Matematika/Linijiniai elementai paviršiaus

Paviršiaus užrašymo būdai

Paviršiaus lygtis. Paviršius gali būti užrašytas lygtimis vienoje iš sekančių formų:

a) forma:

$F(x,y,z)=0,\quad (1)$

b) forma:

$z=f(x,y),\quad (2)$

c) parametrine forma:

$x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),\quad (3)$

d) vektorine forma:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)$ arba $\mathbf {r} =x(u,v)\mathbf {i} +y(u,v)\mathbf {j} +z(u,v)\mathbf {k} .\quad (3a)$

Keisdami visais įmanomais būdais parametrus u ir v, gauname spindulį-vektorių ir koordinates paviršiaus taškų; išimdami iš (3) u ir v, gauname forma (1). Forma (2) yra dalinis atvejis formos (3), kuriame $u=x,\;v=y.$

Pavyzdis: Sferos lygtis:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2}=0\quad (1)$

arba

$x=a\cos(u)\sin(v),\quad y=a\sin(u)\sin(v),\quad z=a\cos v,\quad (3)$

$\mathbf {r} =a(\cos(u)\sin(v)\mathbf {i} +\sin(u)\sin(v)\mathbf {j} +\cos(v)\mathbf {k} ).\quad (3a)$

Linijiniai elementai paviršiaus

Lanko diferencijalas. Jeigu paviršius užrašytas formoje (3) arba (3a), $M(u,v)$ - duotas ir $N(u+du,v+dv)$ - artimas jam taškas paviršiaus, tai ilgis lanko MN ant paviršiaus apytiksliai išreiškiamas diferencialu lanko arba linijiniu elementu paviršiaus pagal formulę

$ds^{2}=E\;du^{2}+2F\;du\;dv+G\;dv^{2},\quad (I)$

kur

$E=\mathbf {r} _{1}^{2}=({\frac {\partial x}{\partial u}})^{2}+({\frac {\partial y}{\partial u}})^{2}+({\frac {\partial z}{\partial u}})^{2},$

$F=\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}={\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial y}{\partial u}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}},$

$G=\mathbf {r} _{2}^{2}=({\frac {\partial x}{\partial v}})^{2}+({\frac {\partial y}{\partial v}})^{2}+({\frac {\partial z}{\partial v}})^{2}.$

Dešinė dalis formulės (I) vadinasi taip pat pirma kvadratine forma paviršiaus, užrašyto formoje (2); jos koeficientai E, F, G priklauso nuo taško paviršiaus.

Pavyzdis: Sferai: $\mathbf {r} =a(\cos(u)\sin(v)\mathbf {i} +\sin(u)\sin(v)\mathbf {j} +\cos(v)\mathbf {k} ),$

$E=a^{2}\sin ^{2}v,\quad F=0,\quad G=a^{2};$

pirma kvadratinė forma: $ds^{2}=a^{2}(\sin ^{2}(v)du^{2}+dv^{2}).$

Paviršiui, užrašytam formoje (2):

$E=1+p^{2},\quad F=pq,\quad G=1+q^{2},$ kur $p={\frac {\partial z}{\partial x}},\quad q={\frac {\partial z}{\partial y}}.$

Matavimai ant paviršiaus. Lanko ilgis kreivės linijos $u=u(t),\;v=v(t)$ ant paviršiaus kai $t_{0}\leq t\leq t_{1}$ apskaičiuojamas pagal formule

$L=\int _{t_{0}}^{t_{1}}ds=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {E({\frac {du}{dt}})^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G({\frac {dv}{dt}})^{2}}}dt.\quad (*)$

Kampas $\alpha$ tarp dviejų kreivių (t. y. tarp jų liestinių), susikretančių taške M ir turinčių šitame taške kryptis vektorių $d\mathbf {r} \{du,dv\}$ ir $\delta \mathbf {r} \{du,dv\}$, apskaičiuojamas pagal formulę:

$\cos \alpha ={\frac {d\mathbf {r} \;\delta \mathbf {r} }{\sqrt {(d\mathbf {r} )^{2}(\delta \mathbf {r} )^{2}}}}=$

$={\frac {E\;du\;\delta u+F(du\;\delta v+dv\;\delta u)+G\;dv\;\delta v}{{\sqrt {E\;du^{2}+2F\;du\;dv+G\;dv^{2}}}{\sqrt {E\;\delta u^{2}+2F\;\delta u\;\delta v+G\;\delta v^{2}}}}}.\quad (**)$

(koeficientai E, F, G apskaičiuojami taškui M). Tada linijos statmenos, jeigu skaitiklis ($**$) lygus nuliui; $F=0$ - sąlyga statmenumo koordinatinių linijų $v=const\;(dv=0)$ ir $u=const\;(\delta u=0).$

Plotas paviršiaus S apriboto tam tikra kreive ant paviršiaus, apskaičiuojamas kaip dvilypis integralas:

$S=\int _{(S)}dS,$

kur

$dS={\sqrt {EG-F^{2}}}\;du\;dv.\quad (***)$

Tokiu budu, žinodami koeficientus pirmos kvadratinės formos E, F, G, mes galime daryti matavimus ilgių, kampų ir plotų ant paviršiaus pagal formules (*), (**), (***), t. y. pirma kvadratinė forma visai nustato metriką paviršiaus.

Uždėjimas paviršių esant išlenkimams. Jeigu paviršių išlenknėti be ištempimų ir plyšimų, tai jos lygtis pasikeis, bet metrika liks ta pati, t. y. pirma kvadratinė forma nepasikeis. Du skirtingi paviršiai, turintys vieną ir tą pačią pirmą kvadratinę formą, gali būti išlenkimo budu uždeti vienas ant kito.