Matematika/Bernulio diferencialinė lygtis
Iš Wikibooks.
<
Matematika
Pereiti į navigaciją
Jump to search
Bernulio diferencialinė lygtis
y
′
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
y
m
,
{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{m},}
y
−
m
y
′
+
P
(
x
)
y
1
−
m
=
Q
(
x
)
,
{\displaystyle y^{-m}y'+P(x)y^{1-m}=Q(x),}
y
1
−
m
=
z
,
{\displaystyle y^{1-m}=z,\;}
z
′
=
(
1
−
m
)
y
−
m
y
′
,
{\displaystyle z'=(1-m)y^{-m}y',\;}
z
′
1
−
m
=
y
−
m
y
′
,
{\displaystyle {\frac {z'}{1-m}}=y^{-m}y',}
z
′
1
−
m
+
P
(
x
)
z
=
Q
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {z'}{1-m}}+P(x)z=Q(x),}
z
′
+
(
1
−
m
)
P
(
x
)
z
=
(
1
−
m
)
Q
(
x
)
.
{\displaystyle z'+(1-m)P(x)z=(1-m)Q(x).}
Bernulio lygtį galima spręsti panašiai kaip ir pirmosios eilės tiesinę, naudojant keitinį
y
=
u
v
.
{\displaystyle y=uv.}
x
y
′
+
y
+
x
2
y
2
e
x
=
0
,
{\displaystyle xy'+y+x^{2}y^{2}e^{x}=0,}
y
′
+
y
x
=
−
x
y
2
e
x
;
{\displaystyle y'+{y \over x}=-xy^{2}e^{x};}
y
=
u
v
,
{\displaystyle y=uv,}
y
′
=
u
′
v
+
u
v
′
{\displaystyle y'=u'v+uv'}
,
u
′
v
+
u
v
′
+
u
v
x
=
−
x
u
2
v
2
e
x
,
{\displaystyle u'v+uv'+{uv \over x}=-xu^{2}v^{2}e^{x},}
v
(
u
′
+
u
x
)
+
u
v
′
=
−
x
u
2
v
2
e
x
;
{\displaystyle v(u'+{u \over x})+uv'=-xu^{2}v^{2}e^{x};}
u
′
+
u
x
=
0
,
{\displaystyle u'+{u \over x}=0,}
d
u
d
x
=
−
u
x
,
{\displaystyle {du \over dx}=-{u \over x},}
∫
d
u
u
=
−
∫
d
x
x
,
{\displaystyle \int {du \over u}=-\int {dx \over x},}
ln
|
u
|
=
−
ln
|
x
|
,
{\displaystyle \ln |u|=-\ln |x|,}
u
=
1
x
;
{\displaystyle u={1 \over x};}
1
x
v
′
=
−
x
⋅
1
x
2
v
2
e
x
,
{\displaystyle {1 \over x}v'=-x\cdot {1 \over x^{2}}v^{2}e^{x},}
v
′
=
−
v
2
e
x
,
{\displaystyle v'=-v^{2}e^{x},}
∫
d
v
v
2
=
−
∫
e
x
d
x
,
{\displaystyle \int {dv \over v^{2}}=-\int e^{x}dx,}
−
1
v
=
−
(
e
x
+
C
)
,
{\displaystyle -{1 \over v}=-(e^{x}+C),}
v
=
1
e
x
+
C
;
{\displaystyle v={1 \over e^{x}+C};}
y
=
u
v
=
1
x
(
e
x
+
C
)
.
{\displaystyle y=uv={1 \over x(e^{x}+C)}.}
d
y
d
x
−
3
x
y
=
−
x
3
y
2
,
{\displaystyle {dy \over dx}-{3 \over x}y=-x^{3}y^{2},}
1
y
2
d
y
d
x
−
3
x
1
y
=
−
x
3
,
{\displaystyle {1 \over y^{2}}{dy \over dx}-{3 \over x}{1 \over y}=-x^{3},}
1
y
=
z
,
−
1
y
2
d
y
d
x
=
d
z
d
x
,
{\displaystyle {1 \over y}=z,\;-{1 \over y^{2}}{dy \over dx}={dz \over dx},}
d
z
d
x
+
3
x
z
=
x
3
;
{\displaystyle {dz \over dx}+{3 \over x}z=x^{3};}
šią tiesinę lygtį integruosime konstantos variacijos metodu,
d
z
d
x
+
3
x
z
=
0
,
{\displaystyle {dz \over dx}+{3 \over x}z=0,}
∫
d
z
z
=
−
3
∫
d
x
x
,
{\displaystyle \int {dz \over z}=-3\int {dx \over x},}
ln
|
z
|
=
−
3
ln
|
x
|
+
ln
|
C
|
=
ln
|
C
x
−
3
|
,
{\displaystyle \ln |z|=-3\ln |x|+\ln |C|=\ln |Cx^{-3}|,}
z
=
C
x
3
;
{\displaystyle z={C \over x^{3}};}
C
=
C
(
x
)
,
{\displaystyle C=C(x),}
z
=
C
(
x
)
x
−
3
,
{\displaystyle z=C(x)x^{-3},}
d
z
d
x
=
d
C
(
x
)
d
x
1
x
3
−
3
C
(
x
)
x
4
,
{\displaystyle {dz \over dx}={dC(x) \over dx}{1 \over x^{3}}-{3C(x) \over x^{4}},}
d
z
d
x
+
3
x
z
=
d
C
(
x
)
d
x
1
x
3
−
3
C
(
x
)
x
4
+
3
x
C
(
x
)
x
3
=
x
3
,
{\displaystyle {dz \over dx}+{3 \over x}z={dC(x) \over dx}{1 \over x^{3}}-{3C(x) \over x^{4}}+{3 \over x}{C(x) \over x^{3}}=x^{3},}
d
C
(
x
)
d
x
1
x
3
=
x
3
,
{\displaystyle {dC(x) \over dx}{1 \over x^{3}}=x^{3},}
d
C
(
x
)
d
x
=
x
6
,
{\displaystyle {dC(x) \over dx}=x^{6},}
∫
d
C
(
x
)
=
∫
x
6
d
x
,
{\displaystyle \int dC(x)=\int x^{6}dx,}
C
(
x
)
=
x
7
7
+
C
1
;
{\displaystyle C(x)={x^{7} \over 7}+C_{1};}
z
=
C
(
x
)
x
3
=
x
7
7
+
C
1
x
3
=
x
4
7
+
C
1
x
3
,
{\displaystyle z={C(x) \over x^{3}}={{x^{7} \over 7}+C_{1} \over x^{3}}={x^{4} \over 7}+{C_{1} \over x^{3}},}
z
=
1
y
,
1
y
=
x
4
7
+
C
1
x
3
,
{\displaystyle z={1 \over y},\;{1 \over y}={x^{4} \over 7}+{C_{1} \over x^{3}},}
y
=
1
x
4
7
+
C
1
x
3
=
1
x
7
+
7
C
1
7
x
3
=
7
x
3
x
7
+
7
C
1
.
{\displaystyle y={1 \over {x^{4} \over 7}+{C_{1} \over x^{3}}}={1 \over {x^{7}+7C_{1} \over 7x^{3}}}={7x^{3} \over x^{7}+7C_{1}}.}
Kategorija
:
Matematika
Naršymo meniu
Asmeniniai įrankiai
Neprisijungęs
Aptarimas
Indėlis
Sukurti paskyrą
Prisijungti
Vardų sritys
Puslapis
Aptarimas
lietuvių
Peržiūros
Skaityti
Keisti
Istorija
Daugiau
Naršymas
Pagrindinis puslapis
Bendruomenės puslapis
Naujausi keitimai
Atsitiktinis puslapis
Pagalba
Paaukokite
Įrankiai
Susiję puslapiai
Susiję keitimai
Įkelti rinkmeną
Specialieji puslapiai
Nuolatinė nuoroda
Puslapio informacija
Cituoti šį puslapį
Spausdinti/eksportuoti
Kurti knygą
Parsisiųsti kaip PDF
Versija spausdinimui
Kitomis kalbomis
Pridėti nuorodas