Matematika/Plokštuma

Geriausiai plokštuma įsivaizduojama, kaip funkcija $z=ax+by+c.$

Bendroji plokštumos lygtis yra:

$Ax+By+Cz+D=0.$

Parinkime bet kokį tašką $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ ant plokštumos. Tuomet vektorinė plokšumos lygtis yra $A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.$ Tuomet turime, kad $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}.$

Tarkime, kad plokštuma koordinačių ašyse Ox, Oy ir Oz atkerta atitinkamai atkarpas a, b ir c. Tai reiškia, kad plokštuma eina per taškus (a; 0; 0), (0; b; 0) ir (0; 0; c). Šių taškų koordinatės tinka lygčiai $Ax+By+Cz+D=0$, todėl teisingos lygybės

$A\cdot a+B\cdot 0+C\cdot 0+D=0,$

$A\cdot 0+B\cdot b+C\cdot 0+D=0,$

$A\cdot 0+B\cdot 0+C\cdot c+D=0.$

Iš čia

$A=-{\frac {D}{a}},\;\;B=-{\frac {D}{b}}\;\;C=-{\frac {D}{c}}.$

Įrašę šias A, B ir C išraiškas į lygtį $Ax+By+Cz+D=0$, gauname

$-{\frac {D}{a}}x-{\frac {D}{b}}y-{\frac {D}{c}}z+D=0,$

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1.$

Ši lygtis vadinama ašine plokštumos lygtimi.

• Pavyzdžiui, lygties $3x-4y+2z=12$ ašinė lygtis yra:

$(3x-4y+2z)/12=12/12,$

${\frac {x}{4}}+{\frac {y}{-3}}+{\frac {z}{6}}=1.$

• Pavyzdys. Kokią plokštumos ir erdvės taškų aibę apibūdina lygtis $3x+5z=15$?

Sprendimas. Erdvėje lygtis $3x+5z=15$ apibūdina plokštumą, lygiagrečią su ašimi Oy. Šios plokštumos normalės vektorius ${\vec {n}}=(3;\;0;\;5).$ Plokštumoje xOz ši lygtis nusako tiesę, kuri kerta koordinačių ašis taškuose $M_{1}(5;0;0)$ ir $M_{2}(0;0;3)$.

Plokštumos normalė

Plokštumos $Ax+By+Cz+D=0$ normalė yra vektorius ${\vec {n}}=(A;\;B;\;C).$ Plokštumos normalė yra tiesė praeinanti pro tą plokštumą ir susikirtimo taške sudaranti 90 laipsnių kampą. Plokštumos normalė visada išeina iš taško O(0; 0; 0). Todėl plokštumos normalė yra paprasčiausia tiesė jungianti du taškus O(0; 0; 0) ir N(A; B; C) ir ta tiesė yra statmena plokštumai $Ax+By+Cz+D=0$.

Kampas tarp dviejų plokštumų

Tarkime, duotos dvi plokštumos $\pi _{1}$ ir $\pi _{2}$, kurių lygtys $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ ir $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.$ Kampas tarp plokštumų $\pi _{1}$ ir $\pi _{2}$ lygus kampui tarp jų normalės vektorių ${\vec {n_{1}}}$ ir ${\vec {n_{2}}}.$

Kadangi ${\vec {n_{1}}}=(A_{1};B_{1};C_{1}),\;\;{\vec {n_{2}}}=(A_{2};B_{2};C_{2}),$ tai, remdamiesi vektorių formule, gauname sąryšį

$\cos \phi ={\frac {{\vec {n_{1}}}\cdot {\vec {n_{2}}}}{\|{\vec {n_{1}}}\|\cdot \|{\vec {n_{2}}}\|}}={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}}},$

kuris apibūdina kampą $\phi$ tarp plokštumų $\pi _{1}$ ir $\pi _{2}$.

Jei Plokštumų $\pi _{1}$ ir $\pi _{2}$ normalės ${\vec {n_{1}}}$ ir ${\vec {n_{2}}}$ yra statmenos, tada ${\vec {n_{1}}}\cdot {\vec {n_{2}}}=A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0,$ ir tada plokštumos $\pi _{1}$ ir $\pi _{2}$ yra statmenos.

Plokštumų $\pi _{1}$ ir $\pi _{2}$ lygiagretumo sąlyga išplaukia iš jų normalės vektorių ${\vec {n_{1}}}$ ir ${\vec {n_{2}}}$ kolinerumo ir yra tokia:

${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}.$

Taško atstumas iki plokštumos

Tarkime, kad šalia plokštumos $\pi$, kurios lygtis $Ax+By+Cz+D=0$, duotas taškas $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$. Rasime jo atstumą d iki plokštumos $\pi$. Iš taško $M_{1}$ nuleiskime statmenį $M_{1}M_{0}$ į plokštumą $\pi$ ir to statmens pagrindą pažymėkime $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}).$ Tada $d=|{\vec {M_{0}M_{1}}}|.$ Kadangi vektorius ${\vec {M_{0}M_{1}}}$ ir plokštumos $\pi$ normalės vektorius ${\vec {n}}$ yra kolinearūs, tai jų sudaromas kampas $\phi$ lygus nuliui arba 180 laipsnių. Todėl $\cos \phi =\pm 1.$

$d={\frac {|{\vec {M_{0}M_{1}}}\cdot {\vec {n}}|}{\|{\vec {n}}\|}}={\frac {|(x_{1}-x_{0})A+(y_{1}-y_{0})B+(z_{1}-z_{0})C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.$

Čia ${\vec {M_{0}M_{1}}}=(x_{1}-x_{0};y_{1}-y_{0};z_{1}-z_{0})$ ir ${\vec {n}}=(A;B;C).$ Ir $-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=D$, nes $M_{0}$ priklauso plokštumai $\pi$.

• Pavyzdys. Duota plokštuma $x+2y+2z-8=0$ ir taškas $M_{1}(1;1;1)$.

Rasti atstumą d nuo taško $M_{1}$ iki duotos plokštumos.

Sprendimas.

$\|{\vec {n}}\|={\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}={\sqrt {1^{2}+2^{2}+2^{2}}}={\sqrt {1+4+4}}={\sqrt {9}}=3.$

Toliau padaliname plokštumos lygtį iš $\|{\vec {n}}\|=3$ ir gauname:

${\frac {x+2y+2z-8}{3}}=0,$

${\frac {1}{3}}x+{\frac {2}{3}}y+{\frac {2}{3}}z-{\frac {8}{3}}=0.$

Į lygtį ${\frac {1}{3}}x+{\frac {2}{3}}y+{\frac {2}{3}}z-{\frac {8}{3}}=0$ įstatome taško $M_{1}(1;1;1)$ koordinates ir gauname taško $M_{1}(1;1;1)$ atstumą iki plokštumos $x+2y+2z-8=0$, taigi:

$d=|{\frac {1}{3}}\cdot 1+{\frac {2}{3}}\cdot 1+{\frac {2}{3}}\cdot 1-{\frac {8}{3}}|=|-{\frac {3}{3}}|=1.$

Plokštumos $x+2y+2z-8=0$ normalė yra tiesė ON, kuri statmena plokštumai $x+2y+2z-8=0$. Taškų koordinatės yra O(0; 0; 0) ir N(1; 2; 2). Tokiu budu, tiesė ON kerta plokštumą (arba pratesta kerta), sudarydama statų kampą su plokštuma $x+2y+2z-8=0$.

• Pavyzdys. Dvi kubo sienos yra plokštumose $3x-4y+z+15=0$ ir $6x-8y+2z-7=0$. Apskaičiuokime to kubo tūrį.

Sprendimas. Kadangi nurodytų plokštumų normalės vektorių ${\vec {n_{1}}}=(3;-4;1)$ ir ${\vec {n_{1}}}=(6;-8;2)$ koordinatės yra proporcingos, tai tos plokštumos yra lygiagrečios. Todėl kubo briaunos ilgis lygus atstumui tarp šių plokštumų. Antra vertus, šis atstumas lygus atstumui d nuo bet kurio plokštumos $6x-8y+2z-7=0$ taško iki plokštumos $3x-4y+z+15=0$.

Parainkime kurį nors plokštumos $6x-8y+2z-7=0$ tašką, pavyzdžiui, tašką, kurio $y=-1,$ $z=1.$ Tada $6x-8\cdot (-1)+2\cdot 1-7=0,$ $6x+8+2-7=0,$ $6x+3=0,$ $6x=-3,$ $x=-{\frac {1}{2}}.$ Apskaičiuokime atstumą d nuo taško $M_{1}(-0,5;-1;1)$ iki plokštumos $3x-4y+z+15=0$, taigi:

$d={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}={\frac {|3\cdot (-0,5)+(-4)\cdot (-1)+1\cdot 1+15|}{\sqrt {3^{2}+(-4)^{2}+1^{2}}}}={\frac {|-{\frac {3}{2}}+4+1+15|}{\sqrt {9+16+1}}}={\frac {|18,5|}{\sqrt {9+16+1}}}=$

$={\frac {18,5}{\sqrt {26}}}={\frac {37}{2{\sqrt {26}}}}=3.6281485.$

Vadinasi kubo tūris

$V=d^{3}=\left({\frac {37}{2{\sqrt {26}}}}\right)^{3}=3.6281485^{3}=47,75899324.$

Liečiamoji plokštuma paviršiaus

Liečiamoji plokštuma ir normalė tos plokštumos, kuri liečia paviršių, kurio lygtis $F(x,\;y,\;z)=0.$ Tegu paviršius nusakomas lygtimi

$F(x,\;y,\;z)=0.$

Tokia lygtis gali būti, pavyzdžiui, paraboloido lygtis $z=x^{2}+y^{2},$

$x^{2}+y^{2}-z=0.$

Paimkime ant to paviršiaus tašką $M_{0}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0}).$

Jei apibrėžime šito taško funkcija $F(x,\;y,\;z)$ netruki ir jos dalinės išvestinės netrukios, priedo $F'_{z}(x_{0};y_{0};z_{0})\neq 0,$ tai šalia taško $M_{0}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0})$ paviršių galima įsivaizduoti kaip lygtį $z=f(x;y),$ kur funkcija vienareikšmė, netrūki ir turi netrūkias dalines išvestines. Iš čia, iš dalies, seka, kad taške $M_{0}(x_{0};y_{0})$ funkcija $z=f(x;y)$ diferencijuojama, t. y. duotas paviršius turi nevertikalią liečiančią plokštumą.

Lygtis šios plokštumos, kaip mes žinome, turi pavidalą:

$z-z_{0}=(x-x_{0}){\frac {\partial z}{\partial x}}|_{M_{0}}+(y-y_{0}){\frac {\partial z}{\partial x}}|_{M_{0}}=(x-x_{0}){\frac {\partial z(x_{0};y_{0})}{\partial x}}+(y-y_{0}){\frac {\partial z(x_{0};y_{0})}{\partial x}}.$

Įstatę į jį reikšmes ${\frac {\partial z}{\partial x}}$ ir ${\frac {\partial z}{\partial y}}:$

${\frac {\partial z}{\partial x}}|_{M_{0}}=-{\frac {F'_{x}(x_{0};y_{0};z_{0})}{F'_{z}(x_{0};y_{0};z_{0})}},\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}|_{M_{0}}=-{\frac {F'_{y}(x_{0};y_{0};z_{0})}{F'_{z}(x_{0};y_{0};z_{0})}},$

po elementarių pertvarkymų gausime lygtį liečiamosios plokštumos paviršiaus $F(x,\;y,\;z)=0$ taške $M_{0}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0})$ pavidale:

$F'_{x}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0})(x-x_{0})+F'_{y}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0})(y-y_{0})+F'_{z}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0})(z-z_{0})=0.$

Lygtys normalės tam pačiam paviršiui taške $M_{0}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0})$ turės pavidalą:

${\frac {x-x_{0}}{F'_{x}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0})}}={\frac {y-y_{0}}{F'_{y}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0})}}={\frac {z-z_{0}}{F'_{z}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0})}}.$

Taškas $M_{0}(x_{0};\;y_{0};\;z_{0}),$ kuriame $F'_{x}=F'_{y}=F'_{z}=0,\;$ vadinamas ypatingu tašku paviršiaus. Šiame taške paviršius gali neturėti liečiamosios plokštumos.

Pavyzdžiai

• Rasti lygtį liečiamosios plokštumos ir normalę paviršiui $z=x^{2}+y^{2},$ taške $M_{0}(3;4;25).$

Čia $F(x;y;z)=x^{2}+y^{2}-z,$

$F'_{x}(x;y;z)=2x,\;$

$F'_{y}(x;y;z)=2y,\;$

$F'_{z}(x;y;z)=-1.\;$

Randame dalinių išvestinių reikšmes taške $M_{0}(3;4;5):$

$F'_{x}(3;4;25)=2\cdot 3=6,\;$

$F'_{y}(3;4;25)=2\cdot 4=8,\;$

$F'_{z}(3;4;25)=-1.\;$

Gauname liečiamosios plokštumos lygtį:

$z-25=6(x-3)+8(y-4),$

arba,

$z=6(x-3)+8(y-4)+25=6x-18+8y-32+25=6x+8y-25.$

Liečiamosios plokštumos normalinis vektorius yra ${\vec {n}}=({\frac {\partial z(3;4)}{\partial x}};\;{\frac {\partial z(3;4)}{\partial y}};\;-1)=(6;\;8;\;-1),$ kuris dar vadinamas normale taške $M_{0}.$

Gauname normalės taške $M_{0}(3;4;25)$ lygtis:

${\frac {x-3}{6}}={\frac {y-4}{8}}={\frac {z-25}{-1}}.$