Matematika/Plokštuma

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Geriausiai plokštuma įsivaizduojama, kaip funkcija

Bendroji plokštumos lygtis yra:

Parinkime bet kokį tašką ant plokštumos. Tuomet vektorinė plokšumos lygtis yra Tuomet turime, kad
Tarkime, kad plokštuma koordinačių ašyse Ox, Oy ir Oz atkerta atitinkamai atkarpas a, b ir c. Tai reiškia, kad plokštuma eina per taškus (a; 0; 0), (0; b; 0) ir (0; 0; c). Šių taškų koordinatės tinka lygčiai , todėl teisingos lygybės
Iš čia
Įrašę šias A, B ir C išraiškas į lygtį , gauname
Ši lygtis vadinama ašine plokštumos lygtimi.
  • Pavyzdžiui, lygties ašinė lygtis yra:
  • Pavyzdys. Kokią plokštumos ir erdvės taškų aibę apibūdina lygtis ?
Sprendimas. Erdvėje lygtis apibūdina plokštumą, lygiagrečią su ašimi Oy. Šios plokštumos normalės vektorius Plokštumoje xOz ši lygtis nusako tiesę, kuri kerta koordinačių ašis taškuose ir .

Plokštumos normalė[keisti]

Plokštumos normalė yra vektorius Plokštumos normalė yra tiesė praeinanti pro tą plokštumą ir susikirtimo taške sudaranti 90 laipsnių kampą. Plokštumos normalė visada išeina iš taško O(0; 0; 0). Todėl plokštumos normalė yra paprasčiausia tiesė jungianti du taškus O(0; 0; 0) ir N(A; B; C) ir ta tiesė yra statmena plokštumai .

Kampas tarp dviejų plokštumų[keisti]

Tarkime, duotos dvi plokštumos ir , kurių lygtys ir Kampas tarp plokštumų ir lygus kampui tarp jų normalės vektorių ir

Kadangi tai, remdamiesi vektorių formule, gauname sąryšį
kuris apibūdina kampą tarp plokštumų ir .
Jei Plokštumų ir normalės ir yra statmenos, tada ir tada plokštumos ir yra statmenos.
Plokštumų ir lygiagretumo sąlyga išplaukia iš jų normalės vektorių ir kolinerumo ir yra tokia:

Taško atstumas iki plokštumos[keisti]

Tarkime, kad šalia plokštumos , kurios lygtis , duotas taškas . Rasime jo atstumą d iki plokštumos . Iš taško nuleiskime statmenį į plokštumą ir to statmens pagrindą pažymėkime Tada Kadangi vektorius ir plokštumos normalės vektorius yra kolinearūs, tai jų sudaromas kampas lygus nuliui arba 180 laipsnių. Todėl
Čia ir Ir , nes priklauso plokštumai .


  • Pavyzdys. Duota plokštuma ir taškas .

Rasti atstumą d nuo taško iki duotos plokštumos.

Sprendimas.
Toliau padaliname plokštumos lygtį iš ir gauname:
Į lygtį įstatome taško koordinates ir gauname taško atstumą iki plokštumos , taigi:
Plokštumos normalė yra tiesė ON, kuri statmena plokštumai . Taškų koordinatės yra O(0; 0; 0) ir N(1; 2; 2). Tokiu budu, tiesė ON kerta plokštumą (arba pratesta kerta), sudarydama statų kampą su plokštuma .
  • Pavyzdys. Dvi kubo sienos yra plokštumose ir . Apskaičiuokime to kubo tūrį.
Sprendimas. Kadangi nurodytų plokštumų normalės vektorių ir koordinatės yra proporcingos, tai tos plokštumos yra lygiagrečios. Todėl kubo briaunos ilgis lygus atstumui tarp šių plokštumų. Antra vertus, šis atstumas lygus atstumui d nuo bet kurio plokštumos taško iki plokštumos .
Parainkime kurį nors plokštumos tašką, pavyzdžiui, tašką, kurio Tada Apskaičiuokime atstumą d nuo taško iki plokštumos , taigi:
Vadinasi kubo tūris

Liečiamoji plokštuma paviršiaus[keisti]

Liečiamoji plokštuma ir normalė tos plokštumos, kuri liečia paviršių, kurio lygtis Tegu paviršius nusakomas lygtimi

Tokia lygtis gali būti, pavyzdžiui, paraboloido lygtis
Paimkime ant to paviršiaus tašką
Jei apibrėžime šito taško funkcija netruki ir jos dalinės išvestinės netrukios, priedo tai šalia taško paviršių galima įsivaizduoti kaip lygtį kur funkcija vienareikšmė, netrūki ir turi netrūkias dalines išvestines. Iš čia, iš dalies, seka, kad taške funkcija diferencijuojama, t. y. duotas paviršius turi nevertikalią liečiančią plokštumą.
Lygtis šios plokštumos, kaip mes žinome, turi pavidalą:
Įstatę į jį reikšmes ir
po elementarių pertvarkymų gausime lygtį liečiamosios plokštumos paviršiaus taške pavidale:
Lygtys normalės tam pačiam paviršiui taške turės pavidalą:

Taškas kuriame vadinamas ypatingu tašku paviršiaus. Šiame taške paviršius gali neturėti liečiamosios plokštumos.

Pavyzdžiai[keisti]

  • Rasti lygtį liečiamosios plokštumos ir normalę paviršiui taške
Čia
Randame dalinių išvestinių reikšmes taške
Gauname liečiamosios plokštumos lygtį:
arba,
Liečiamosios plokštumos normalinis vektorius yra kuris dar vadinamas normale taške
Gauname normalės taške lygtis: