcingus.
Gausime lygtis
kurios ir bus lygtys ieškomos tiesės.

Uždavinys buvo išspręstas pasinauduojant tuo, kad tiesė yra dvi susikertančios plokštumos. Tų plokštumų normalės vektoriai yra ir Sudauginus vektorine sandauga plokštumų normalės vektorius, gaunamas vektorius statmenas tų dviejų plokštumų normalės vektoriams ir bei lygiagretus toms dviems plokštumoms ir . Vadinasi, vektorius yra lygiagretus ir tiesei Kadangi vektorius yra krypties vektorius tiesės ir yra krypties vektorius betkokios tiesės lygiagrečios tiesei

Tiesės plokštumoje normalė[keisti]

Jeigu taškai ir yra du tiesės taškai, tada vektorius yra tiesės krypties vektorius. Tuomet tiesės lygtis yra:
arba
Kadangi tiesės normalės vektorius yra tai galime rasti tiesės plokštumoje normalės vektorių, žinant du tiesės taškus ir tokiu budu:
Randome tiesės koeficientus , ir konstantą Taigi, tiesės normalė yra
Vadinasi vektoriaus normalės vektorius yra

Nuorodos[keisti]