Iš Wikibooks.
Piramidės pagrindas gali būti bet kokia plokščia figūra, o piramidės aukštis yra aukštinės, kuri statmena pagrindui, ilgis. Piramidės tūris [ keisti ] Piramidės, kurios pagrindas yra S , o aukštinė h , tūris yra:
V
=
S
⋅
h
3
.
{\displaystyle V={\frac {S\cdot h}{3}}.}
Nupjautinės piramidės tūris [ keisti ] Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė lygi h , o pagrindų plotai S ir
S
1
{\displaystyle S_{1}}
V
=
1
3
h
(
S
+
S
1
+
S
⋅
S
1
)
=
1
3
⋅
h
⋅
(
π
r
2
+
π
r
1
2
+
π
r
2
⋅
π
r
1
2
)
=
1
3
⋅
h
⋅
π
(
r
2
+
r
1
2
+
r
⋅
r
1
)
.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}\cdot h\cdot (\pi r^{2}+\pi r_{1}^{2}+{\sqrt {\pi r^{2}\cdot \pi r_{1}^{2}}})={\frac {1}{3}}\cdot h\cdot \pi (r^{2}+r_{1}^{2}+r\cdot r_{1}).}
Jei daugiakampės nupjautinės piramidės pagrindų atitinkamos kraštinės yra A ir a ; S - dydžiojo pagrindo plotas;
S
1
{\displaystyle S_{1}}
V
=
1
3
h
(
S
+
S
1
+
S
⋅
S
1
)
=
1
3
h
S
[
1
+
a
A
+
(
a
A
)
2
]
.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right].}
Pavyzdžiui, nupjautinio kūgio, kurio
r
=
8
{\displaystyle r=8}
r
1
=
3
{\displaystyle r_{1}=3}
h
=
5
{\displaystyle h=5}
V
=
1
3
h
(
S
+
S
1
+
S
⋅
S
1
)
=
1
3
⋅
5
⋅
(
π
⋅
8
2
+
π
⋅
3
2
+
π
⋅
8
2
⋅
π
⋅
3
2
)
=
1
3
⋅
5
π
(
64
+
9
+
8
⋅
3
)
=
1
3
⋅
5
π
⋅
97
=
485
π
3
=
507.8908123.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}\cdot 5\cdot (\pi \cdot 8^{2}+\pi \cdot 3^{2}+{\sqrt {\pi \cdot 8^{2}\cdot \pi \cdot 3^{2}}})={\frac {1}{3}}\cdot 5\pi (64+9+8\cdot 3)={\frac {1}{3}}\cdot 5\pi \cdot 97={\frac {485\pi }{3}}=507.8908123.}
Kai apotema su kūgio pagrindu sudaro 45 laipsnių kampą kaip šiame pavyzdyje, tai nupjautinio kūgio tūris gali būtis apskaičiuotas taikant sukimo paviršiaus tūrio skaičiavimą integravimo metodu:
V
=
π
∫
3
8
r
2
d
r
=
π
∫
3
8
x
2
d
x
=
π
⋅
x
3
3
|
3
8
=
π
(
8
3
3
−
3
3
3
)
=
π
(
512
3
−
27
3
)
=
π
(
512
3
−
9
)
=
161.666667
π
=
507.8908123.
{\displaystyle V=\pi \int _{3}^{8}r^{2}dr=\pi \int _{3}^{8}x^{2}dx=\pi \cdot {\frac {x^{3}}{3}}|_{3}^{8}=\pi ({\frac {8^{3}}{3}}-{\frac {3^{3}}{3}})=\pi ({\frac {512}{3}}-{\frac {27}{3}})=\pi ({\frac {512}{3}}-9)=161.666667\pi =507.8908123.}
Pavyzdis . Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai kvadratai su kraštinėmis
A
=
5
{\displaystyle A=5}
a
=
3
{\displaystyle a=3}
h
=
4
{\displaystyle h=4}
V
=
1
3
h
(
S
+
S
1
+
S
⋅
S
1
)
=
1
3
h
(
A
2
+
a
2
+
A
2
⋅
a
2
)
=
4
3
(
5
2
+
3
2
+
5
⋅
3
)
=
4
3
(
25
+
9
+
15
)
=
4
3
⋅
49
=
196
3
=
65
,
3
(
3
)
.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}h(A^{2}+a^{2}+{\sqrt {A^{2}\cdot a^{2}}})={\frac {4}{3}}(5^{2}+3^{2}+5\cdot 3)={\frac {4}{3}}(25+9+15)={\frac {4}{3}}\cdot 49={\frac {196}{3}}=65,3(3).}
V
=
1
3
h
S
[
1
+
a
A
+
(
a
A
)
2
]
=
1
3
⋅
4
⋅
5
2
[
1
+
3
5
+
(
3
5
)
2
]
=
100
3
⋅
1
,
96
=
65
,
33333333.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{3}}\cdot 4\cdot 5^{2}\left[1+{\frac {3}{5}}+\left({\frac {3}{5}}\right)^{2}\right]={\frac {100}{3}}\cdot 1,96=65,33333333.}
Pavyzdis . Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai stačiakampiai su didžiojo pagrindo kraštinėmis
A
=
5
{\displaystyle A=5}
B
=
7
{\displaystyle B=7}
a
=
3
{\displaystyle a=3}
b
=
4.2
{\displaystyle b=4.2}
h
=
4
{\displaystyle h=4}
V
=
1
3
h
(
S
+
S
1
+
S
⋅
S
1
)
=
1
3
h
(
A
⋅
B
+
a
⋅
b
+
A
⋅
B
⋅
a
⋅
b
)
=
4
3
(
5
⋅
7
+
3
⋅
4.2
+
5
⋅
7
⋅
3
⋅
4.2
)
=
4
3
(
35
+
12.6
+
441
)
=
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}h(A\cdot B+a\cdot b+{\sqrt {A\cdot B\cdot a\cdot b}})={\frac {4}{3}}(5\cdot 7+3\cdot 4.2+{\sqrt {5\cdot 7\cdot 3\cdot 4.2}})={\frac {4}{3}}(35+12.6+{\sqrt {441}})=}
=
4
3
(
47.6
+
21
)
=
4
3
⋅
68.6
=
274.4
3
=
91.46666667.
{\displaystyle ={\frac {4}{3}}(47.6+21)={\frac {4}{3}}\cdot 68.6={\frac {274.4}{3}}=91.46666667.}
V
=
1
3
h
S
[
1
+
a
A
+
(
a
A
)
2
]
=
1
3
⋅
4
⋅
5
⋅
7
[
1
+
3
5
+
(
3
5
)
2
]
=
140
3
⋅
1.96
=
91.466666667.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{3}}\cdot 4\cdot 5\cdot 7\left[1+{\frac {3}{5}}+\left({\frac {3}{5}}\right)^{2}\right]={\frac {140}{3}}\cdot 1.96=91.466666667.}
Kraštinių santykis vienodas, 7/5=1.4 ir 4.2/3=1.4. Nupjautinės piramidės tūrio formulės įrodymas [ keisti ] Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė H , o pagrindų plotai S ir s , tūris lygus
1
3
H
(
S
+
s
+
S
s
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{3}}H(S+s+{\sqrt {Ss}}).}
Sakykime, piramidės viršūnė yra taškas O . Per tašką O mubrėžkime Ox ašį, statmeną piramidės pagrindui. Tarkime, kad nupjautinės piramidės pagrindai kerta Ox ašį taškuose a ir b (a <b ). Kiekviena Ox ašiai statmena plokštuma, kertanti tos ašies atkarpą [a ; b ] taške x , išpjauna iš piramidės daugiakampį, panašų į piramidės pagrindą. Todėl to pjūvio plotas S(x) lygus
k
x
2
;
{\displaystyle kx^{2};}
k
=
S
b
2
.
{\displaystyle k={\frac {S}{b^{2}}}.}
s
=
S
(
a
)
=
k
a
2
{\displaystyle s=S(a)=ka^{2}\;}
S
=
S
(
b
)
=
k
b
2
.
{\displaystyle \;S=S(b)=kb^{2}.}
Nupjautinės piramidės tūrį skaičiuojame pagal formulę:
V
=
∫
a
b
S
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
k
x
2
d
x
=
k
3
x
3
|
a
b
=
k
3
(
b
3
−
a
3
)
=
{\displaystyle V=\int _{a}^{b}S(x)dx=\int _{a}^{b}kx^{2}dx={\frac {k}{3}}x^{3}|_{a}^{b}={\frac {k}{3}}(b^{3}-a^{3})=}
=
b
−
a
3
(
k
b
2
+
k
a
b
+
k
a
2
)
=
H
3
(
S
+
S
s
+
s
)
.
{\displaystyle ={\frac {b-a}{3}}(kb^{2}+kab+ka^{2})={\frac {H}{3}}(S+{\sqrt {Ss}}+s).}
Taikydami šią formulę piramidei, tariame, kad
s
=
0.
{\displaystyle s=0.}
V
=
1
3
H
S
.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}HS.}
![{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a606520902177a678f7c61cba6366c1059242e08)
![{\displaystyle V={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{3}}\cdot 4\cdot 5^{2}\left[1+{\frac {3}{5}}+\left({\frac {3}{5}}\right)^{2}\right]={\frac {100}{3}}\cdot 1,96=65,33333333.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c688cb1a56f003c3291f0223c156faa3a33ab67)
![{\displaystyle V={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{3}}\cdot 4\cdot 5\cdot 7\left[1+{\frac {3}{5}}+\left({\frac {3}{5}}\right)^{2}\right]={\frac {140}{3}}\cdot 1.96=91.466666667.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f04a40c9b5ce2fbd5b59a06660c82e1d40e8e32)
