Matematika/Tiesė

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Erdvės tiesės kanoninė lygtis[keisti]

Tiesės T padėtį erdvėje vienareikšmiškai nusako taškas , per kurį eina ta tiesė, ir lygiagretus su ja nenulinis vektorius , vadinamas tiesės krypties vektoriumi. Kintamajį tiesės T tašką pažymėkime ir nubrėžkime vektorių Kadangi vektoriai ir yra kolinearūs (lygiagretūs), tai
čia ir - taškų M ir spinduliai vektoriai, t - realusis skaičius.
Lygtis
vadinama vektorine tiesės T lygtimi. Iš jos, sulyginę vektorių ir koordinates, gauname lygtis
arba
Paskutinios 3 lygtys vadinamos parametrinėmis tiesės T lygtimis.
Kadangi vektoriai ir yra kolinearūs, tai jų koordinatės proporcingos. Iš šios sąlygos išplaukia erdvės tiesės kanoninės lygtys
Šias lygtis galėjome gauti iš parametrinių lygčių, tereikėjo eliminuoti parametrą t:
Iš čia ir išplaukia erdvės tiesės kanoninės lygtys.
Tarkime, žinomi du tiesės T taškai ir Tada vektorius gali būti tiesės T krypties vektorius Į lygtį vietoje taško koordinačių įrašę taško koordinates, vietoje l, m, n įrašę dydžius , , , gauname tiesės einančios per du taškus, lygtį


  • Pavyzdys. Raskime taško P(3; 1; -5) projekciją plokštumoje , kurios lygtis
Sprendimas. Iš taško P nuleiskime statmenį į plokštumą to statmens pagrindas Q ir bus taško P projekcija. Tašką Q galėsime rasti kaip tiesės T ir plokštumos sankirtos tašką. Kadangi plokštumos normalės vektorius yra lygiagretus su tiese T, tai jį galima laikyti šios tiesės krypties vektoriumi.

Pritaikę formules parašome kanonines tiesės T lygtis:

Norėdami rasti tiesės T ir plokštumos sakirtos tašką Q, turime išspręsti sistemą, sudarytą iš jų lygčių:
Tokią sistemą patogiausia spręsti, pakeitus kanonines tiesės lygtis parametrinėmis:
arba
Įrašę šias x, y, z išraiškas į antrąją sistemos lygtį gauname
Tada Vadinasi, taško P projekcija plokštumoje yra taškas Q(5; -3; -2).


  • Pavyzdys. Plokštuma nubrėžta per dvi lygiagrečias tieses
ir
Parašykime plokštumos lygtį.
Sprendimas. Kintamąjį plokštumos tašką pažymėkime M(x; y; z) ir nubrėžkime vektorius bei čia per tašką eina pirmoji tiesė o per tašką eina antroji tiesė
Kai taškas M priklauso plokštumai , tai vektoriai ir tiesių krypties vektorius yra vienoje plokštumoje, taigi šie vektoriai komplanarūs. Parašykime trijų vektorių komplanarumo sąlygą:
Gautoji lygtis ir yra plokštumos lygtis.

Erdvės tiesės bendrosios lygtys[keisti]

Taigi, ši lygčių sistemą apibūdiną dvi susikertančias plokštumas ir

O susikertančios plokšumos ir sudaro tiesę. Todėl dviejų plokštumų sistemą yra tiesės lygtys.

Tiesės krypties vektorius yra:


  • Pavyzdys. Bendrąsias tiesės lygtis

pakeiskime kanoninėmis.
Sprendimas. Pirmiausia raskime tiesės tašką . Parinkę, pavyzdžiui, , gauname sistemą
Sistema turi sprendinį , Taigi

Raskime Kadangi tai

Vadinasi, kanoninės tiesės lygtys yra tokios:
arba
Jas galima parašyti ir taip:


  • Pavyzdys. Rasti kanonines lygtis tiesės
Sprendimas. Įstatę, pavyzdžiui, , iš sistemos
gauname
kad , Tokiu budu, taškas tiesės rastas. Dabar nustatysime kryptį vektoriaus Turime: iš čia
t. y. , , . Įstatydami rastas reikšmes , , ir l, m, n į lygybes gauname kanonines lygtis duotos tiesės:

Kampas tarp tiesės ir plokštumos[keisti]

Tarkime, tiesė T nusakoma kanoninėmis lygtimis

o plokštuma nusakoma lygtimi Kampu tarp tiesės T ir plokštumos vadiname kampą tarp tos tiesės ir jos projekcijos plokštumoje . Kadangi tai
čia yra kampas tarp tiesės T krypties vektoriaus ir plokštumos normalės vektoriaus Kitaip sakant, kampas yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos normalės Iš vektorių ir skaliarinės sandaugos išplaukia, kad
Tada

čia yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos


Kai tiesė T lygiagreti plokštumai , tai tiesės krypties vektorius yra statmenas plokštumos normalės vektoriui todėl Iš čia gauname tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygą:


Kai tiesė T statmena plokštumai , tai tiesės krypties vektorius yra lygiagretus plokštumos normalės vektoriui todėl jų koordinatės yra proporcingos. Iš čia išplaukia tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga:


  • Pavyzdys. Su kuria B reikšme tiesė T, nusakoma lygtimis

bus lygiagreti su plokštuma , kurios lygtis ?

Sprendimas. Kai tiesė T lygiagreti su plokštuma , tai tiesės krypties vektorius yra statmenas plokštumos normalės vektoriui ir skaliarinė jų sandauga
Pažymėkime: Kadangi tai iš sąlygos išplaukia, kad Vadinasi,

Taško atstumas iki tiesės erdvėje[keisti]

Tarkime, kad duota tiesė T, kurios lygtis

ir taškas esantis šalia tos tiesės. Pažymėkime bet kokį tiesės žinomą tašką Atstumas nuo taško iki taško nėra trumpiausias atstumas nuo taško iki tiesės T. Tačiau jei atstumą nuo taško iki taško priligynti 1, tuomet proporcingai trumpiausias atstumas nuo taško iki tiesės T bus lygus čia kampas yra smailus kampas tarp atkrapos ir tiesės T. Skaičiuojant kampą tarp vektorių ir žinome, kad

čia
Kadangi mes sumažinome vektoriaus ilgį iki 1, tai proporcingai padidinus iki pradinio ilgio, trumpiausias atstumas nuo taško iki tiesės T bus lygus Čia
Vadinasi, atstumas nuo taško iki tiesės T yra lygus:


  • Pavyzdys. Apskaičiuokime atstumą nuo taško iki tiesės
Sprendimas. Kadangi , o , tai ir
Apskaičiuojame vektorių modulius:
Vadinasi,


Tiesės plokštumoje lygtys[keisti]

Kai tiesės padetį ploktumoje nusako jos taškas ir jos normalės vektorius statmenas tai tiesei, tai gauname bendrąją tiesės lygtį

čia


Kai tiesė ašyse Ox ir Oy iškerta atkarpas a ir b, tai ją galima nusakyti jos ašine lygtimi:


Kai žinomas vienas tiesės taškas ir su ja lygiagretus nenulinis vektorius tai tiesę galima apibūdinti jos kanonine lygtimi


Kai žinomi du tiesės T taškai ir , tai jos lygtis yra tokia:


Išvesime tiesės lygtį, kai žinomas taškas, per kurį ji eina, ir tos tiesės su teigiamąja ašies Ox kryptimi sudaromas kampas.
Tarkime, kad tiesės T, einančios per tašką , krypties vektorius yra arba jo ortas čia yra kampas tarp tiesės (tokio tipo tiesės kaip o ne ) ir Ox ašies, o kampas yra kampas tarp tiesės T ir ašies Oy arba vertikalios tiesės. Kadangi tai ir

Vadinasi, lygtį galime užrašyti taip:

iš čia
Dydis vadinamas tiesės T krypties koeficientu, o lygtis vadinama tiesės, kurios krypties koeficientas žinomas ir kuri eina per tam tikrą tašką, lygtimi.
Pertvarkę lygtį , gauname:
čia . Kadangi kai , tai tiesė T eina per tašką

Taigi yra ilgis atkarpos, kurią tiesė iškerta ašyje Oy.

Lygtis vadinama kryptine tiesės lygtimi.
Tiesės, einančios per koordinačiu pradžios tašką O(0; 0), lygtis yra Pavyzdžiui, kai per tašką einanti tiesė su teigiamąja ašies Ox kryptimi sudaro kampą tai Tada lygtis virsta lygtimi


  • Pavyzdys. Tiesės T, einančios per tašką ir statmenos vektoriui lygtis yra

Kampas tarp dviejų tiesių plokštumoje[keisti]

Kampas tarp dviejų tiesių ir lygus kampui tarp šių tiesių normalės vektorių ir arba jų krypties vektorių ir Kai tiesės lygtis yra o tiesės lygtis yra tai

Pavyzdžiui, smailus kampas tarp tiesių ir nustatomas iš sąryšio
radiano arba 82,80076636 laipsnio.
  • Pavyzdys. Duota tiesė T, kurios lygtis Parašykime dviejų tiesių, einančių per tašką lygtis, kai viena tų tiesių yra lygiagreti su duotąja tiese, o kita jai statmena.
Sprendimas. Tiesės T normalės vektorius yra statmenas tai tiesei. Imkime ieškomosios tiesės kintamąjį tašką ir nubrėžkime vektorių Kadangi yra statmenas tiesei T, tai kartu yra status su todėl skaliarinė jų sandauga lygi nuliui:
Atlike veiksmus, gauname tiesės , lygiagrečios su tiese T, bendrąją lygtį:

Imkime tiesės kintamąjį tašką ir nubrėžkime vektorių Kadangi yra statmenas su tiese T ir tiesė yra statmena su tiese T, tai vektorius yra lygiagretus su tiesės T normalės vektoriu todėl jų koordinatės yra proporcingos:

Gavome kanoninę tiesės lygtį. Šios tiesės krypties vektorius sutampa su tiesės T normalės vektoriumi Pertvarkę kanoninę lygtį, gauname ieškomosios tiesės , statmenos tiesei T, bendrąją lygtį
Tiesės normalės vektorius kartu yra ir tiesės krypties vektorius, todėl

Kampas tarp dviejų tiesių, kai žinomi tų tiesių krypties koeficientai[keisti]

Išvesime kampo tarp tiesių ir formulę, kai žinomi tų tiesių krypties koeficientai ir . Kadangi, susikertant dviem tiesėms, susidaro keturi kampai, iš kurių du yra skirtingi, tai kampu tarp tiesių ir (4.18 pav.) sutarsime vadinti smailųjį kampą , kuriou reikia sukti tiesę apie tašką C, kad ji sutaptų su tiese . Jeigu sukama priešinga laikrodžio rodyklės judėjimo kryptimi, tai kampas tyra teigiamas, jei laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi - yra neigiamas. Tiesių ir s ašimi Ox sudaromus kampus pažymėkime ir . Tada . Kadangi yra trikampio ABC priekampis, tai (nes trikampio vidaus kampų suma lygi , todėl kampas ABC yra lygus ); iš čia ir
Kai tiesės ir yra lygiagrečios, tai arba . Tada ir Lygybė ir atspindi dviejų tiesių lygiagretumo sąlygą.
Kai tiesė ir yra statmenos, tai ir Iš čia Vadinasi, arba Todėl lygybė išreiškia dviejų tiesių statmenumo sąlygą.


  • Pavyzdys. Tiesė eina per taškus A(2; 2) ir C(12; 8) (4.19 pav.). Per atkarpos AC vidurio tašką M nubrėžta tiesė BM sudaranti su AC kampą. Parašykite tiesės BM Lygtį.
Sprendimas. Parašykime tiesės AC, einančios per du žinomus taškus, lygtį:
Žinome, kad kryptinė tiesės lygtis yra Todėl, iš gautos lygties išreiškę sužinosime tiesės AC krypties koeficientą
Tiesės BM krypties koeficientą apskaičiuosime remdamiesi formule
Randame taško M koordinates:
Parašykime tiesės BM lygtį:
kampą su įstrižaine AC sudaro ir tiesė B'M. Jos krypties koeficientas nes statmena BM. Tuomet tiesės B'M lygtis bus tokia:


  • Pavyzdys. Duotos dvi tiesės ir Rasti kokius kampus šios tiesies sudaro su ašimi Ox.
Sprendimas.

Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą kurį mes gausime taip:

radiano arba
Tiesės krypties koeficientas yra
Pasinaudodami formule rasime kampą (4.18 pav.), kurį sudaro šios dvi susikertančios tiesės:
radiano arba
Žinodami, kad trikampio vidaus kampų suma lygi randame kampą, kurį sudaro tiesė ir ašis Ox:

Taško atstumas iki tiesės plokštumoje[keisti]

Tarkime, kad šalia tiesės T, kurios lygtis , duotas taškas Šio taško atstumas iki tiesės plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę


  • Pavyzdys. Dvi kvadrato kraštinės yra tiesėse, kurių lygtys ir . Apskaičiuokime to kvadrato plotą.
Sprendimas. Nurodytose tiesėse esančios kvadrato kvadrato kraštinės yra lygiagrečios, nes jų abiejų normalės vektorius yra Todėl kvadrato kraštinės ilgis lygus atstumui tarp šių tiesių arba atstumui nuo bet kurio pirmosios tiesės taško iki antrosios tiesės. Pasirinkime bet kurį tiesės tašką, pavyzdžiui, tašką, kurio abscisė Iš lygties gauname
Apskaičiuokime atstumą nuo taško (3; 4) iki tiesės Remdamiesi formule gauname:
Vadinasi kvadrato plotas

Nuorodos[keisti]