Matematika/Tiesė ir plokštuma

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Susikirtimo taškas tiesės ir plokštumos[keisti]

Tegu duota plokštuma
ir tiesė
čia yra betkoks tiesės taškas, o vektorius yra tiesės krypties vektorius.
Tada:
Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško koordinates įstatysime rastą reikšmę į parametrinę lygtį tiesės:


Įrodymas vektorinėje formoje[keisti]

Duotos lygtis plokštumos P, kur ir lygtis tiesės l, kur ir
Tegu - taškas susikirtimo tiesės l su plokštuma P. Pažymėsime per reikšmę parametro t taškui .
Kadangi prie šito reikšmė parametro vektorius yra spindulys-vektorius taško, gulinčio ant plokštumos, tai, įstačius jį į lygtį plokštumos mes gausime: t. y.
iš kur, jeigu nustatysime
Įstatę reikšmę į lygtį tiesės l, rasime spindulį-vektorių taško susikirtimo tiesės l ir plokštumos P:
Tegu dabar lygtys plokštumos ir tiesės parašytos koordinatinėje formoje:
Tada panaudoję lygybę gausime:
Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško koordinates įstatysime rastą reikšmę į parametrinę lygtį tiesės:

Įrodymas nevektorinėje formoje[keisti]

Duota lygtis plokštumos P, kur plokštumos normalė stati plokštumai yra ir trijų kintamųjų vektorius yra ir duota lygčių sistema

tiesės kur tiesės krypties vektorius yra ir tiesės betkuris pasirinktas žinomas taškas

Tegu - taškas susikirtimo tiesės l su plokštuma P. Pažymėsime per reikšmę parametro t taškui .
Kadangi prie šito reikšmė parametro vektorius

yra spindulys-vektorius taško, gulinčio ant plokštumos, tai, įstačius jį į lygtį plokštumos mes gausime: t. y.

iš kur, jeigu nustatysime
Įstatę reikšmę į lygtį tiesės , rasime spindulį-vektorių taško susikirtimo tiesės ir plokštumos P:
Tegu dabar lygtys plokštumos ir tiesės parašytos koordinatinėje formoje:
Tada panaudoję lygybę gausime:
Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško koordinates įstatysime rastą reikšmę į parametrinę lygtį tiesės:
Trumpai tariant, esmė buvo surasti tiesės l nusakytos parametrinėmis lygtimis , parametrą įstačius tiesės , ir reikšmes į bendrąją plokštumos lygtį vietoje x, y ir z. Tokiu budu randamas tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas įstačius į lygtis

Kažkas panašaus kaip sprendžiama dviejų tiesių plokštumoje lygčių sistema (kad surasti tų tiesių susikirtimo tašką) keitimo budu.

Pavyzdžiai[keisti]

  • Rasti projekciją taško M(9; -13; -18) į plokštumą P
Užduoties išsprendimui sudarysime lygtį tiesės, praeinančios per tašką M statmenai plokštumai P.
Lygtys betkurios tiesės, praeinančios per tašką M, turės pavidalą:
Pagal statmenumo sąlygą tiesės ir plokštumos galima į lygtį tiesės vietoje koeficientų m, n, p įstatyti proporcingus jiems dydžius A, B, C:
Kad surasti projekciją N taško M(9; -13; -18) į plokštumą reikia rasti susikirtimo tašką plokštumos ir tiesės Pagal formulę nustatome susikirtimo tašką
Iš čia koordinatės taško nustatomos pagal formules  :
t. y. N(0; 4; -3).
  • Duoti du tiesės taškai ir duota bendroji plokšumos lygtis . Rasime pratestos atkarpos ir plokštumos susikirtimo tašką.
Sprendimas. Žinodami du tiesės T taškus ir parašykime tiesės T kanoninę lygtį pasinaudodami formule:
Tiesės T krypties vektorius yra
Tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką pažymėkime . Pagal formulę randame:
Paverskime tiesės T kanonines lygtys parametrinėmis lygtimis:
Toliau vietoje šios plokštumos x, y, z reikšmių įstatome tiesės reikšmes , , ir gauname:
Dabar galime surasti tiesės T ir plokštumos susikirtimo tašką . Taigi, susikirtimo taško N koordinatės yra:
vadinasi, N(-1,438356164; 6,109589041; -5,767123288).


  • Rasti atstumą nuo taško M(-2; 3; 4) iki tiesės
Pavyzdžio sprendimo planas sekantis:
1. Sudarysime lygtį plokštumos P, praeinančios per tašką M statmenai tiesei l.
2. Rasime tašką K susikirtimo tiesės l su plokštuma P.
3. Nustatysime atstumą nuo taško M iki tiesės l, kaip atstumą tarp taškų M ir K.
Sprendimas. Sudarysime lygtį įvairių plokštumų su centru taške M (plokštumos kurios eina per tašką M):
Plokštumos P normalės vektorius (statmenas plokštumai P) yra Tiesės l krypties vektorius yra Kad tiesė būtų statmena plokštumai mums reikia, kad tiesės krypties vektorius sutaptu su plokštumos noramlės vektoriumi. Tuomet Esant stačiam kampui tarp plokštumos P ir tiesės l galima užrašyti lygtį plokštumos P:
Taškui K
iš kur
Gavome tiesės l ir plokštumos P susikirtimo tašką K(4; 1; 2).

Atstumas nuo taško M(-2; 3; 4) iki taško K(4; 1; 2) yra:

Pastebėsime, kad taškas K yra projekcija taško M į tiesę l.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos[keisti]

Tarkime, tiesė T nusakoma kanoninėmis lygtimis

o plokštuma nusakoma lygtimi Kampu tarp tiesės T ir plokštumos vadiname kampą tarp tos tiesės ir jos projekcijos plokštumoje . Kadangi tai
čia yra kampas tarp tiesės T krypties vektoriaus ir plokštumos normalės vektoriaus Kitaip sakant, kampas yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos normalės Iš vektorių ir skaliarinės sandaugos išplaukia, kad
Tada

čia yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos


Kai tiesė T lygiagreti plokštumai , tai tiesės krypties vektorius yra statmenas plokštumos normalės vektoriui todėl Iš čia gauname tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygą:


Kai tiesė T statmena plokštumai , tai tiesės krypties vektorius yra lygiagretus plokštumos normalės vektoriui todėl jų koordinatės yra proporcingos. Iš čia išplaukia tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga:


  • Pavyzdis. Su kuria B reikšme tiesė T, nusakoma lygtimis

bus lygiagreti su plokštuma , kurios lygtis ?

Sprendimas. Kai tiesė T lygiagreti su plokštuma , tai tiesės krypties vektorius yra statmenas plokštumos normalės vektoriui ir skaliarinė jų sandauga
Pažymėkime: Kadangi tai iš sąlygos išplaukia, kad Vadinasi,


  • Pavyzdis. Sudaryti lygtį plokštumos P, praeinančios pro tašką M(2; -1; 3) lygiagrečiai dviems tiesiems:
ir
Parašysime lygtį visų plokštumų su centru taške M:
Panaudojame lygiagretumo sąlyga () plokštumos P tiesei , o paskui ir tiesei :
Iš šitos sistemos giminingų lygčių nustatysime santykį koeficientų A, B, C ir paskui į lygtį vietoje koeficientų A, B, C įstatysime proporcionalius jiems dydžius: