Pereiti prie turinio

Matematika/Skaičius e

Iš Wikibooks.
Parodysime, kad
Kad įrodyti, kad reikia žinoti Niutono binomo formulę. O įrodymui, kad reikia žinoti geometrinę progresiją.
Niutono binomo formulę daugiau ar mažiau žino kiekvienas (besidomintis matematika). Todėl pateiksime tik geometrinės progresijos formulę ir jos išvedimą.

Geometrinė progresija[keisti]

Kai , suma pirmų n+1 geometrinės eilutės narių yra
Čia a yra bet koks realusis skaičius, r - realusis skaičius, n - natūrinis skaičius.
Kai tada eilutė konverguoja. Kai tada eilutė diverguoja (suma kai ). Kai tada eilutė diverguoja.
Dalinės sumos formulę galima išvesti padauginus n+1 narių sumą iš r ir paskui atimti gautą sumą iš pradinės sumos:
Kai n artėja prie begalybės, absoliuti reikšmė r turi būti mažesnė už vienetą, kad eilutė konverguotų. Suma tada tampa tokia
Kai gauname tokią paprastesnę eilutę ():


Apie geometrinę eilutę (ir kaip ji išvedama) anglų kalba galima paskaityti čia https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series
Apie geometrinę progresiją anglų kalba galima paskaityti čia https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression

Skaičius e[keisti]

Nagrinėkime seką su bendru nariu :
Įrodysime, kad jinai konverguoja. Tam pakanka įrodyti, kad seka - didėjanti ir aprėžta iš viršaus. Pritaikę Niutono binomo formulę gausime
Pateiksime šitą išraišką tokioje formoje:
Analogiškai pateiksime :
Pastebėsime dabar, kad kai Todėl kiekvienas dėmuo esantys išraiškoje didesnis už atitinkamą dėmenį esantį išraiškoje ir, be to, pas , palyginus su , prisideda dar vienas teigiamas dėmuo. Todėl t. y. seka didėjanti.
Įrodymui, kad duotoji seka aprėžta iš viršaus, pastebėsime, kad kiekviena išraiška apvaliuose skliaustuose atitikmens (1) mažesnė už vienetą. Atsižvelgę į tai, kad kai gauname
Panaudoję geometrinės progresijos sumos formulę
ateisime prie nelygybės
Tokiu budu, įrodyta, kad seka - didėjanti ir aprėžta iš viršaus. Todėl ji turi ribą. Šita riba žymima raide e. Taigi, pagal apibrėžimą,
Pažymėsime, kad skaičius e vaidina svarbų vaidmenį matematikoje. Jis yra natūrinio logaritmo pagrindas. Dabar tik apibrėžėme skaičių e. Čia pateiktas skaičiaus e apskaičiavimo budas bet kokiu tikslumu.
Čia tik pažymėsime, kadangi ir iš (1) akivaizdu, kad tai skaičius e yra ribose Įrodyta, kad skaičius e iracionalus.
Nors matematikos knygose bet iš (1) formulės akivaizdu, kad e daugiau už 2, nes, kai n artėja į begalybę


Nuorodos[keisti]