Matematika/Paviršių liečianti plokštuma

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Liečianti plokštuma ir normalė paviršiui, apibūdintam lygtimi Geometrinė prasmė pilno diferencialo funkcijoms dviejų kintamųjų.


Egzistuoja keletas ekvivalenčių tarpusavyje apibūdinimų paviršiaus liečiamosios plokštumos. Siūlomas žemiau apibūdinimas yra naturalus apibendrinimas liestinės (tiesės) kreivei.
Tegu - taškas duoto paviršiaus. Parinkime ant paviršiaus kitą, kintantį, tašką N ir pravesime kertančią tiesę
Plokštuma, praeinanti per tašką , vadinasi liečiamaja plokštuma paviršiaus taške , jeigu kampas tarp kirstinės ir šitos plokštumos artėja į nulį, kai atstumas artėja į nulį, nepriklausant kokiu budu taškas N ant paviršiaus artės prie taško (žiūrėti pav. 303).
Normalė paviršiaus taške vadinama tiesė, praeinanti per tašką statmenai liečiančios plokštumos paviršiaus šitame taške.
Iš apibūdinimo seka, kad arba paviršius duotame taške turi tiktai vieną liečiančią plokštumą, arba jos neturi visai.
Pavyzdžiui, paviršius, apibūdinamas lygtimi (kūginis paviršius), taške O(0; 0; 0) liečiamosios plokštumos neturi.
Parodysime, kad pas paviršių užduotą lygtimį , kur - funkcija, diferencijuojama taške , liečiamoji plokštuma taške egzistuoja ir turi lygtį
Tegu - dabartinis taškas paviršiaus. Pažymėsime per kampą tarp kirstinės ir plokštumos (1). Parodysime, kad artėjant taškui N į tašką kampas , arba, kas tapatu, artėja prie nulio. Šituo ir bus įrodyta, kad plokštuma (1) yra liečiamoji plokštuma duotajam paviršiui taške .
Nuleisime iš taško N statmenį NK į plokštumą (1) ir statmenį NM į plokštumą xOy. - taškas susikirtimo statmens NM su plokštuma (1) (pav. 304). Tada Priedo
304 pav. suprantamiau pavaizduota.
Jeigu taškas N artėja prie taško , tada ir artėja prie nulio ir reiškia artėja prie nulio.
Kadangi funkcija f(x; y) diferencijuojama taške , dydis bus begalo mažas didesnės eilės, negu , t. y. santykis kai artės prie nulio. Iš čia seka, kad ir pats kampas artėja prie nulio, kai
Tokiu budu, mes įrodėme, kad jeigu funkcija taške diferencijuojama, tai vaizduojantis ją paviršius taške turi nevertikalią liečiamąją plokštumą.
Galima įrodyti ir atvirkštinį teiginį: jeigu taške paviršius, vaizduojantis netrūkią funkciją turi nevertikalią liečiamąją plokštumą, tai funkcija taške (x; y) diferencijuojama.
Pagal išvaizda lygties (1) liečiamosios plokštumos prie paviršiaus, užrašyto lygtimi , taške , lengva parašyti lygtį normalės:
Išsiaiškinsime dabar geometrinę prasmę pilnojo diferencialo funkcijos dviejų kintamųjų.
Tegu funkcija diferencijuojama taške . Tai reiškia, kad paviršius, apibūdintas lygtimi , turi taške liečiamąją plokštumą. Jos lygtį galima užrašytį pavidale:
arba, pažymėję , , pavidale:
Šioje lygybėje kairėje stovi skirtumas aplikačių taškų liečiamosios plokštumos, atitinkančių taškams ir o iš dešinės - pilnas diferencialas funkcijos taške .
Tokiu budu, pilnas diferencialas funkcijos taške geometriškai reiškia priaugimą aplikatės liečiamosios plokštumos paviršiaus, vaizduojančio funkciją, taške pereinant iš taško į tašką (priminsime, kad funkcijai nuo vieno kintamojo diferencialas taške yra priaugimas ordinatės liestinės prie kreivės, vaizduojančios funkciją, taške pereinant iš taško į tašką
Funkcijai pavaizduotai pav 305, diferencialas dz taške neigiamas.


Apibendrinimas. Paviršiaus liečiamosios plokštumos
taške normalės vektorius yra Taškas jungiasi su bet kuriuo paviršiaus tašku N ir gaunamas vektorius Žinome, kad dviejų vienas kitam statmenų vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui. Todėl ir turime tokią liečiamosios plokštumos lygtį, kai sudauginame du vektorius:
Kai taškas tai kampas tarp liečiamosios plokštumos normalės ir vektoriaus artėja prie Tolygus kampo didėjimas (iki ) tarp vektorių ir , kai ir įrodo, kad paviršius turi tik vieną tašką (), kuriame liečiasi su [liečiamaja] plokštuma.
Gaunasi, kad
kai Tada tarp ir Vadinasi, kai kampas tarp atkarpos ir liečiamosios plokštumos normalės artėja prie


Paviršių liečiančios plokštumos įrodymas[keisti]

Analogiškai tam, kaip diferencialas funkcijos vieno kintamojo geometriškai reiškia priaugimą "ordinatės liestinės", diferencialas funkcijos dviejų kintamųjų yra priaugimas aplikatės liečiamosios plokštumos. Įvesime apibrėžimą liečiamosios plokštumos paviršiaus taške .

Paviršiaus liečiamoji plokštuma taške ; ; ;
Plokštuma, praeinanti pro tašką paviršiaus, vadinasi liečiamaja plokštuma paviršiaus šitame taške, jeigu kampas tarp kirstinės (tiesės), praeinančios per tašką ir betkurį tašką N paviršiaus, ir plokštuma (плоскостью) artėja prie nulio, kai taškas N artėją į tašką .
Tegu paviršius apibūdintas lygtimi ir funkcija diferencijuojama taške
Įrodysime, kad paviršiaus liečiamoji plokštuma taške kur apibūdinama lygtimi
Iš tikro, iš analytinės geometrijos žinoma, kad lygtis (4) apibūdina plokštumą, praeinančią per tašką ir turinčią normalės vektorių Kad nustatyti, kad šita plokštuma yra liečiamoji, užtenka įrodyti, kad kampas tarp vektoriaus ir vektoriaus betkokios kirstinės artėja į kai taškas N artėja prie taško . Koordinates taško N pažymėsime (x; y; z), kur Kadangi koordinatės vektoriaus lygios , , -1, o koordinatės vektoriaus lygios , , , tai
Bet, kaip seka iš apibrėžimo , kur Todėl
kai Iš čia seka, kad ką ir reikėjo įrodyti.
Normalės vektorių liečiamosios plokštumos vadina normale paviršiaus taške . Tegu , , ; tada iš lygybės (4) gauname, kad priaugimas "aplikatės liečiamosios plokštumos" nustatomas formule
t. y. iš tikro sutampa su diferencialu funkcijos


Įrodymo apibendrinimas. Kadangi kai tai iš to daroma išvada, kad kai ir kai Vadinasi, su visomis taško N koordinatėmis (x; y; z), tarp visų vektorių, kokie gali gautis iš vektoriaus įstačius konkrečias koordinates į kintamo taško N(x; y; z) koordinates, kampas tarp [betkokio] vektoriaus ir vektoriaus artėja į kai artėja į nulį.

Vektoriaus ilgis irgi artėja į nulį, kai bet kas yra svarbiausia apie vektorius, kad jie turi kryptį nepriklausomai nuo ilgio, todėl, jei proporcingai padinti taško N koordinates ir taško koordinates tiek pat kartų, gausime, kad tiesiog vektoriaus koordinates padauginsime iš bet kokios konstantos c ir gausime vektorių Vadinasi vektorinės rodiklės keliauja iki begalybės (arba tiesiog iki labai didelės reikšmės) ir [liečiamoji] plokštuma vis tiek yra begalinė (labai didelė), jei konstanta c yra labai didelė.
Tuomet iškyla naturali išvada, kad jeigu visi statūs plokštumos normalei vektoriai sudaryti iš vektoriaus egzistuoja ir yra žinoma skaliarinė sandauga tarp bet kurio vektoriaus, kuris gali atsirasti iš vektoriaus ir tarp normalės vektoriaus ir ta skaliarinė sandauga lygi nuliui:
tai vadinasi, belieka tik vienas variantas, kad [visi vektoriai gauti iš yra statūs normalei ir] pati normalė yra arba


Pavyzdžiai[keisti]

  • Sudarysime liečiamosios plokštumos ir normalės paviršiaus apibūdinto lygtimi taške
Kadangi dalinės išvestinės
ir
netrukios taške ir jo srityje, tai funkcija z diferencijuojama taške , t. y. duotas paviršius turi taške liečiamąją plokštumą ir normalę.
Lygtis liečiamosios plokštumos:
lygtis normalės:
t. y.


  • Parašyti lygtį liečiamosios plokštumos ir lygtį normalės rutulio paviršiaus taške P(1; 2; 3).
Sprendimas.
kai , , turime:
Iš to seka, kad lygtis liečiamosios plokštumos bus:
Lygtis normalės:
arba
Rutulio paviršiaus liečiamosios plokštumos normalės vektorius yra gradientas rutulio paviršiaus funkcijos taške P(1; 2; 3):


  • Parašyti lygtį liečiamosios plokštumos ir lygtį normalės rutulio paviršiaus taške P(1; 2; 3). Uždavinį išspręsti pasinaudojant sekančiomis trignometrinėmis tapatybėmis. Sferai
liečiamosios plokštumos formulė:
normalės formulė:
Sprendimas. Kadangi perėjome į sferines koordinates, tai reikia rasti kampą u ir kampą v. Kampas u yra sukimas ant xOy plokštumos (prieš laikrodžio rodykle), o kampas v yra sukamas nuo viršaus į apačia ant zOx plokštumos arba ant zOy plokštumos. Randame:
Žinoma,
Žinome, kad bet kokia tiesė einanti per tašką O(0; 0; 0) ir bet kuri kitą sferos tašką M yra sferos liečiamoisios plokštumos normalė. Todėl vektorius Tokiu budu galėtume ir surasti liečiamosios plokštumos lygtį. Bet surasime liečiamosios plokšutmos ir normalės lygtis pasinaudodami uždavinio sąlygoje pateiktomis formulėmis.
Tiesės atkarpos OP projekcijos ilgis plokštumoje xOy yra lygus:
tuomet:
Dabar galime rasti kam lygus kampas u. Taigi, randame:
radiano arba
radiano arba
Toliau ieškome kampo v, taigi:
radiano arba
Taigi, sferos liečiamosios plokštumos taške P(1; 2; 3) lygtis yra:
Sferos liečiamosios plokštumos normalės lygtis taške P(1; 2; 3) yra:

Nuorodos[keisti]