Matematika/Kūgis

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Kūgis – geometrinis paviršius, paprasčiausiai gaunamas statųjį trikampį sukant aplink vieną iš jo statinių, kuris yra kūgio ašis. Kito statinio nubrėžtas diskas vadinamas pagrindu. Kūgis priskiriamas prie sukinių, kuris gaunamas sukant geometrinę figūrą plokštumoje apie ašį.

Kūgis, kurio viršūnė yra nupjauta plokštuma, lygiagrečia bazei (pagrindui (skrituliui)), vadinamas nupjautiniu kūgiu.

Nupjautinio kūgio tūrio radimo formulė: , čia  – pagrindų plotai,  – aukštinės ilgis.

Nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus ploto radimo formulė: , čia  – pagrindų spinduliai,  – sudaromosios ilgis.

Kūgio šoninio paviršiaus plotas: .

Kūgio paviršiaus plotas: .

Kūgio tūris: .


Kūgio tūrio formulės įrodymas[keisti]

Kūgio aukštinė lygi H, o pagrindo spindulys yra R. Įrodykime, kad to kūgio tūris lygus
Nubrėžkime Ox ašį per kūgio viršūnę O statmenai jo pagrindui. Bet kuri statmena Ox ašiai plokštuma, kertanti tos ašies atkarpą [0; H] (čia H yra kūgio pagrindo (skritulio) centras) taške x, iš kūgio išpjauna skritulį, kurio spindulys lygus
( čia h=Ox; r yra spindulys mažojo kūgio pagrindo su aukšine h).
To skritulio plotas yra
Kūgio tūrį skaičiuojame pagal formulę:

Nupjautinio kūgio tūrio formulės įrodymas[keisti]

Nupjautinio kūgio, kurio aukštinė lygi h, o pagrindų plotai S ir , tūrio formulė yra:
Įrodysme nupjautinio kūgio tūrio formulę.
Nupjautinino kūgio tūris yra ; nupjautinio kūgio aukštinė yra h; nupjautinio kūgio dydžiojo pagrindo spindulys yra r, o mažojo pagrindo spindulys yra . Viso kūgio su pagrindu, kurio spindulys r, tūris yra čia yra viso kūgio aukštinė, kurio pagrindo spindulys yra r; x yra aukštinė viso kūgio, kurio pagrindo spindulys yra ,
Turime santykį:
Randame nupjautinio kūgio tūrį:

Kūgio šoninio paviršiaus ploto formulės įrodymas[keisti]

Įrodysime, kad kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus:
kur R - kūgio pagrindo spindulys; l - kūgio sudaromoji (trumpiausias atstumas nuo kūgio viršūnės iki kūgio pagrindo apskritimo).
Įrodymas. Įbrėžkime į kūgio pagrindo apskritimą n kraštinių (n kampų) turintį taisiklingąjį daugiakampį (taisiklingojo daugiakampio visos kraštinės vienodo ilgio). Pažymėkime to n-kampio kraštines Kai šio daugiakampio kraštinių skaičius artėja į begalybę (), tai daugiakampio perimetras p artėja prie kūgio pagrindo apskritimo ilgio ().
Sujungus šio, įbrėžto į kugio pagrindą, daugiakampio kampus su kūgio viršūne, gausime n lygiašonių trikampių, kurių aukštinė beveik lygi l (kai n labai didelis). Kiekvieno tokio trikampio plotas lygus čia Kai n labai didelis, šių trikampių plotų suma beveik lygi kūgio šoninio paviršiaus plotui:
Tačiau, kai tada todėl

Nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus ploto formulės įrodymas[keisti]

Įrodysime, kad nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus:
kur R - didžiojo nupjautinio kūgio pagrindo spindulys; r - mažojo nupjautinio kūgio pagrindo spindulys; l - sudaromosios ilgis.
Įrodymas. Įbrėžkime į kūgio didžiojo ir mažojo pagrindų apskritimus n kraštinių turintčius taisiklinguosius daugiakampius taip, kad sudaromoji l jungtų mažojo ir didžiojo daugiakampio viršūnes.
Didžiojo taisiklingojo daugiakampio kraštinė lygi o perimetras lygus (čia n yra daugiakampio kraštinių skaičius).
Mažojojo taisiklingojo daugiakampio kraštinė lygi o perimetras lygus (čia n yra daugiakampio kraštinių skaičius).
Sujungus didžiojo daugiakampio kampus su mažojo daugiakampio kampais, gauname n lygiašonių trapecijų, kurių pagrindai yra ir o šoninių kraštinių ilgiai lygūs nupjautinio kūgio sudaromajai l.
Kai didžiojo ir mažojo daugiakmpių kraštinių skaičius artėja į begalybę (), tai didžiojo daugiakampio perimetras artėja prie kūgio didžiojo pagrindo apskritimo ilgio (), o mažojo daugiakampio perimetras artėja prie kūgio mažojo pagrindo apskritimo ilgio (). Be kita ko, šių lygiašonių trapecijų aukštinė h artėja prie sudaromosios l ilgio (), kai daugiakampių kraštinių skaičius artėja prie begalybės ().
Vienos trapecijos plotas (su pagrindais ir ) yra
kai .
Visų trapecijų (su pagrindais ir ) plotų suma lygi:
Kai daugiakampių kraštinių skaičius artėja į begalybę (), tai


Pavyzdžiai[keisti]

  • Kiek kartų liekno žmogaus, kurio ūgis 170 cm, o svoris 50 kg, koja nuo kelio iki dubens turi daugiau raumenų už ranką nuo alkunės iki peties?
Ištiestos rankos apimtis yra cm, o rankos ilgis nuo alkūnės iki peties yra cm.
Kojos apimtis, truputi aukščiau kelio (ploniausios vietos - kai jau prasideda raumenys), yra cm. Kojos apimtis storiausioje vietoje (šlaunies apimtis) yra cm. Kojos ilgis nuo kelio (kur prasideda raumenys) iki dubens sąnario yra cm.
Sprendimas.
Rankos spindulys yra:
Kojos virš kelio ploniausios vietos spindulys yra:
Kojos virš kelio storiausios vietos spindulys yra:
Rankos nuo alkūnės iki peties skerspjūvio plotas lygus:
Kojos ploniausios vietos (truputi aukščiau kelio) skerspjūvio plotas lygus:
Kojos storiausios vietos skerspjūvio plotas lygus:
Rankos nuo alkūnės iki peties tūris lygus ritinio tūriui, kurio pagrindo plotas yra o aukštinė yra :
Tai lygu 1.375 kubiniams decimetrams arba 1.375 litro. Žinanat, kad raumenų 1 litras sveria apytiksliai 1 kilogramą, galima pasakyti, kad ranka nuo alkūnės iki peties sveria apie 1.375 kg.
Kojos nuo kelio iki klubo tūris lygus nupjautinio kūgio tūriui, kurio pagrindų plotai ir , o aukštinė yra :
Tai lygu 4.868 kubiniams decimetrams arba 4.868 litro. Taigi, koja nuo kelio iki klubo sanario sveria apytiksliai 4.868 kg (raumenų tankis maždaug toks pat kaip vandens, o kaulo tankis, jei teisingai suprasta, yra apie 2 kartus didesnis už vandens tankį, bet kaulai yra tuščiaviduriai).
Padalinus kojos tūrį iš rankos tūrio, gausime kiek kartų koja turi daugiau raumenų už ranką:
(kartų).
Nereikia galvoti, kad su kojomis galima pakelti 3.54 karto didesnį svorį nei su rankomis. Keliant svorį su kojomis (darant pritupimą), daugiausia apsikrauna raumenys esantys šiek tiek aukščiau kelių. Todėl kojų sugebėjimas pakelti didelį svorį priklauso nuo silpniausios kojų vietos, o ne nuo stipriausios. Padarius 30 pritupimų, labiausiai (praktiškai, vien tik) pavargsta ir "skauda" kojų vietos šiek tiek aukščiau kelių. Tos kojos vietos truputi aukščiau kelio, kur yra pagrindiniai kelimo (darant pritupimą) raumenys, vidutinė apimtis yra apie 36 cm. Todėl tą kojos vieta yra karto stipresnė už ranką.
Update 1. Geriau pamatavus, ištiestos rankos apimtis tarp allkūnės ir peties yra tarp 21.5 cm ir 24.5 cm (arčiau peties apimtis didesnė). Todėl, tiksliau skaičiuojant, laikysime, kad rankos (tarp alkūnės ir peties) apimtis yra 23 cm. Todėl kojos raumenys, atsakantys už kojos ištiesinimą kelio srityje, yra karto stipresni už rankos bicepso arba tricepso raumenys.
Kai daromi pritupimai, tai šitie kojų raumenys esantis truputi aukščiau kelių kelią beveik visą žmogaus svorį (išskyrus žemiau kelių esančias kojas, kurios pritupiant susilenkia apie 45 laipsnius, dėl ko būdamos mažos apimties (apie 27 cm) iškelia visą kūna lengviau nei raumenys esantys truputi aukščiau kelių). Tuo tarpu, kai daromi prisitraukimai (prie skersinio, pagalio), tada traukia kūną į viršų ir rankų 2 bicepsai ir krūtinės raumenys. :Kai daromi atsispaudimai, tada kūną į viršų kelia ir rankų 2 tricepsai ir kažkaip, tikriausiai neefektyviai, krūtinės raumenys (bent jau krūtinės raumenys po atsispaudimų jaučiasi, kad padirbėję ir pavargę) bei gal net dar truputi padeda pečių raumenys (irgi neefektyviai tikriausiai), kurie nesijaučia, kad pavargsta po atsispaudimų.
Kai gulint ant nugaros stumiama štanga į viršų (angliškai vadinasi bench press), tai, kadangi rankomis štanga imama platokai, tai krūtinės ir pečių raumenys laiko šangą pusiausvyroje, kad ji nepalinktų nei į pilvą nei į kaklą, ir šie raumenys kelia štangą į viršų. Triukas yra, kad dar ir tricepsai padeda kilti štangai į viršų. Iš to išeina, kad, jeigu štanga kelti paėmus siaurai (rankomis paėmus truputi siauriau nei pečiai), tai bus iškeltas nuo 1.3 iki 2 kartų mažesnis svoris. Kiek kartų bus iškeltas didesnis svoris paėmus štangą normaliai (platokai) negu siaurai, yra labai sudėtingas klausimas (sakyčiau, apie 1.5 karto plačiai bus iškeltas didesnis svoris, negu, stumiant štanga, rankomis laikant štangą, truputi siauriau nei pečiai arba maždaug pečių plotyje). Kai imama štanga siaurai ir stumiama į viršų, tai krūtinės raumenys ir gal dar pečių raumenys atskirai kelią visą štangos svorį ir tricepsai atskirai kelią visą štangos svorį, o kai imama štanga plačiai/normalia, tai tarsi pasidalina krūtinės raumenys su tricepsais svorio kelimą (čia sunkoka paaiškint ir reikia daug samprotavimo ir fizikos ir matematikos ir ne kiekvienas gali tai suprast).
Idėja yra, kad kuo plačiau paimta štanga, gulint ant nugaros stumiama, tuo didesnį svorį teoriškai galima išstumti (iki 2 kartų didesnį nei imant siaurai). Bet realybėje gali būti kitų trūkdančių efektų... Paėmus labai plačiai, štanga tarsi laikoma pusiausvyroje ir rankos laikomos nuo vienos rankos alkūnės iki kitos rankos alkūnės vienoje tiesėje, kuri pereina per pečių taškus. Tada net jei nebūtų tricepso raumenų ant rankų, išlaikant rankas nuo alkūnės iki riešo į viršų ir palaikant su krūtinės bei pečių raumenimis pusiausvyra, būtų galima, traukiant krutinės raumenims į vidų rankas, kelti štangą į viršų. Bet čia dar prisideda tricepsai, kurie tiesina rankas ir tuo pačiu kelia į viršų labai plačiai paimtą štangą. Ir gaunasi beveik dvigubai lengviau nei siaurai. Tik, kad pusiausvyros laikymui nueina kažkiek jėgų ir labai, labai plačiai nepaimsi, todėl ne tiek daug plačiai paėmus turėtų būt lengviau štangą kelti apie 1.5 karto (nei siaurai laikant štangą pečių plotyje).
Update 2. Atsispaudimus darant, rankas laikant normaliame plotyje, galima padaryti 1.25-1.3 karto daugiau nei laikant rankas pečių plotyje (siaurai). Didelė tikimybė, kad, darant atsispaudimus, nesiaurai (normaliai) laikant rankas, krūtinės raumenų stumimo efektyvumas gali būti apie 80-100 % (tricepsų efektyvumas, žinoma, yra 100 %, darant atsispaudimus, arba minimum 95 %). Kai daromi atsispaudimai ne siaurai (bet ir ne plačiai - normaliai), tai svorio (kūno) stumimo jėga susideda tricepsų ir krūtinės raumenų. Taip jėga susideda tik kai stumiama štanga paimta plačiai (bet net vis tiek atsispaudimų stumimo galia didesnė, nei stumiant štangą plačiai, nes štangą reikia krūtinės ir pečių raumenims laikyt pusiausvyroje...).
Update 3. Jeigu darant prisitraukimus neveiktų/nebūtų bicepsų, tai tada krūtinės raumenys trauktų rankas prie krūtinės ir kūnas tiesiog pasisuktų pilvu ir kojomis į viršų, o alkūnės nei kiek nesusilenktų ir prie pagalio nei kiek žmogus neprisitrauktų. Todėl darant prisitraukimą praktiškai vien tik tai už prisitraukimą prie pagalio atsako rankų bicepsai.
Lieknas žmogus (apie 170 cm, apie 50 kg) vienerius - dvejus metus intensyviai treniruodamasis atsispaudimais ir prisitraukimais, gali maksimaliai padaryti be sustojimų apie 45 švarius (pilnus) atsispaudimus ir gali padaryti maksimaliai be sustojimų (be jokių pauzių) apie 15 švarių (pilnų) prisitraukimų. Kadangi darant prisitraukimus krūtinės ir jokie nugaros raumenys nepadeda prisitraukti prie skersinio (pagalio), tai ko gero nepadeda arba mažai padeda krutinės ir pečių raumenys darant atsispaudimus. Kai daromi prisitraukimai, tai 2 bicepsai iškelia 50 kg svorį, o kai daromi atsispaudimai, tai apie 30 kg svorį iškelia tikriausiai beveik vien tik 2 tricepsai. 50 kg žmogaus svoris, kuris iškeliamas darant atsispaudimus, dalinamas ne per pus ir lygus ne 25 kg, o apie 30 kg, nes galva sveria apie 2-3 kg, kaklas sveria apie 1 kg ir pečių dalis sveria apie 2 kg, esanti už pečių sąnarius jungiančios tiesės (dalis esanti arčiau galvos).
Jei darant atsispaudimus, daug padėtų tricepsams krūtinės ir/ar pečių raumenys, tai tikriausiai 2 metus intensyviai besitreniruojantis lieknas žmogus galėtų padaryti apie 100 švarių atsispaudimų be susotojimo, nes būtų keliamas (30/50)/2=0.3x svoris tricepsams, palyginus su 1x svoriu bicepsams, darant pristraukimus. Galimas daiktas, kad, darant atsispaudimus, krūtinės ir/arba pečių raumenų efektyvumas siekia tik iki 20 %.
Truputi treniruojantis (vieną kart kas pora dienų) galima padaryti 50 pilnų pritupimų (be pauzių) ir 25 pilnus atsispaudimus (be pauzių). Net taip truputi treniruojantis, atsispaudimus kas porą dienų darai kiek gali, o pritupimus tik kas pora savaičių išbandai kiek gali, o taip tik apšilimui... Gal, vaikščiojimas priduoda treniravimuisiui... Bet nereik pamiršt, kad koja truputi aukščiau kelio turi apie 2.5 karto daugiau raumenų negu ranka nuo alkūnės iki peties (kojos skerspjūvio plotas toje vietoje 2,5 karto didesnis negu rankos). Jeigu skaityt, kad darant atsispaudimus tenka dvigubai mažesnis svoris tricepsams nei darant pritupimus, tai su kojomis galima taip grūbiai sakant padaryti 2.5/2=1.25 karto daugiau pritupimų. Bet dar keliamas ne 25 kg svoris, darant atsispaudimus, o 30 kg, tai su kojomis, grubiai sakant, galima padaryti (30/25)*1.25=1.2*1.25=1.5 karto daugiau pritupimų nei atsispaudimų. Suprantama, tas 1.5 karto lengviau (kelti svorį) gali gautis į 2 kartus daugiau (pritupimų nei atsispaudimų)...
Va čia neblogai visi kojos raumenys parodyti: https://doctorlib.info/anatomy/classic-human-anatomy-motion/8.html
Update 4. Rankas laikant truputi plačiau nei pečiai, atsispaudimų galima padaryt 1.04 karto mažiau (4 % mažiau; 24 atsiapudimus vietoj 25 atispaudimų) nei laikant rankas plačiau/normaliai (tai gali būti dėl to, kad svorį reikia kelt truputi aukščiau...).
Kai daromi atsispaudimai tai gali būti, kad krūtinės raumenų efektyvumas yra apie 20 %, nes krūtinės raumenų jėga traukia rankos kaulą į vidų ir naudingumo vektorius tik apie 20 procentų duoda rankos tiesinimui... Bet beveik vienodas atsispaudimų skaičius, darant atsispaudimus, plačiau ir siauriau, leidžia daryti prielaidą, kad gal ir krūtinės raumenų naudingumas/efektyvumas yra apie 5 %. Bet dar yra toks mažas peties raumuo, kuris kelia ranką į priekį ir paskui į viršų (jis gerai matosi kai ranka pakelta šiek tiek į viršų). Ten šalia jo yra kitas ar kiti peties raumenys, kurie kelia rankas į šonus lyg sparnus. Bet šitie raumenys (keliantys į šonus rankas) turbūt tikrai nedalyvauja atsispaudimų daryme. Tai tikriausiai tikrai dalyvauja atsispaudimų darymę tas mažas raumuo ant peties, kuris kelia rankas į priekį ir kurio efektyvumas tikrai turėtų būti 90-100 %. Bet kadangi jis mažas, tai jis turi tik apie 20 % tricepso jėgos.
Jei krūtinės raumenys priduoda atsispaudimams 20 % ir tas mažas peties raumuo priduoda 20 %, tai gaunasi, kad 1.4 karto daugiau gali tricepsai su jais (su šitais raumenim) pakelti, nei vieni. Ir tai gaunasi, kad tada turėtų pritupimų padaryti tik 1.5/1.4=1.0714 karto daugiau nei atsispaudimų, grūbiai tariant. Tie 7 % lengviau kelti (pritupimais ne atsispaudimais) transformuojasi į 15-20 % daugiau pritupimų nei atsispaudimų. Jei 20 procentų daugiau (turėtų padaryt pritupimų nei atsispaudimų), tai lieknas žmogus padarantis 25 atsispaudimus turėtų padaryti 25+0.2*25=25+5=30 pritupimų. Bet pritupimų padaroma 2 kartus daugiau nei atsispaudimų...
Reikia turėti galvoj, kad priekiniai kojos raumenys, atsakantys už kojos kelio srityje ištiesinimą, yra sudaryti iš keturių raumenų (iš kvadricepso (quadriceps)). Anksčiau duotoje nuorodoje nėra parodytas Vastus intermedius, kuris yra po viduriniu, priekiniu raumeniu (po Rectus femoris). Va čia parodyti visi keturi priekiniai kojos raumenys atsakantys už kojos ištiesinimą kelio srityje: https://www.pinterest.com/pin/347762402455744015/
Tik Rectus femoris prijungtas prie kelio kauliuko (Patella'os) ir prie dubens kaulo, tai kad jo kojos tiesinimas kelio srityje kartu veikia kaip kojos kelimą į priekį dubens srityje...
Update 5. Visgi, darant atsispaudimus normaliai (kai rankos normaliam plotyje) galima jų padaryti 25/18=1.3889 karto daugiau nei atsispaudimų, kai laikomos rankos pečių plotyje. Taigi, galima padaryti apie 38 procentais daugiau normaliai nei laikant rankas pečių plotyje (ten gal iš nepripratimo gali truputi mažiau gautis...). Tas 38 % daugiau transformuojasi į 15-25 % lengviau kelti svorį darant atsispaudimus normaliai negu siaurai (rankas laikant pečių plotyje).
Jei imti kojos tarp kelio ir klubo vidurį, tai ten pas 170 cm, 50 kg žmogų apimtis yra 40 cm. Toje vietoje kojos skerspjūvio plotas yra karto didesnis negu rankos skerspjūvio plotas tarp alkūnės ir peties.
Bet kojos raumenys (tarp kelio ir klubo atsakantys už kojos tiesinimą kelio srityje) nėra ilgi, bet jų yra 4 ir jie yra pasiskirstę skirtingame aukštyje. Keliu trumpu raumenų [sujungtų lygiagrečiai] jėga yra didesnė nei vieno ilgo... Bet ir taip kelio tiesinimui gamtos nepagailėta raumenų. Žemiausiai esantis raumuo (Vastus medialis), gerai apžiūrėjus savo koja ir kultūristų kojas yra apytikslio ilgio ir storio kaip ir rankos bicepso raumuo (o bicepso raumuo yra panašaus dydžio ir maždaug tokio pat stirpumo kaip ir rankos tricepsas). Truputi aukščiau už Vastus medialis yra Vastus Lateralis, kurio dydis ir ilgis yra irgi maždaug toks pat kaip ir bicepso (Šių dviejų kojos raumenų (esančių skirtingose kojos šonose) skersmuo maždaug nuo kojos vidurio staigiai mažėja [nors bet kokiu atveju ilgesnis raumuo nėra stipresnis]). Dar yra sunkiai apžiūrimi kojos tarp kelio ir klubo 2 raumenys (Vastus intermedius ir Rectus femoris) atsakantys už kojos tiesinimą kelio srityje. Šitie 2 raumenys (kurių [arba bent vieno iš jų] skersmuo pradeda didėti pakankamai dideliu atstumu nuo kelio) gali būti tokio pat masyvumo kaip vienas arba du bicepsai. Todėl iš viso šitie 4 kojos raumenys yra svorio ir stirpumo kaip maždaug 3-4 bicepsai (arba tricepsai).
Jeigu skaičiuoti, kad kojos raumenys atsakantys už pritupimus (atsakantys už kojos tiesinimą kelio srityje) yra 3 kartus stipresni už rankos tricepso raumenys, tai jeigu tricepsams nieks nepadėtų ir atsispaudimams būtų keliamas ne 30 kg, o 25 kg svoris, tai būtų tricepsams daryti atsispaudimus 3/2=1.5 karto sunkiau nei kojoms daryt pritupimus. Bet kadangi keliamas atsispaudimais 30 kg svoris (žmogaus sveriančio 50 kg, ūgio 170 cm), tai pritupimus daryti 1.5*(30/25)=1.5*1.2=1.8 karto lengviau nei atsispaudimus. Jei skaičiuoti, kad atsispaudimams dar 20 procentų priduoda mažas peties raumuo ir 20 procentų priduoda krūtionės raumenys, tai tada pritupimus daryti 1.8/1.4=1.2857 karto lengviau, kas transformuojasi į 1.6 - 1.8 karto daugiau pritupimų nei atsispaudimų (25*1.7=42.5 pritupimai). Gal dar tie peties ir krutinės raumenys tricepsams padeda mažiau nei 40 % ir gal kojos kvadricepsas yra 3.5 karto stipresnis už rankos tricepsą.
Čia visi 4 raumenys esantys užpakalinėje kojos pusėje ir esantys tarp kelio ir klubo: https://www.researchgate.net/figure/llustrations-showing-the-biceps-femoris-Fig-1A-the-semitendinosus-muscle-Fig-1B_fig2_279753249
3 iš šitų raumenų prijunkti prie dubens ir kojos kaulų, esančių žemiau kelio ir tik 1 raumuo prijungtas prie kojos kaulo esančio žemiau kelio ir prie kaulo esančio aukščiau kelio (jis vadinasi Biceps Femoris – Short Head). Sprendžiant iš visko, tie 3 raumenys (Biceps Femoris Long head, Semitendinosus, Semimembranosus) vienu metu traukia koja atgal ir lenkia koją kelio srityje. Ir tiktai vienintelis Biceps Femoris Short Head tik lenkia koją kelio srityje (ir nieko daugiau netraukia).
Čia teisingiau dubuo parodytas atžvilgiu 4 Hamstring Group raumenų: https://learnmuscles.com/glossary/biceps-femoris/
Update 6. Apie 170 cm ūgio ir lygiai 50 kg svorio žmogus atsispaudimų pozoje vieną ranką (ištiestą) padėjus ant svarstyklių gauna rezultatą 29 kg. O padėjus dvi ištiestas rankas ant svarstyklių, svarstyklės rodo rezultatą 34 kg (dvi rankos sveria apie 4 kg). Svarstyklės yra gana siauros todėl rankas tenka dėti siaurai ant svarstyklių. Prisižeminus su dviem padėtomis (sulenktomis) rankomis ant svarstyklių, svarstyklės rodo 36-37 kg (bet, kadangi rankos laikomos siaurai, tai prisižeminus gali būti, kad kūnas truputi pradeda laikytis ant alkūnių).
Jeigu skaičiuoti, kad atsispaudimams padeda 40 procentų mažas peties raumuo (kuris kelia ranką tiesiai ir į viršų) ir krūtinės raumenys (kurie veikia labai neefektyviai, nes jų traukimo vektorius su rankų tiesinimo vektoriumi sutampa labai mažai...), tai tricepsams tenka kelti 35/1.4=25 kg.
Kaip jau buvo sakyta, truputi (2 kartus per savaitę, tiek kiek gali max padaryti atsispaudimų) treniruodamasis atsispaudimais (~170 cm, 50 kg žmogus) ir porą kartų per savaitę pritupimais (dažniausiai darydamas 30 pritupimų ir tik kartais 30-50 pilnų pritupimų...), gali padaryti 25 švarius atsispaudimus ir 50 (gal ir daugiau) pilnų pritupimų (prisėdant iki kelių aukščio) be pauzių.
Jei būtų padaroma atsispaudimų ir pritupimų po lygiai, tai kojos kvadricepsas (4 raumenys atsakantys už kojos tiesinimą kelio srityje) būtų 2 kartus stipresnis už rankos tricepsą. Bet pritupimų padaroma 2 (o gal ir daugiau nei 2) kartus daugiau, todėl galima manyti, kad koja turi apie 2.5-3 kartus didesnę keliamą galią nei rankos tricepsas. Problema yra ta, kad vienas kojos kvadricepso raumuo (Rectus Femoris) vienu metu ir tiesina kelį ir kelia koją į priekį. Bet užpakalinėje kojos dalyje (tarp klubo ir kelio) yra 3 raumenys kurie ir traukia koją atgal, ir lenkia koją kelio srityje. Užpakalinėje kojos dalyje nėra nei vieno raumens, kuris nelenktų kelio, o tik trauktų koją atgal (nebent ADDUCTOR GROUP raumenų, bet jie panašų, kad tiesiog traukia koją į vidų (artina koją prie kojos) ir jų naudingumas/efektyvumas turėtų būti mažas, jeigu jie sugeba traukti koją atgal).
Kai žmogus daro pritupimą, tai HAMSTRING GROUP (be Biceps Femoris Short Head) raumenys laiko kūną pusiausvyroje, kad nesusilenktų kūnas klubų srityje į priekį. Bet tuo pat metu tas jų toks laikymas pusiausvyroje priverčia koją susilenkti kelio srityje, o QUADRICEPS GROUP raumenys tiesiną koją kelio srityje. Todėl QUADRICEPS GROUP raumenims reikia dar papildomai kelti pasipriešinimo svorį: apie 30-35 kg kūno svorį (be kojų). Tik gera žinia ta, kad darant pritupimą kunas palinksta į priekį tik apie 45 laipsnius nuo tiesios padeties, todėl pasipriešinimo svoris yra apie 34/2=17 kg, palyginus su svoriu 45 kg (nes žemiau kelių esančios kojos nekeliamos), kurį kelia (darant pilną pritupimą) QUADRICEPS GROUP raumenys. Dar viską apsunkina tai, kad darant pritupimą nėra jokios naudos iš Rectus Femoris raumens, nes jis traukią kūną žemyn (į priekį), o HAMSTRING GROUP (be Biceps Femoris Short Head) raumenys traukią kūną atgal (į pusiausvyrą), kad kūnas visiškai nesusilenktų į priekį... Todėl iš QUADRICEPS GROUP raumenų, 45 kg svorį kelia tik 3 iš 4 raumenys (Vastus Medialis, Vastus Intermedius, Vastus Lateralis). Bet dar priešinasi 17 kg svoris, todėl gaunasi, kad QUADRICEPS GROUP 3 raumenys kelia 45+17=62 kg svorį apytiksliai. 62/45=1.3778 arba 38 procentais sunkiau kelti dėl besipriešinančių 3 HAMSTRING GROUP raumenų, laikančių kūną palinkusioje pusiausvyroje. Taigi, keliantys visą 62 kg svorį yra 3 raumenys, atsakantys už kelio tiesinimą kelio srityje ir kuriems didžiausia apkrova. Jei kiekvienas iš tų 3 raumenų (Vastus Medialis, Vastus Intermedius, Vastus Lateralis) yra stiprumo kaip rankos bicepsas arba rankos tricepsas, tai koją turi 3/1.3778=2.1774 karto didesnę [kelimo] jėgą nei rankos tricepsas.
Update 7. Aukščiau buvo sakyta, kad darant pritupimą 3 Hamstring Group raumenys neleidžia kūnui nuvirsti į priekį, bet, kadangi yra prijungti prie kaulo esančio žemiau kelio, sudaro pasipriešinimą kojos kvadricepsui, kuris tiesina koją kelio srityje. Pasirodo, kad yra ramenų, kurie neleidžia kunui nuvirsti į priekį (darant pritupimą) ir kurie prijungti prie kaulo esančio aukščiau kelio ir prie dubens. Vienas iš tokių raumenų yra Aductor Magnus. Jis jungiasi prie kojos kaulo esančio aukščiau kelio ir dubens beveik toje pačioje vietoje kaip ir 3 Hamstring Gruop raumenys, tik iš kitos pusės. Apie Aductor magnus galima pažiūrėti čia. Bet yra truputi šansų, kad Aductor Magnus netraukia kojos atgal, o tik traukia į vidų.
Kiti raumenys kurie prijungti prie kojos kaulo esančio aukščiau kelio ir prie dubens, ir kurie neleidžia kūnui nuvirsti į priekį, darant pritupimą arba squat su štanga, yra raumenys ant užpakalio po viršutiniu užpakalio raumeniu, kuris vadinasi Gluteus maximus (gal net dalis Gluteus maximus raumens gali traukti koją atgal). Šituos kelis raumenys galima pažiūrėti čia. Jie vadinasi Gluteus medius ir Gluteus minimus.
Viskas atrodo išspręsta, koja pritupimams apie 4 kartus stipresnė už rankos bicepsą, bet yra kita pasipriešinimo problema. Koja žemiau kelio turi du raumenys, kurie traukia kulną į viršų. Vienas iš tų raumenų prijungtas prie kulno ir kaulo esančio žemiau kelio, todėl nesukalio jokio pasipriešinimo ir kelia normaliai svorį darant pritupimą. Kitas [gal dvigubai didesnis] raumuo prijungtas prie kulno ir kaulo esančio aukščiau kelio, todėl sukelia pasipriešinimą ir papildomai apkrauna [darant pritupimą] kojos kvadricepsą, kuris atsako už kojos tiesinimą, kelio srityje. Apie šituos du raumenys prijungtus prie kulno [ir kurie reikalingi darant pritupimus] žiūrėti čia, čia (tas apie dvigubai mažesnis raumuo yra po tuo didesniu) ir čia. Gera žinia, kad kojos apačioje darant pritupimą susilenkia tik apie 45 laipsnius, todėl del to kojos kvadricepsui tektų tik papildomai 1/2 žmogaus kūno svorio kelti. Bet dar 1/3 svorio keliama tuo raumeniu kuris neprijungtas prie kaulo esančio aukščiau kelio (o tik prie kulno ir žemiau kelio ilgo kaulo). Todėl kvadricepsams reikia kelti papildomai (1/2)*(2/3)=2/6=1/3 viso žmogaus kūno svorio.
Šalia bicepso yra dar toks Brachialis muscle (raumuo), kurio dydis yra nuo pusė bicepso iki bicepso dydžio, skirtingų šaltinių duomenimis. Brachialis raumuo atsako už rankos sulenkimą alkūnės srityje ir dėl to padeda darant prisitraukimus (prie pagalio). Todėl, sprendžiant iš visko, bicepso raumuo kartu su Brachialis raumeniu turėtų būti nuo 1,5 karto iki 2,5 karto stipresni už tricepso raumenį (kuris atsako už rankos ištiesinimą alkūnės srityje). Be kita ko tricepso vienas galas (Long Head) prijunktas prie peties mentės ir dėl to, darant atsispaudimus, neleidžia rankai išsitiesti į priekį (priešinasi, bet ir tuo pačiu tiesina ranką alkūnės srityje, todėl ta tricepso dalis, darant atsispaudimus, tarsi neegzistuoja). Dėl to atsispaudimams tricepsas praranda apie 30-50 % jėgos. Bet yra kitas mažokas raumuo, kuris tiesina ranką į priekį ir dėl to priduoda keliamos jėgos atsispaudimams (apie 20 % tricepso jėgos). Šitas mažokas raumuo vadinasi Coracobrachialis. Visi šitie raumenys (bicepsas, tricepsas, Brachialis, Coracobrachialis) pavaizduoti čia.
Dar yra toks peties raumuo Deltoid Muscle, kuris turi 3 dalis ir viena iš tų dalių, kuri vadinasi Anterior Clavicular, padeda daryti atsispaudimus, nes kelia ranką į priekį. Deltoid raumens Anterior Clavicular dalies dydis yra apie 40 % bicepso dydžio. Deltoid raumens visos 3 dalys pavaizduotos čia ir čia. O dar čia parodyti Deltoid 3 raumenys ir parodyta, kad krūtinės raumenų viršutinė dalis padeda ranką tiesinti į priekį, net kai rankos nėra plačiai išskiestos į šonus (todėl, neabejotninai, krūtinės raumenys (nevisi) padeda daryti atsispaudimus ir kelti štangą gulint ant nugaros, net nepaėmus plačiai).
Va čia ir čia galima pažiūrėti kitus peties rankos sukinėjimo raumenis.
Atsispaudimams, daug šansu, padeda dar krūtinės raumenys. Tik neaišku kiek. Gal apie 20-40 % visos krūtinės raumenų jėgos.
O štai prisitraukimus šiek tiek lengviau daryti paėmus pagalį rankomis plačiai, nes tada dar padeda gal nugaros kokie nors raumenis, gal krūtinės, o gal ir jokie (čia padaro 63 prisitraukimus su pauzėmis per 120 sekundžių paėmus šiek tiek plačiau, o plačiai šitame video tas pats žmogus padaro 59 prisitraukimus per 120 sekundžių; todėl labai plačiai ko gero net sunkiau daryti [prisitraukimus] nei normaliai). Bet paėmus skersinį (pagalį prie kurio prisitraukiama) rankomis pečių plotyje, jokie kiti raumenys išskyrus bicepso raumenį ir Brachialis raumenį nedalyvauja, darant prisitraukimą. Todėl bicepsą su Brachialis'u galima lyginti su kojos kvadricepsu. Platokai paėmus rankas ir prisitraukinėjant gali geriausi atletai iš youtube padaryti apie 30-40 prisitraukimų be pauzių (čia padaro 41 prisitraukimą be pauzių, o čia 38 prisitraukimus be pauzių; čia padaro 37 prisitraukimus neimdamas rankomis plačiai ir daro prisitraukimus iki galo, bet po kiekvieno prisitraukimo daro apie pusė sekundės pauzę). O su viena ranka gali padaryti apie 10 prisitraukimų be pauzių (įrodymas čia ir čia). Tokie atletai sveria apie 74-83 kg. Jeigu jiems prikabinti prie kojų apie 20 kg, tai jie kogero padarytų maksimum 3 prisitraukimus (su viena ranka). Sakykime, jie gali su vienos rankos bicepsu ir Brachialis'u iškelti 100 kg. Tada su dviem rankomis gali iškelti apie 200 kg. Jei koja stipresnė už bicepsą su Brachialis raumeniu 2 kartus, tai dvi kojos turėtų squat (squat yra pritupimas su štanga) su štanga iškelti 400 kg. Squat pasaulio rekordas 74 kg svorio kadegorijai yra 283 kg (by Atwood Taylor), o pridėjus dar kelėjo svorį 74 kg, gauname 283+74=357 kg. Squat pasaulio rekordas 83 kg svorio kategorijai yra 320.5 kg, o įskaičius kelėjo svorį, gauname 320+83=403 kg. Visi squat ir bench press (štangos stumimas į viršų gulint ant nugaros) rekordai yra čia https://www.powerlifting.sport/championships/records (kad žiūrėti vyrų pasaulio rekordus reikia spausti Men ir Classic [classic reiškia be jokių superpadedančių gumyčių] ir Open). Bench press 74 kg svorio kategorijai rekordas yra 211,5 kg, o 83 kg svorio kategorijai rekordas yra 218,5 kg. Bet bench press, ten gudrauja kaip tik gali: iškelia krūtinę į viršų, paimą štangą plačiai kiek tik galima. O štai 59 kg svorio kategorijoje yra toks Ng Derek iš Kanados, kuris nors ir plačiai paimą štaną ir kelia krūtinę į viršų, bet bench press'e iškelia tik 100 kg, o squat padaro 182 kg, o pridėjus jo svorį gausis 182+59=241 kg (čia pradžioje filmuko tokio pat plonumo kaip Derek Ng [gal net plonesnis] vaikinas padaro apie 2 prisitraukimus su viena ranka; todėl ir Derek'as Ng turėtų galėt padaryti vieną prisitraukimą su viena ranka, o su dviem rankomis iškelt 59*2=118 kg, taigi 241/118=~2 kartus koja stirpesnė už rankos bicepsą su brachialis'u). Todėl peršasi išvada, kad bunant sunkesniam-raumeningesniam sunkiau užtreniruoti kojas, nei rankas (gal su labai dideliais svoriais treniruotis beveik neįmanoma; melynės ant pečių darant squat'ą ir panašiai). Dar tas Derek Ng yra pasiekęs rekordą su deadlift'u - iškėlė 275 kg (275+59=334 kg su kūno svoriu). Bet jis pastato labai plačiai kojas, darydamas deadlift'ą, ir todėl kojos esančios žemiau kelių nesusilenkia - ir dėl to nėra jokio pasipriešinimo [iš raumens prijunkto prie kulno] ir dar darant deadlift (labai plačiai išskietus kojas) beveik kūnu nepalinkstama į priekį ir gal dėl to nereikia pagalbos iš Hamstring Group raumenų, kurie sudaro pasipriešinimą. Nes gali būti kad Aductor Magnus ir užpakalio raumenų neužtenka atlaikyt linkstantį į priekį kūną (ir dėl to reikia Hamstring Group raumenų) darant squat su štanga. Kaip Derek Ng daro squat, bench press ir deadlift (275 kg), žiūrėti čia.
Update 8. Iš šito video matyti, kad Gluteus minimus tikrai nepadeda laikyti kūną, kad jis nenulinktų žemyn, darant pritupimą arba squat. O Gluteus medius kažkiek turi šansų, kad neleidžia [bent šiek tiek] nulinkti kūnui į priekį (darant pritupimą arba squat su štanga), bet tame video rodo, kad jis tokios funkcijos neturi. Todėl visos viltys yra į Gluteus maximus, kurio viena dalis (prijunkta tarp dubens ir kaulo aukščiau kelio) nesipriešina kvadricepsui visiškai, o kita dalis (prijunkta prie dubens ir iliotibial tract, o šitas iliotibial tract prijungtas prie kaulo esančio žemiau kelio) sudaro apie 10-20 % apkrovą kvadricepsui, nes spaudžią kaulą aukščiau kelio į kaulą esantį žemiau kelio. Tarsi gaunasi, kad spaudžia sanaryje, bet nesipriešina kvadricepsui, o tik spaudžia kaulą prie kaulo... Tai tas pats kas kaulas prie kaulo vaikštant spaudžiamas beveik tiek pat kaip darant pritupimą, bet vaikščioti yra labai lengva (net jeigu, daryti pusė sekundės pauzes po kiekvieno žingsnio, kad nebūtų inercijos), o lipti laiptais į viršų daug sunkiau. Dėl to ta dalis Gluteus maximus, kuri prijungta prie iliotibial tract sudaro kvadricepsui tik apie 10-20 % pasipriešinimą nuo viso keliamo svorio (darant squat su štanga), o ne 100 % (pasipriešinimo) kaip nuo Hamstring gruop raumenų, kurie neleidžia kūnui nulinkti žemyn (darant squat su štanga), bet ir sulenkinėja koją kelio srityje. Čia parodyta kaip Gluteus maximus jungiasi prie kaulo dviem dalim. O čia dar papildomai apie Gluteus maximus.
Raumuo, kuris prijungtas prie kulno ir kaulo esančio aukščiau kelio, ir kuris priešinasi kojos kvadricepsui, vadinasi Gastrocnemius muscle. Gastrocnemius muscle reikalingas darant pritupimus (su štanga ar be jos) ir todėl priešinasi kojos kvadricepsui 100 %, darant pritupimus. Kitas raumuo, kuris yra po Gastrocnemius raumeniu, vadinasi Soleus muscle. Soleus raumuo yra prijunktas prie kulno ir kaulo esančio žemiau kelio. Todėl Soleus raumuo nesipriešina kojos kvadricepsui, darant pritupimus. Tai, kad Gastrocnemius muscle yra apie 2 kartus didesnis už Soleus muscle parodyta čia.
Ką reikia žinoti apie kojos kvadricepsą? Kojos kvadricepsas (Quadriceps Femoris) sudarytas iš 4 raumenų: Vastus Lateralis, Vastus Medialis, Rectus Femoris, Vastus Intermedius. Vastus Intermedius raumuo yra po Rectus Fermois raumeniu. Vastus Lateralis yra didžiausias raumuo iš visų 4 kvadricepso raumenų, bet kai kuriuose paveikslėliuose galima nepamatyti viso jo dydžio. Vastus Intermedius yra mažiausias iš kvadricepso raumenų. O Vastus Medialis ir Rectus Femoris yra apylygio dydžio. Visus Quadriceps Femoris raumenis dar galima pažiūrėti čia ir čia.
Čia parodyti visi Adductor Group raumenys ir jų funkcijos. Iš šito video matyti, kad Aductor Magnus iš dalies (kai kūnas mažai nulinkęs į priekį) arba pilnai (kai kūnas labai nulinkęs į priekį) padeda laikyti kūną, darant pritupimą su štanga, kad kūnas nenulinktų visiškai į priekį. Galima laikyti, kad Aductor Magnus "atsveria" Rectus Femoris (vieną iš kvadricepso raumenų), nes Rectus Femoris ir tiesiną koją kelio srityje (kelia svorį darant pritupimą) ir traukia kūną į priekį-žemyn. O dėl štangos ant pečių linkstantį kūną į priekį, darant pritupimą, atlaiko Gluteus Maximus ir neleidžia kūnui su štanga nulinkti į priekį.
Update 9. Čia vaikinas sveriantis [kaip jis pats užraše šitame video] 60 kg ir kurio ūgis, sprendžiant iš galvos ir kūno didumo santykio bei raumenų didumo, yra apie 170 cm. Taigi jo ūgis ir svoris yra beveik toks pat kaip Derek'o Ng (kuris sveria 59 kg, o ūgis turėtų būt irgi apie 170 cm). Taigi šitas vaikinas padaro tame video be pauzių 9 prisitraukimus su viena ranka (kaip ir geriausi atletai). Jis, sverdamas apie 60 kg, padaro 3 prisitraukimus su 16 kg arba 1 prisitraukimą su 27 kg tik su viena ranka. Su dviem rankomis jis parodo kaip padaro 1 prisitraukimą su 80 kg papildomu svoriu (komentarose jis yra sakęs, kad kairė ranka buvo sužeista, todėl turbūt mažiau ją treniravo). Tarkime, jis tokį pilnesnį prisitraukimą gali padaryti su 25 kg ir su viena ranka. Tada su dviem rankom galėtų padaryti vieną prisitraukimą pakeldamas (60+25)*2=85*2=170 kg. Jei kojos kvadricepso raumenys 2 kartus stirpesnį už rankos bicepsą su brachialis raumeniu, tai Derek'as Ng turėtų deadliftą (Derek'as Ng deadliftą daro statydamas kojas labai plačiai ir žemiausiuose kojų sąnariuose kojos nesusilenkia ir todėl nėra pasipriešinimo iš žemiau kelio esančio Gastrocnemius raumens) iškelti 170*2=340 kg įskaitant jo svorį. Bet Derek'as Ng iškelia deadlift daugiausiai 275 kg, o su jo svoriu tai yra 59+275=334 kg. Galima sakyti, kad kojos kvadricepsas 2 kartus stirpesnis už rankos bicepsą su brachialis'u. Squat maksimaliai Derek'as Ng iškelia 182 kg, o su jo svoriu 182+59=241 kg. Reiškia, kai priešinasi, darant squat su štanga, žemiau kelio esantis Gastrocnemius raumuo prijungtas prie kulno, koja yra 241/170=1.417647 karto stipresnė už rankos bicepsą su brachialis'u. Deadlift'ą 275 kg ir kelėjo svorį Derek'as Ng iškelia 334/241=1.38589 karto daugiau negu squat'ą 182 kg ir kelėjo svorį. Tik keista kodėl tiek mažai - tik max 100 kg Derek'as Ng iškelia štangą bench press'e (nors ir ima rankomis plačiai ir kelia krūtinę į viršų). Nejau 170/100=1.7 karto arba bent (60+80)/100=140/100=1.4 karto pristraukimams ranka stirpesnė už štangos stumimą į viršų gulint ant nugaros, kai plačiai paėmus stumiant ir rankos tricepso dalis (apie pusė [~40 %] tricepso traukia ranką atgal kai tiesina alkūnės srityje) padeda krutinės raumenims (o darant bench press siaurai - paėmus štangą pečių plotyje, rankų tricepsai nepadeda krūtinės raumenims, bet tricepsai nėra silpoji grandis, nes ranka nuo alkunes iki riešo laikosi stačiai grindims ir dėl to rankų tricepsams labai lengva išlaikyt pusiausvyroje rankas [padedant bicepsams] stačiai grindims [taip pat lengva kaip stovėt ant kojų]). Bet sprendžiant iš pritupimų darymo lengvumo ir prisitraukimų darymo sunkumo, negali būti, kad pritupimus tik 241/170=1.417647 karto lengviau daryti nei prisitraukimus. Bet kad 2 kartus lengviau - tai visai tikėtina... Gal tas vaikinas iš video sveria truputi daugiau nei 60 kg ir jo ūgis truputi mažesnis už Derek'o Ng... Nes pas vienodo ūgio, bet skirtingo svorio žmones vidinai organai, žarnos, kaulai ir galva sveria tiek pat, o raumenys - ne... Todėl liekni (nors ir raumeningi) savo svorį pakelia sunkiau nei masyvesni/sunkesni raumeningi.
180 cm ūgio žmogus, bet tokio pat lieknumo kaip 170 cm ūgio ir 60 kg svorio žmogus svertų O 160 cm ūgio, bet tokio pat lieknumo kaip 170 cm ugio ir 60 kg svorio žmogus svertų
Čia 11:31 tas vaikinas Andrejus iš ankstesnio video padaro 1 prisitraukimą su 101 kg, kai jo svoris 60 kg (iš viso 161 kg).