Matematika/Natūriniai skaičiai

Iš Wikibooks.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Skaitmenys ir vienaženkliai skaičiai[redaguoti]

Paprastai skaičiams užrašyti naudojama dešimtainė skaičiavimo sistema. Ji taip vadinama dėl to, kad joje naudojama dešimt skaitmenų:

Užrašas Pavadinimas
0 nulis
1 vienetas
2 dvejetas
3 trejetas
4 ketvertas
5 penketas
6 šešetas
7 septynetas
8 aštuonetas
9 devynetas

Kaip jie naudojami? Visų pirma, kiekvienas skaitmuo atitinka vieną vienaženklį skaičių:

Užrašas Pavadinimas Skaičiaus žymimas žvaigždučių kiekis
0 nulis
1 vienas *
2 du * *
3 trys * * *
4 keturi * * * *
5 penki * * * * *
6 šeši * * * * * *
7 septyni * * * * * * *
8 aštuoni * * * * * * * *
9 devyni * * * * * * * * *

Kaip matome, nulis (0) neatitinka nė vieno skaičiuojamo daikto, o visi tolesni skaičiai yra vis vienetu didesni - atitinka vienu daiktu daugiau, negu ankstesnis skaičius.

Skaičiai iki šimto[redaguoti]

Po skaičiaus 9 (devyni) seka skaičius 10 (dešimt). Tai - dviženklis skaičius, užrašomas nebe vienu, o dviem skaitmenimis. Sakoma, kad pirmasis skaitmuo (1) yra dešimčių skiltyje, o antrasis (0) - vienetų skiltyje. Vienintelis vienaženklio skaičiaus skaitmuo užima vienetų skiltį. Galima laikyti, kad vienaženklio skaičiaus dešimčių skiltyje yra nulis, bet jis beveik niekada nėra rašomas.

Kaip matome, kol kas vis imant vienetu didesnį skaičių didėjo vienetų skiltis - nuo nulio iki devynių. Skaičių dar kartą padidinus vienetu, vienetų skiltyje vėl atsirado nulis, bet vienetu padidėjo dešimčių skiltis. Toliau vienetų skiltis vėl didėja:

Užrašas Pavadinimas
10 dešimt
11 vienuolika
12 dvylika
13 trylika
14 keturiolika
15 penkiolika
16 šešiolika
17 septyniolika
18 aštuoniolika
19 devyniolika

Skaičių nuo vienuolikos iki devyniolikos pavadinimai rodo, kad, pavyzdžiui, turint vienuolika daiktų ir suskaičiavus iki dešimties, vienas lieka.

Pasiekus devyniolika, vienetų skiltyje vėl atsiranda devyni. Galima tikėtis, kad skaičių dar kartą padidinus vienetu, padidės dešimčių skiltis - nuo vieneto iki dvejeto, o vienetų skiltyje atsiras nulis. Taip ir yra - gauname dvidešimt (20). Toliau taip pat didėja vienetų skiltis:

Užrašas Pavadinimas
20 dvidešimt
21 dvidešimt vienas
22 dvidešimt du
23 dvidešimt trys
24 dvidešimt keturi
25 dvidešimt penki
26 dvidešimt šeši
27 dvidešimt septyni
28 dvidešimt aštuoni
29 dvidešimt devyni

Kaip matome, šių skaičių pavadinimai susideda iš dešimčių skilčių nusakančio žodžio „dvidešimt“ ir vienetų skiltį nusakančio žodžio, kuris sutampa su atitinkamo vienaženklio skaičiaus pavadinimu (išskyrus atvejį, kai šis skaičius - nulis). Dėl to toliau pateiksime tik skaičius, kurie atitinka dešimčių skilties padidėjimus:

Užrašas Pavadinimas
10 dešimt
20 dvidešimt
30 trisdešimt
40 keturiasdešimt
50 penkiasdešimt
60 šešiasdešimt
70 septyniasdešimt
80 aštuoniasdešimt
90 devyniasdešimt
100 šimtas

Pastaruoju atveju dešimčių skiltyje devynetas pasikeitė į nulį, ir padidėjo trečioji - šimtų - skiltis. Taip bus ir toliau. Vis didinant skaičių vienetu didėja vienetų skiltis. Kai ji pasiekia devynis, padidinama kita - dešimčių skiltis, o vienetų skiltyje vėl atsiranda nulis. Lygiai taip pat, kai dešimčių skiltyje atsiranda devynetas, o ji dar padidinama, joje rašomas nulis, kartu padidinant kitą - šimtų skiltį. Analogiškai bus daroma ir kitų skilčių atveju.

Taipogi galima pastebėti, kad dešimčių skiltis padidėja tik tada, kai prieš tai einančio skaičiaus vienetų skiltyje yra devynetas (pavyzdžiui, po 9 seka 10, po 19 - 20, po 29 - 30). Vadinasi, ir šimtų skiltis gali padidėti tik tada, kai prieš tai einančio skaičiaus vienetų skiltyje bus devynetas (ir, aišku, kai dešimčių skiltyje bus irgi devynetas). Taip ir yra - šimtas (100) eina po devyniasdešimt devynių (99).

Didesni skaičiai[redaguoti]

Po šimto, vėl padidėjus vienetų skilčiai, eina skaičius šimtas vienas (101). Kaip matome, šio skaičiaus pavadinimas susideda iš dviejų dalių: viena nusako skaitmenį, esantį šimtų skiltyje („šimtas“), o kita - skaitmenis, kurie yra dešimčių ir vienetų skiltyje („vienas“). Be to, abi dalys sutampa su atitinkamų skaičių pavadinimais. Tas pat galioja ir toliau, kaip galima matyti iš tokių pavadinimų, kaip „šimtas penkiolika“ (115), „šimtas dvidešimt“ (120) ar „šimtas aštuoniasdešimt du“ (182).

Kai padidėja šimtų skiltis, pasiekiamas skaičius du šimtai (200). Kaip matome, dešimčių ir vienetų skiltyse yra nuliai, tada jas nusakanti pavadinimo dalis praleidžiama. Tas pats galioja ir, pavyzdžiui, trim šimtams (300) ar keturiems šimtams (400).

Po devynių šimtų devyniasdešimt devynių (999) seka tūkstantis (1000). Atitinkama skiltis irgi vadinama tūkstančių skiltimi. Tolesnių skaičių pavadinimai sudaromi panašiai kaip ir šimtų atveju: viena pavadinimo dalis nusako tūkstančių skiltį, kita - šimtų, dešimčių ir vienetų skiltis (ir, savo ruožtu vėl gali susidėti iš dviejų dalių). Pavyzdžiui, taip sudaromi pavadinimai „tūkstantis vienas“ (1001), „tūkstantis trylika“ (1013), „tūkstantis keturiasdešimt trys“ (1043), „tūkstantis devyni šimtai aštuoniolika“ (1918), „tūkstantis devyni šimtai devyniasdešimt vienas“ (1991), „du tūkstančiai vienuolika“ (2011)...

Be to, siekiant, kad didelius skaičius būtų lengviau perskaityti, kartais jų skaitmenys nuo galo sugrupuojami po tris, grupes atskiriant tarpais, taškais, o angliškai kalbančiose šalyse - kableliais (tad 1000 būtų užrašytas kaip 1 000, 1.000 arba 1,000). Skaitmenų grupavimas po tris atsispindi ir skaičių pavadinimuose: skaičius 10 000 negauna visiškai naujo pavadinimo (kaip „dešimt“, „šimtas“ ar „tūkstantis“), o yra vadinamas „dešimt tūkstančių“, o 100 000 - „šimtas tūkstančių“. Tačiau skaičius 1 000 000 (kuris jau turi dvi užpildytas trijų skaitmenų grupes ir vieną pradėtą pildyti) yra ne „tūkstantis tūkstančių“, o „milijonas“. Kai kurių tolesnių skaičių pavadinimus galima sudaryti naudojantis lentele:

Užrašas Pavadinimas Laipsnis
1 vienas
10 dešimt
100 šimtas
1 000 tūkstantis
10 000 dešimt tūkstančių
100 000 šimtas tūkstančių
1 000 000 milijonas
10 000 000 dešimt milijonų
100 000 000 šimtas milijonų
1 000 000 000 milijardas
10 000 000 000 dešimt milijardų
100 000 000 000 šimtas milijardų
1 000 000 000 000 trilijonas 1012
10 000 000 000 000 dešimt trilijonų
100 000 000 000 000 šimtas trilijonų
1 000 000 000 000 000 kvadrilijonas 1015
10 000 000 000 000 000 dešimt kvadrilijonų
100 000 000 000 000 000 šimtas kvadrilijonų
1 000 000 000 000 000 000 kvintilijonas 1018
10 000 000 000 000 000 000 dešimt kvintilijonų
100 000 000 000 000 000 000 šimtas kvintilijonų

Pavyzdžiui, skaičius 2 301 082 574 būtų skaitomas: „du milijardai trys šimtai vienas milijonas aštuoniasdešimt du tūkstančiai penki šimtai septyniasdešimt keturi“.

Daugiau, mažiau, lygu[redaguoti]

Akivaizdu, kad skaičiai nėra vienodi: vieni yra didesni, kiti - mažesni. Tai pasireiškė jau anksčiau: sakėme, kad vienas ar kitas skaičius yra „vienetu didesnis“. Tad galima tikėtis, kad „vienetu didesnis“ skaičius bus ir šiaip didesnis. Taip ir yra. Pavyzdžiui, jei žinome, kad trys yra natūrinis skaičius, vienetu didesnis už du (kitaip tariant, natūrinis skaičius, einantis po dviejų), tai sakysime, kad trys daugiau už du, ką galima užrašyti taip:

3 > 2.\!

Čia „>“ yra ženklas „daugiau“.

Taip pat galima numanyti, kad jei vienas skaičius yra didesnis už antrą, o šis - didesnis už trečią, tai ir pirmasis juo labiau bus didesnis už trečią. Pavyzdžiui, jei žinome, kad 3 > 2 (nes 3 eina po 2) ir 4 > 3 (nes 4 eina po 3), tai galėsime padaryti išvadą, kad 4 > 2.

Kaip ir galima tikėtis, jei yra ženklas „daugiau“, yra ir ženklas „mažiau“. Suprantama, jei vienas skaičius yra didesnis už antrąjį, tai antrasis bus mažesnis už pirmąjį. Pavyzdžiui, jei žinome, kad trys daugiau už du, tai reikš, kad du mažiau už tris. Tai užrašysime:

2 < 3.\!

Kaip matome, ženklas „mažiau“ („<“) yra apsuktas ženklas „daugiau“ („>“). Pastebėtina, kad abiem atvejais ženklas susideda iš dviejų vienodo ilgio linijų, kurios susiliečia mažesniojo skaičiaus pusėje. Kitaip tariant, tarpas tarp linijų yra mažesnis toje pusėje, kurioje yra mažesnis ir skaičius.

O kaip reikėtų pažymėti tai, kad vienas skaičius nėra nei didesnis, nei mažesnis už kitą? Jei ženklai „mažiau“ ir „daugiau“ susideda iš dviejų linijų, tarp kurių atstumas didesnis didesniojo skaičiaus pusėje, tai šiuo atveju atstumai turėtų sutapti... Taip ir yra: ženklas „lygu“ (kuris reiškia, kad skaičiai abiejose jo pusėse sutampa) susideda iš dviejų linijų, kurios abiejose pusėse vienodai nutolę viena nuo kitos („=“). Pavyzdžiui,

3 = 3.\!

Tai skaitysime „trys lygu trys“. Kol kas lygybės ženklas gali pasirodyti nelabai naudingas (ir taip matosi, kad kairėje ir dešinėje pusėje esantys skaičiai sutampa). Bet jis bus daug naudingesnis pradėjus nadrinėti aritmetinius veiksmus, kai skirtingose pusėse bus jau ne skaičiai, o reiškiniai.

Pratimai[redaguoti]

1. Užrašykite skaičius: a) aštuoni, b) dvylika, c) trisdešimt, d) keturiasdešimt penki, e) septyniasdešimt du, f) šimtas, g) šimtas trys, h) šimtas dvidešimt, i) du šimtai trisdešimt vienas, j) tūkstantis keturiasdešimt devyni, k) dešimt tūkstančių du šimtai keturi, l) trys šimtai tūkstančių penki šimtai trys.

Ats.: a) 8, b) 12, c) 30, d) 45, e) 72, f) 100, g) 103, h) 120, i) 231, j) 1049, k) 10204, l) 300503.

2. Perskaitykite šiuos skaičius: a) 3, b) 14, c) 60, d) 82, e) 106, f) 813, g) 1990, h) 2011, i) 22537.

Ats.: a) trys, b) keturiolika, c) šešiasdešimt, d) aštuoniasdešimt du, e) šimtas šeši, f) aštuoni šimtai trylika, g) tūkstantis devyni šimtai devyniasdešimt, h) du tūkstančiai vienuolika, i) dvidešimt du tūkstančiai penki šimtai trisdešimt septyni.

3. Kiek skaitmenų yra skaičiuose a) 5, b) 72, c) 1024, d) 100921?

Ats.: a) 1, b) 2, c) 4, d) 6.

4. Kuris skaičius eina po a) 1, b) 5, c) 10, d) 14, e) 27, f) 43, g) 72, h) 101, i) 299, j) 1024?

Ats.: a) 2, b) 6, c) 11, d) 15, e) 28, f) 44, g) 73, h) 102, i) 300, j) 1025.

5. Ar šie užrašai teisingi: a) 2 < 3, b) 5 <10, c) 24 > 31, d) 61 = 70, e) 92 > 85, f) 99 < 101, g) 125 = 125?

Ats.: a) taip, b) taip, c) ne, d) ne, e) taip, f) taip, g) taip.