Matematika/Stokslo formulė

Stokso formulė nustato kokį darbą padarė taškas judėdamas be pagreičio (tarsi tai būtų kitas laukas, kito lauko vektorius) praeidamas iš vieno taško į kitą tašką erdviniame vektoriniame lauke $P(y,z)\mathbf {i} +Q(x,z)\mathbf {j} +R(x,y)\mathbf {k} .$ Laukas yra erdvinė figūra arba "banguotas audeklas" ir lauko vektorius kiekviename taške yra vektorius iš koordinačių pradžios taško O(0; 0; 0) iki tos figūros paviršiaus taško (per kurį keliauja kitas vektorius, kuris atlieka darbą). Kiekviename taške laukas tašką veiks skirtingai ir jeigu lauko ir judančio taško kryptys sutampa (kažkuriame taške), tai darbas pereinant tą tašką nepadarytas, o jeigu nesutampa, tada padarytas ir tuo didesnis, kuo taško krypties vektorius ir lauko vektorius tame taške yra labiau priešingų krypčių.

Stokso formulės apibrėžimas

Stokso formulė (išreiškianti kreivinį integralą per paviršinį). Jeigu S - orientuotas paviršius, gulintis viduje tam tikros srities ir apribotas uždaru konturu (K), ir P, Q, R - funkcijos trijų kintamųjų x, y, z, toje pačioje srityje, tai yra toks sąryšis

$\int _{K}P\;dx+Q\;dy+R\;dz=\iint _{S}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\;dy+\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)dy\;dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)dz\;dx.$

čia kreivinis integralas kairėje dalyje imamas konturu K ta kryptimi, kuri atrodo stebėtojui, stovinčiam ant veidinės pusės paviršiaus S prieš laikrodžio rodyklę (Pavyzdžiui, jei praboloido $z=1-x^{2}-y^{2}$ konturas K yra apskritimas $x^{2}+y^{2}=1$ ant xOy plokštumos, tai veidinė paraboloido pusė yra ta, kuri gali projektuotis į xOy plokštumą ir tada apeinama prieš laikrodžio rodyklę [kaip ir integruojant polinėje koordinačių sistemoje]).

Pavyzdžiai

• Tegu C yra kreivė apibudinama parametrinėmis lygtimis:

$x=0,$

$y=2+2\cos t,$

$z=2+2\sin t;$

$0\leq t\leq 2\pi .$

Panaudoti Stokslo formulę, kad apskaičiuoti $\int _{C}x^{2}e^{5z}\mathbf {d} x+x\cos y\mathbf {d} y+3y\mathbf {d} z.$

Sprendimas. Parametrinės lygtis apibūdina apskritimą spindulio $R=2$ ant yOz plokštumos. Čia $P=x^{2}e^{5z},\quad Q=x\cos y,\quad R=3y.$ Gauname

$\int _{C}P\;dx+Q\;dy+R\;dz=\iint _{S}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\;dy+\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)dy\;dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)dz\;dx=$

$=\iint _{S}\left(\cos y-0\right)dx\;dy+\left(3-0\right)dy\;dz+\left(5x^{2}e^{5z}-0\right)dz\;dx=$

$=\iint _{S}\cos(y)dx\;dy+3dy\;dz+5x^{2}e^{5z}dz\;dx=$

Nuorodos

• http://www.9math.com/book/stokes-formula
• Stokso formulė, 106 psl.
• Uždaviniai
• http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes'_theorem
• Stokso teorema ir uždaviniai
• http://mathinsight.org/stokes_theorem_idea
• Pavyzdžiai
• http://www.math24.net/stokes-theorem.html