Matematika/Kūgis

Kūgis – geometrinis paviršius, paprasčiausiai gaunamas statųjį trikampį sukant aplink vieną iš jo statinių, kuris yra kūgio ašis. Kito statinio nubrėžtas diskas vadinamas pagrindu. Kūgis priskiriamas prie sukinių, kuris gaunamas sukant geometrinę figūrą plokštumoje apie ašį.

Kūgis, kurio viršūnė yra nupjauta plokštuma, lygiagrečia bazei (pagrindui (skrituliui)), vadinamas nupjautiniu kūgiu.

Nupjautinio kūgio tūrio radimo formulė: $V={\frac {S_{1}+{\sqrt {S_{1}S_{2}}}+S_{2}}{3}}h$, čia $S_{1},S_{2}\,$ – pagrindų plotai, $h\,$ – aukštinės ilgis.

Nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus ploto radimo formulė: $S=\pi (R_{1}+R_{2})l\,$, čia $R_{1},R_{2}\,$ – pagrindų spinduliai, $l\,$ – sudaromosios ilgis.

Kūgio šoninio paviršiaus plotas: $S_{son}=\pi rl$.

Kūgio paviršiaus plotas: $S=\pi r(r+l)$.

Kūgio tūris: $V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$.

Kūgio tūrio formulės įrodymas

Kūgio aukštinė lygi H, o pagrindo spindulys yra R. Įrodykime, kad to kūgio tūris lygus ${\frac {1}{3}}\pi R^{2}H.$

Nubrėžkime Ox ašį per kūgio viršūnę O statmenai jo pagrindui. Bet kuri statmena Ox ašiai plokštuma, kertanti tos ašies atkarpą [0; H] (čia H yra kūgio pagrindo (skritulio) centras) taške x, iš kūgio išpjauna skritulį, kurio spindulys lygus ${\frac {R}{H}}x$

($r={\frac {h}{H}}\cdot R={\frac {x}{H}}R;$ čia h=Ox; r yra spindulys mažojo kūgio pagrindo su aukšine h).

To skritulio plotas yra

$S(x)=\pi \left({\frac {R}{H}}x\right)^{2}=\pi \left({\frac {R}{H}}\right)^{2}x^{2}.$

Kūgio tūrį skaičiuojame pagal $V=\int _{a}^{b}S(x)\;dx$ formulę:

$V=\int _{0}^{H}\pi \left({\frac {R}{H}}\right)^{2}x^{2}dx=\pi {\frac {R^{2}}{H^{2}}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}|_{0}^{H}=\pi {\frac {R^{2}}{H^{2}}}\cdot {\frac {H^{3}}{3}}={\frac {1}{3}}\pi R^{2}H.$

Nupjautinio kūgio tūrio formulės įrodymas

Nupjautinio kūgio, kurio aukštinė lygi h, o pagrindų plotai S ir $S_{1}$, tūrio formulė yra:

$V_{nup}={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}\cdot h\cdot (\pi r^{2}+\pi r_{1}^{2}+{\sqrt {\pi r^{2}\cdot \pi r_{1}^{2}}})={\frac {1}{3}}\cdot h\cdot \pi (r^{2}+r_{1}^{2}+r\cdot r_{1}).$

Įrodysme nupjautinio kūgio tūrio formulę.

Nupjautinino kūgio tūris yra $V_{nup}$; nupjautinio kūgio aukštinė yra h; nupjautinio kūgio dydžiojo pagrindo spindulys yra r, o mažojo pagrindo spindulys yra $r_{1}$. Viso kūgio su pagrindu, kurio spindulys r, tūris yra $V={\frac {1}{3}}\cdot \pi r^{2}H={\frac {1}{3}}\cdot \pi r^{2}(h+x),$ čia $H=h+x$ yra viso kūgio aukštinė, kurio pagrindo spindulys yra r; x yra aukštinė viso kūgio, kurio pagrindo spindulys yra $r_{1}$,

Turime santykį:

${\frac {r}{h+x}}={\frac {r_{1}}{x}};$

$rx=r_{1}(h+x);$

$rx-r_{1}x=r_{1}h;$

$x(r-r_{1})=r_{1}h;$

$x={\frac {r_{1}h}{r-r_{1}}}.$

Randame nupjautinio kūgio tūrį:

$V_{nup}=V-V_{1}={\frac {1}{3}}S(h+x)-{\frac {1}{3}}S_{1}x={\frac {1}{3}}\cdot \pi r^{2}\cdot (h+{\frac {r_{1}h}{r-r_{1}}})-{\frac {1}{3}}\cdot \pi r_{1}^{2}\cdot {\frac {r_{1}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\left(r^{2}h+{\frac {r^{2}r_{1}h}{r-r_{1}}}-{\frac {r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}\right)=$

$={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {r^{2}h(r-r_{1})+r^{2}r_{1}h-r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {r^{3}h-r^{2}r_{1}h+r^{2}r_{1}h-r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {r^{3}h-r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {h(r-r_{1})(r^{2}+rr_{1}+r_{1}^{2})}{r-r_{1}}}=$

$={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot h(r^{2}+rr_{1}+r_{1}^{2}).$

Kūgio šoninio paviršiaus ploto formulės įrodymas

Įrodysime, kad kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus:

$S_{son}=\pi Rl,$

kur R - kūgio pagrindo spindulys; l - kūgio sudaromoji (trumpiausias atstumas nuo kūgio viršūnės iki kūgio pagrindo apskritimo).

Įrodymas. Įbrėžkime į kūgio pagrindo apskritimą n kraštinių (n kampų) turintį taisiklingąjį daugiakampį (taisiklingojo daugiakampio visos kraštinės vienodo ilgio). Pažymėkime to n-kampio kraštines $\;p_{1},\;p_{2},\;p_{3},\;...,\;p_{n}.$ Kai šio daugiakampio kraštinių skaičius artėja į begalybę ($n\to \infty$), tai daugiakampio perimetras p artėja prie kūgio pagrindo apskritimo ilgio ($p\to 2\pi R$).

Sujungus šio, įbrėžto į kugio pagrindą, daugiakampio kampus su kūgio viršūne, gausime n lygiašonių trikampių, kurių aukštinė beveik lygi l (kai n labai didelis). Kiekvieno tokio trikampio plotas lygus ${\frac {1}{2}}p_{k}l;$ čia $1\leq k\leq n.$ Kai n labai didelis, šių trikampių plotų suma beveik lygi kūgio šoninio paviršiaus plotui:

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}p_{1}l+{\frac {1}{2}}p_{2}l+{\frac {1}{2}}p_{3}l+...+{\frac {1}{2}}p_{n}l={\frac {1}{2}}l(p_{1}+p_{2}+p_{3}+...+p_{n})={\frac {1}{2}}lp.$

Tačiau, kai $n\to \infty ,$ tada $p\to 2\pi R,$ todėl

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}lp={\frac {1}{2}}l\cdot 2\pi R=\pi Rl=S_{son}.$

Nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus ploto formulės įrodymas

Įrodysime, kad nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus:

$S_{son}=\pi (R+r)l,$

kur R - didžiojo nupjautinio kūgio pagrindo spindulys; r - mažojo nupjautinio kūgio pagrindo spindulys; l - sudaromosios ilgis.

Įrodymas. Įbrėžkime į kūgio didžiojo ir mažojo pagrindų apskritimus n kraštinių turintčius taisiklinguosius daugiakampius taip, kad sudaromoji l jungtų mažojo ir didžiojo daugiakampio viršūnes.

Didžiojo taisiklingojo daugiakampio kraštinė lygi $p_{1},$ o perimetras lygus $P=np_{1}$ (čia n yra daugiakampio kraštinių skaičius).

Mažojojo taisiklingojo daugiakampio kraštinė lygi $q_{1},$ o perimetras lygus $Q=nq_{1}$ (čia n yra daugiakampio kraštinių skaičius).

Sujungus didžiojo daugiakampio kampus su mažojo daugiakampio kampais, gauname n lygiašonių trapecijų, kurių pagrindai yra $p_{1}$ ir $q_{1},$ o šoninių kraštinių ilgiai lygūs nupjautinio kūgio sudaromajai l.

Kai didžiojo ir mažojo daugiakmpių kraštinių skaičius artėja į begalybę ($n\to \infty$), tai didžiojo daugiakampio perimetras artėja prie kūgio didžiojo pagrindo apskritimo ilgio ($P\to 2\pi R$), o mažojo daugiakampio perimetras artėja prie kūgio mažojo pagrindo apskritimo ilgio ($Q\to 2\pi r$). Be kita ko, šių lygiašonių trapecijų aukštinė h artėja prie sudaromosios l ilgio ($h\to l$), kai daugiakampių kraštinių skaičius artėja prie begalybės ($n\to \infty$).

Vienos trapecijos plotas (su pagrindais $p_{1}$ ir $q_{1}$) yra

$S_{trap}={\frac {p_{1}+q_{1}}{2}}h={\frac {p_{1}+q_{1}}{2}}l,$ kai $n\to \infty$.

Visų trapecijų (su pagrindais $p_{1}$ ir $q_{1}$) plotų suma lygi:

$S=n\cdot {\frac {p_{1}+q_{1}}{2}}h={\frac {h}{2}}(np_{1}+nq_{1})={\frac {h}{2}}(P+Q).$

Kai daugiakampių kraštinių skaičius artėja į begalybę ($n\to \infty$), tai

${\frac {h}{2}}(P+Q)={\frac {l}{2}}(2\pi R+2\pi r)=l\pi (R+r)=S_{son}.$

Pavyzdžiai

• Kiek kartų liekno žmogaus, kurio ūgis apie 170 cm, o svoris apie 50 kg, koja nuo kelio iki dubens turi daugiau raumenų už ranką nuo alkunės iki peties?

Ištiestos rankos apimtis yra $C_{1}=24$ cm, o rankos ilgis nuo alkūnės iki peties yra $h_{1}=30$ cm.

Kojos apimtis, truputi aukščiau kelio (ploniausios vietos - kai jau prasideda raumenys), yra $C_{2}=34$ cm. Kojos apimtis storiausioje vietoje (šlaunies apimtis) yra $C_{3}=44$ cm. Kojos ilgis nuo kelio (kur prasideda raumenys) iki dubens sąnario yra $h_{2}=40$ cm.

Sprendimas.

Rankos spindulys $r_{1}$ yra:

$C_{1}=2\pi r_{1},$

$r_{1}={\frac {C_{1}}{2\pi }}={\frac {24}{2\pi }}={\frac {12}{3.14159}}=3.8197186\;(cm).$

Kojos virš kelio ploniausios vietos spindulys $r_{2}$ yra:

$C_{2}=2\pi r_{2},$

$r_{2}={\frac {C_{2}}{2\pi }}={\frac {34}{2\pi }}={\frac {17}{3.14159}}=5.411268\;(cm).$

Kojos virš kelio storiausios vietos spindulys $r_{3}$ yra:

$C_{3}=2\pi r_{3},$

$r_{3}={\frac {C_{3}}{2\pi }}={\frac {44}{2\pi }}={\frac {22}{3.14159}}=7.0028175\;(cm).$

Rankos nuo alkūnės iki peties skerspjūvio plotas lygus:

$S_{1}=\pi r_{1}^{2}=\pi \cdot 3.8197186^{2}=45.8366228\;(cm^{2}).$

Kojos ploniausios vietos (truputi aukščiau kelio) skerspjūvio plotas lygus:

$S_{2}=\pi r_{2}^{2}=\pi \cdot 5.411268^{2}=91.991555\;(cm^{2}).$

Kojos storiausios vietos skerspjūvio plotas lygus:

$S_{3}=\pi r_{3}^{2}=\pi \cdot 7.0028175^{2}=154.061985\;(cm^{2}).$

Rankos nuo alkūnės iki peties tūris lygus ritinio tūriui, kurio pagrindo plotas yra $S_{1},$ o aukštinė yra $h_{1}$:

$V_{1}=S_{1}h_{1}=45.8366228\cdot 30=1375.0987\;(cm^{3}).$

Tai lygu 1.375 kubiniams decimetrams arba 1.375 litro. Žinanat, kad raumenų 1 litras sveria apytiksliai 1 kilogramą, galima pasakyti, kad ranka nuo alkūnės iki peties sveria apie 1.375 kg.

Kojos nuo kelio iki klubo tūris lygus nupjautinio kūgio tūriui, kurio pagrindų plotai $S_{2}$ ir $S_{3}$, o aukštinė yra $h_{2}$:

$V_{2}={\frac {(S_{2}+{\sqrt {S_{2}S_{3}}}+S_{3})h_{2}}{3}}={\frac {40(91.991555+{\sqrt {91.991555\cdot 154.061985}}+154.061985)}{3}}={\frac {40(91.991555+119.047896+154.061985)}{3}}=$

$={\frac {40\cdot 365.101436}{3}}=4868.01915\;(cm^{3}).$

Tai lygu 4.868 kubiniams decimetrams arba 4.868 litro. Taigi, koja nuo kelio iki klubo sanario sveria apytiksliai 4.868 kg (raumenų tankis maždaug toks pat kaip vandens, o kaulo tankis, jei teisingai suprasta, yra apie 2 kartus didesnis už vandens tankį, bet kaulai yra tuščiaviduriai).