Matematika/Natūrinių skaičių sudėtis

Dviejų natūrinių skaičių sudėtis

Suskaičiuokime - keliais skaitmenimis užrašomas tūkstantis? Taip, keturiais - vienu vienetu ir trimis nuliais (t.y., 1000). O jei paimsime tris tūkstančius du šimtus trisdešimt tris? Taip pat keturiais skaitmenimis, iš kurių vienas yra dvejetas ir du trejetai (t.y., 3233). Abiem atvejais buvo trys vienokie skaitmenys, vienas kitoks, o iš viso - keturi, nors ir patys skaitmenys, ir jų išsidėstymas skiriasi... Ar ir kitais atvejais, kai turėsime tris vienokius skaitmenis arba daiktus ir vieną kitokį, iš viso jų bus keturi? Pasirodo, taip ir yra. Tai galima užrašyti:

$3+1=4,\$

kas skaitoma „Trys plius vienas lygu keturi.“ arba „Trys plius vienas yra keturi.“. Kairėje lygybės pusėje yra reiškinys, susidedantis iš dviejų skaičių (3 ir 1) bei pliuso („+“), kuris žymi aritmetinį veiksmą - sudėtį. Kaip ir dviejų skaičių atveju, lygybė („=“) nurodo, kad tai, kas yra abiejose jos pusėse (reiškinys 3 + 1 ir skaičius 4) yra lygu. Kitaip tariant, dviejų skaičių (trijų ir vieno) sudėties rezultatas yra keturi.

Sudedami skaičiai bus vadinami dėmenimis, o rezultatas - suma:

$\underbrace {3} _{\stackrel {pirmasis}{d{\dot {e}}muo}}+\underbrace {1} _{\stackrel {antrasis}{d{\dot {e}}muo}}=\underbrace {4} _{suma}.$

Kaip rasti dviejų skaičių sumą? Visų pirma, galima tiesiog rasti arba susikurti vieną grupę daiktų, kurių būtų tiek, kiek nurodo pirmasis dėmuo, ir kitą, kurioje daiktų kiekis būtų lygus antrajam dėmeniui. Tada suskaičiavę, kiek daiktų yra abiejose grupėse iš viso, gausime sumą. Tai leidžia, pavyzdžiui, skaičiuoti ant pirštų.

Tačiau tokiu būdu skaičiuoti lengva tik kai dėmenys maži. Pavyzdžiui, sudėti šimtą trisdešimt ir du šimtus penkis taip gana sunku. Toliau panagrinėsime, kaip skaičius sudėti, naudojantis tuo, kad jie užrašyti skaitmenimis.

Sudėties lentelė

Vienaženklių skaičių ir dešimties sumas patogu pateikti lentele, kurios stulpelių ir eilučių antraštėse yra dėmenys, o jų sankirtose - sumos:

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
10	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Ką galime matyti iš šios lentelės? Pavyzdžiui, tai, kad pridėjus prie kokio nors skaičiaus nulį, rezultatas nepasikeis. Tuo nesunku įsitikinti: jei prie kažkokios grupės daiktų pridėsime nulį daiktų (kitaip tariant, nepridėsime nė vieno) ir visus suskaičiuosime, jų skaičius nepasikeis.

Taip pat matome, kad pridėjus prie kokio nors natūrinio skaičiaus vienetą, gaunamas po jo einantis natūrinis skaičius. Taip ir turėtų būti, nes, kaip buvo apibrėžta anksčiau, kiekvienas tolesnis natūrinis skaičius yra vienetu didesnis už ankstesnįjį.

Taipogi nesunku pastebėti, kad sudedamų dėmenų tvarka nėra svarbi - pavyzdžiui, 4 + 5 = 9 ir 5 + 4 = 9. To taip pat buvo galima tikėtis: kai daiktai skaičiuojami, nėra svarbu, kokia tvarka jie buvo pridėti.

Panagrinėkime šią lentelę dar detaliau. Pastebėsime, kad pasirinkę tris skaičius gausime tą patį rezultatą, nepriklausomai nuo to, kokia tvarka juos sudėsime. Pavyzdžiui, jei pasirinksime du, keturis ir penkis, suma bus vienuolika: tiek sudedant 2 + 4 = 6 ir 6 + 5 = 11, tiek 2 + 5 = 7 ir 7 + 4 = 11, tiek 4 + 5 = 9 ir 9 + 2 = 11. Taip ir turėtų būti: kaip jau minėta, kai daiktai skaičiuojami, nėra svarbu, kokia tvarka jie buvo pridėti.

Taip pat matome, kad, pridėjus prie dešimties vienženklį skaičių, pasikeičia tik vienetų skiltis, ir taip, kad po sudėties ji sutampa su pridėtu vienženkliu skaičiumi. Tai bus panaudota sudedant didesnius skaičius.

Sudėtis stulpeliu

Daugiaženkliai skaičiai gali būti sudedami stulpeliu. Tam dėmenys užrašomi vienas po kitu ir išlygiuojami pagal vienetų skiltis. Jų kairėje rašome pliusą, kuris nurodys, kad skaičius sudėsime. Pavyzdžiui:

+	4	6	2	5
	1	2	4	3

Tada po skaičiais braukiamas brūkšnys:

+	4	6	2	5
	1	2	4	3

Po to sudedame vienetų skiltis (5 + 3 = 8) ir rezultatą rašome žemiau brūkšnio, po pat dėmenų vienetų skiltimis:

+	4	6	2	5
	1	2	4	3
				8

Tą patį darome su dešimčių skiltimis (2 + 4 = 6):

+	4	6	2	5
	1	2	4	3
			6	8

Tokius pat veiksmus pakartojame su šimtų ir tūkstančių skiltimis (6 + 2 = 8 ir 4 + 1 = 5) ir gauname atsakymą:

+	4	6	2	5
	1	2	4	3
	5	8	6	8

Kaip matome, 4625 + 1243 = 5868.

Tačiau šiame pavyzdyje sudėję visas skilčių poras gavome vienženklius skaičius. O kas bus, jei gausime dviženklius?

Pabandykime stulpeliu sudėti 5615 ir 4636. Iš pradžių, kaip ir anksčiau, iš pradžių abu dėmenis užrašysime vieną po kitu bei užbrauksime brūkšnį:

+	5	6	2	5
	4	6	3	6

Po to sudedame vienetų skiltis: 5 + 6 = 11. Vienetų skiltį galime rašyti į vienetų skiltį po brūkšniu:

+	5	6	2	5
	4	6	3	6
				1

Iš vienetų skilčių sumos lieka dešimčių skiltis. Ją reikės pridėti prie dėmenų dešimčių skilčių. Tokiu atveju sakome, kad yra „vienetas minty“. Sudėję (2 + 3 + 1 = 6) rašome:

+	5	6	2	5
	4	6	3	6
			6	1

Taip pat sudedame šimtų skiltis: 6 + 6 = 12. Vėl rezultato vienetų skiltį rašome į šimtų skiltį, o vienetas iš dešimčių skilties lieka „minty“:

+	5	6	2	5
	4	6	3	6
		2	6	1

Galiausiai sudedame dėmenų tūkstančių skiltis, nepamiršdami pridėti ir vienetą, kuris yra „minty“: 5 + 4 + 1 = 10. Pastebėtina, kad vėl gavome „vienetą minty“. Jį reikėtų pridėti prie dėmenų dešimčių tūkstančių skilčių. Bet dėmenys šių skilčių neturi, kas reiškia, kad pridėti reikėtų prie nulių. O, kaip jau žinome, pridėjus prie skaičiaus nulį, niekas nepasikeičia. Tad į dešimčių tūkstančių skiltį rašome vienetą:

+	5	6	2	5
	4	6	3	6
1	0	2	6	1

Vadinasi, 5625 + 4636 = 10261.

Kelių natūrinių skaičių sudėtis stulpeliu

Stulpeliu galima sudėti ir daugiau nei du natūrinius skaičius. Pavyzdžiui, sudėkime 9221, 9132 ir 9652. Iš pradžių visus tris dėmenis surašome stulpeliu (kaip ir sudėdami du skaičius):

+	9	2	2	1
	9	1	3	2
	9	6	5	2

Tada (kaip ir dviejų skaičių sudėties atveju) sudedame vienetų skiltis: 1 + 2 + 2 = 5. Gavome vienženklį skaičių, tad vienintelis jo skaitmuo rašomas į sumos vienetų skiltį:

+	9	2	2	1
	9	1	3	2
	9	6	5	2
				5

Tada sudedame dešimčių skiltis: 2 + 3 + 5 = 10. Gavome dviženklį skaičių, tad į sumos dešimčių skiltį rašome nulį, o vienetas lieka „minty“:

+	9	2	2	1
	9	1	3	2
	9	6	5	2
			0	5

Po to sudedame šimtų skiltis (ir vienetą „minty“): 2 + 1 + 6 + 1 = 10. Nulį rašome į sumos šimtų skiltį, vienetas lieka „minty“:

+	9	2	2	1
	9	1	3	2
	9	6	5	2
		0	0	5

Galiausiai sudedame tūkstančių skiltis (ir vienetą „minty“): 9 + 9 + 9 + 1 = 28. Aštuonetą rašome į sumos tūkstančių skiltį. Pastebėtina, kad šįsyk „minty“ liktų jau ne vienetas, o du. Tačiau dėmenys yra keturženkliai skaičiai, tad šį dvejetą galime iš karto rašyti į sumos dešimčių tūkstančių skiltį:

+	9	2	2	1
	9	1	3	2
	9	6	5	2
2	8	0	0	5

Vadinasi, 9121 + 9232 + 9652 = 28005.

Pratimai

1. Sudėkite vienženklius skaičius: a) 5+2, b) 9+7, c) 3+5, d) 2+6, e) 9+2, f) 7+3, g) 6+3, h) 4+3, i) 8+2, j) 8+4, k) 6+4, l) 6+8.

Ats.: a) 7, b) 16, c) 8, d) 8, e) 11, f) 10, g) 9, h) 7, i) 10, j) 12, k) 10, l) 14.

2. Sudėkite daugiaženklius skaičius: a) 14+32, b) 35+41, c) 25+91, d) 102+29, e) 255+128, f) 1066+1944, g) 2599+3402, h) 4291+3422.

Ats.: a) 46, b) 76, c) 106, d) 131, e) 383, f) 3010, g) 6001, h) 7713.

3. Sudėkite skaičių trejetus: a) 1+2+3, b) 2+6+8, c) 12+13+14, d) 25+12+40, e) 34+77+19, f) 205+14+25, g) 105+225+144, h) 481+276+392.

Ats.: a) 6, b) 16, c) 39, d) 77, e) 130, f) 244, g) 474, h) 1149.

4. 2004 m. pradžioje Europos Sąjungai priklausė 15 narių. 2004 m. gegužės 1 d. jos narėmis tapo dar 10 valstybių. Kiek narių Europos Sąjungą sudarė po to?

Ats.: 25.