Matematika/Rutulys

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Sferos plotas[keisti]

Sferos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

kur

S - sferos plotas,
r - sferos spindulys.

Rutulio tūris[keisti]

Sferos ribojamas tūris

Rutulio nuopjovos tūris[keisti]

Jei rutulio spindulys R, o nuopjovos aukštinė h, tai rutulio nuopjovos tūrio formulė yra
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
Įrodysime. Išveskime ašį Ox, statmeną plokštumai . Tada rutulio nuopjovos pjūvio, gauto perkirtus ją ašiai Ox statmena plokštuma, plotas išreiškiamas formule o Pritaikę tūrių apskaičiavimo pagrindinę formulę, kai , , gauname:
Rutulio nuopjova yra ta dalis, kuri nupjaunama nuo rutulio (kaip nupjaunama dalis obuolio).

Rutulio sluoksnio tūris[keisti]

Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis, esanti tarp dviejų lygiagrečių plokštumų. Skrituliai, susidarę lygiagrečiomis plokštumomis perkirtus rutulį, vadinami rutulio sluoksnio pagrindais, o atstumas tarp tų plokštumų - rutulio sluoksnio aukštine.

Rutulio sluoksnio tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų ruulio nuopjovų tūrių skirtumą.
Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h tūris yra:
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.
Jei - tūris, kūgio sluoksnio, įdėto į rutulio sluoksnį, ir l - jo apotema, tai

Rutulio išpjovos tūris[keisti]

Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos tūrio formulė yra

Išvesime šią formulę. Rutulio spindulys yra R. Rutulio nuopjovos aukštinė yra h; kūgio aukštinė yra ; kūgio apotema lygi rutulio spinduliui R. Nuopjovos ir kūgio pagrindo spindulys yra r. Turime:
Randame kūgio tūrį:
Sudedame nuopjovos ir kūgio tūrius, kad gauti išpjovos tūrį:

Rutulio nuopjovos paviršiaus plotas[keisti]

Rutulio nuopjovos visas paviršiaus plotas (pridėjus pagrindo plotą) randamas pagal formulę:

čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
Nuopjovos be pagrindo plotas yra:
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys;
  • Apskaičiuosime rutulio nuopjovos plotą S, atsiradusi dėl sukimo pusiauapskritimio, aplink ašį Ox. Pagal formulę gauname:
Reikia pastebėti, kad nuopjovos plotas visada toks pat nepriklausomai, kurioje rutulio dalyje yra rutulio aukštinė h. Rutulio nuopjovos plotas priklauso tik nuo nuopjovos aukštinės h ilgio ir rutulio spindulio R.

Rutulio išpjovos paviršiaus plotas[keisti]

Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos ploto formulė yra:

čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.

Rutulio sluoksnio paviršiaus plotas[keisti]

Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h plotas yra:
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.
Rutulio sluoksnio plotas, neįskaitant pagrindų plotų, yra:
Rutulio spindulį R ir rutulio sluoksnio pagrindų spindulius, bei sluoksnio aukštinę h, jungia toks sąryšis:
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.