Pereiti prie turinio

Keli svarbūs sumų ir integralų sąryšiai

Iš Wikibooks.


1. Pagalbinė nelygybė.

[keisti]
Tarkime, kad A ir B yra bet kokie neneigiami skaičiai, o ir – bet kokie du didesni už vienetą skaičiai ir (tokius skaičius vadinsime jungtiniais). Tada
Rasime funkcijos didžiausią reikšmę pustiesėje Kadangi
tai kai ir kai x>1. Todėl funkcija turi maksimumą taške o jos didžiausia reikšmė yra
Taigi su visais
Paėmę paskutinėje nelygybėje * ir padauginę abi nelygybės puses iš gausime (10.26) nelygybę.
Tai atliekama šitaip:

_______________________

* Čia laikome Kai (10.26) nelygybė aiški.

2. Helderio* nelygybė sumoms.

[keisti]
* Helderis (1859-1937) – vokiečių matematikas.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_inequality#Notable_special_cases
Tarkime, kad ir yra bet kokie neneigiami skaičiai, o p ir – tokie pat, kaip ir anksčiau. Tada teisinga nelygybė
kuri vadinama Helderio nelygybe sumoms.
Iš pradžių įrodysime štai ką: jeigu – bet kokie neneigiami skaičiai, tenkinantys nelygybes
tai su tais skaičiais teisinga nelygybė
Iš tikrųjų, parašę visoms skaičių ir poroms (10.26) nelygybes ir susumavę tas nelygybes pagal i nuo 1 iki n, gausime
Taigi (10.29) nelygybė įrodyta.
Imkime dabar
*
Nesunku įsitikinti, kad skaičiai ir tenkina (10.28) nelygybes, todėl tiems skaičiams teisinga (10.29) nelygybė. Ją galima užrašyti šitaip:
Iš paskutinės nelygybės išplaukia Helderio (10.27) nelygybė.
O iš (Paraboloido) lygybės išplaukia
Bet atsižvelgus, kad ir gauname:
Taigi, vis tiek gauname, kad (10.27) nelygybė teisinga, nes
Pastaba. Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė virsta šitokia:
(10.30) nelygybė vadinama Buniakovskio** nelygybe sumoms.

_______________________

* Laikome, kad bent vienas iš skaičių ir bent vienas iš skaičių nelygūs nuliui. Priešingu atveju (10.27) formulė akivaizdi.
** V. Buniakovskis (1804-1889) – rusų matematikas.

3. Minkovskio* nelygybė sumoms.

[keisti]
* H. Minkovskis (1864-1909) – vokiečių matematikas ir fizikas.
Tarkime, kad – bet kokie neneigiami skaičiai, o skaičius p>1. Tada teisinga nelygybė
vadinama Minkovskio nelygybe sumoms. Visų pirma pertvarkykime sumą, esančią (10.31) nelygybės kairėje pusėje. Galima užrašyti
[
]
Kiekvienai iš dešinės pusės sumų taikysime Helderio nelygybę. Kadangi ir tai
Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš gausime Minkovskio (10.31) nelygybę.

4. Integruojamos funkcijos modulio bet kurio teigiamo laipsnio integruojamumas.

[keisti]
Įrodysime šitokią teoremą.
10.7 teorema. Jei funkcija yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija kai r – bet koks teigiamas skaičius, taip pat integruojama segmente [a; b].
Įrodymas. Teoremą užtenka įrodyti, kai Iš tikrųjų, kai funkciją galima išreikšti sandauga čia [r] – sveikoji r dalis, o r-[r]<1. Pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą funkcija integruojama segmente [a; b], todėl pagal 5 paragrafo savybę ir funkcija integruojama tame segmente. Bet tada, remiantis ta pačia savybe ir funkcijos integruojamumu, funkcija taip pat integruojama segmente [a; b]. Tad įrodysime teoremą, kai r<1. Pažymime ir pastebime, kad p>1. Kadangi funkcija |f(x)| integruojama segmente [a; b], tai kiekvieną atitinka toks šio segmento skaidinys T, kad
(kai (b-a)<1)
čia ir reiškia funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius daliniame segmente []. Užtenka įrodyti, kad suma
yra mažesnė už
Įvertinsime šią sumą, remdamiesi Helderio (10.27) nelygybe. Paėmę joje gausime
[ t. y. (10.33).]
Dabar įrodysime, kad
Paskutinę nelygybę padaliję iš *, gauname šitokią:
Jos teisingumu lengva įsitikinti, atsižvelgus į tai, kad o p>1. Pasinaudoję (10.35) nelygybe ir lygybe
iš (10.34) nelygybės gauname
Iš čia, pasirėmę (10.32) nelygybe ir prisiminę, kad turime
Teorema įrodyta.
(10.35.1) formulė gaunama sekančiu budu.
Pakeliame abi nelygybės puses p laipsniu.
Prisimename formulę
(kai (b-a)<1).
Vadinasi,
nes (b-a<1 ir p>1).
Taigi,

____________________

* Galime laikyti Jeigu tai ir (10.35) nelygybė teisinga.

5. Helderio nelygybė integralams.

[keisti]
Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra bet kokios dvi segmente [a; b] integruojamos funkcijos, o p ir p' – bet kokie du skaičiai, didesni už vienetą ir susiję sąryšiu Tada teisinga nelygybė
vadinama Helderio nelygybe integralams. Pažymėsime, kad (10.36) nelygybės dešinės pusės integralai egzistuoja pagal 10.7 teoremą, o kairės pusės integralas – pagal 5 paragrafo savybę.
Iš pradžių įrodykime šitokį teiginį: jeigu A(x) ir B(x) – dvi neneigiamos ir segmente [a; b] integruojamos funkcijos, tenkinančios nelygybes
tai
Iš tikrųjų bet kuriame segmento [a; b] taške x teisinga (10.26) nelygybė
Iš čia, remiantis 6 paragrafo įverčiu ir (10.37) formulėmis,
(10.38) nelygybė įrodyta.
Paėmę
[ ir yra konstantos.]
gauname šitokią nelygybę:
Kadangi pagal 6 paragrafo 1 skirsnio 2 pastabą
tai (10.36) Helderio nelygybė integralams įrodyta.



Pastaba. Atskiru atveju, kai p=p'=2, Helderio nelygybė integralams virsta šitokia:
ji vadinama Koši—Buniakovskio nelygybe integralams.

6. Minkovskio nelygybė integralams

[keisti]
Su bet kokiomis neneigiamomis ir segmente [a; b] integruojamomis funkcijomis f(x) ir g(x) ir bet kokiu skaičiumi p>1 teisinga šitokia nelygybė:
ji vadinama Minkovskio nelygybe integralams. Norint ją įrodyti, reikia pradėti nuo formulės
ir integralams, esantiems dešinėje tos formulės pusėje, taikyti Helderio nelygybę. Įrodymo detales paliekame skaitytojui.


Kadangi ir tai
Padaliję paskutinės nelygybės abi puses iš gausime Minkovskio (10.40) nelygybę integralams.


Indukcijos metodu iš (10.40) nelygybės galima gauti nelygybę, kuri tinka n neneigiamų ir segmente [a; b] integruojamų funkcijų

5 paragrafo trečia savybė

[keisti]
Jei funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai funkcijos f(x)+g(x), f(x)-g(x) ir taip pat yra jame integruojamos ir
Pirmiausia įrodykime, kad funkcija yra integruojama ir teisinga (10.8) formulė. Kad ir kokie būtų segmento [a; b] skaidinys bei taškai integralinės sumos tenkina sąryšį
Kai egzistuoja dešinės pusės riba, egzistuoja ir kairės pusės riba. Todėl funkcija yra integruojama, ir yra teisinga (10.8) formulė.
Dabar įrodysime, kad integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funckija. Kadangi funkcijos f(x) ir g(x) integruojamos segmente [a; b], tai jos tame segmente yra aprėžtos, taigi Nagrinėkime bet kokį duotąjį segmento [a; b] skaidinį. Sakykime, x' ir x" – bet kokie dalinio segmento taškai. Turime tapatybę
Kadangi
kai yra funkcijų f(x), g(x) svyravimai segmente tai, remiantis parašyta tapatybe*,
Todėl
Kadangi f(x) ir g(x) yra integruojamos segmente [a; b], tai bet kokį duotąjį atitinka toks šio segmento skaidinys T, kad ir Vadinasi,
Taigi integruojamų funkcijų sandauga yra integruojama funkcija.

_________________

* Toje tapatybėje taškus x' ir x" galima pasirinkti taip, kad kairė pusė kiek norima mažai skirtųsi nuo


Jei funkcija f(x) yra integruojama segmente [a; b], tai funkcija () integruojama tame segmente ir
Iš tikrųjų funkcijų f(x) ir cf(x) integralinės sumos skiriasi pastoviu daugikliu c. Todėl funkcija cf(x) integruojama ir teisinga (10.9) formulė.

Paragrafas 6. Integralų įverčiai. Vidurinės reikšmės formulės

[keisti]

1. Integralų įverčiai.

[keisti]
Šiame skirsnyje nurodysime, kaip įvertinami apibrėžtiniai integralai, kurių pointegralinės funkcijos tenkina vienokias ar kitokias sąlygas.
Tarkime, kad integruojama segmente [a; b] funkcija jame yra neneigiama. Tada
Iš tikrųjų kiekviena tokios funkcijos integralinė suma yra neneigiama. Todėl integralinių sumų riba taip pat neneigiama.
1 pastaba. Jeigu integruojama segmente [a; b] ir tai
Iš tikrųjų funkcija yra neneigiama ir integruojama segmente [a; b]. Todėl Iš čia aišku, kad
Jei funkcija tolydi, neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui segmente [a; b], tai
Kadangi funkcija yra neneigiama ir nėra tapačiai lygi nuliui, tai segmente [a; b] yra toks taškas kad Tada pagal teoremą apie tolydžiosios funkcijos ženklo pastovumą galima rasti tokį segmentą [p; q], kuriam priklauso taškas kad jame funkcijos reikšmės bus ne mažesnės už skaičių k>0. Todėl pagal 1 pastabą
Pagal apibrėžtinių integralų savybę
Kadangi ir (čia ), tai
Jei funkcijos ir integruojamos segmente [a; b] ir visame segmente, tai
Iš tikrųjų funkcija integruojama segmente [a; b]. Iš čia, pasinaudoję savybe, gauname nurodytą įvertį.
2 pastaba. Jei funkcija integruojama segmente [a; b], tai funkcija jame taip pat integruojama, ir
Iš pradžių įrodykime, kad integruojamos funkcijos f(x) modulis |f(x)| yra integruojamas. Pažymėkime ir funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente , o ir – modulio |f(x)| tiksliuosius rėžius tame pačiame segmente. Lengva įsitikinti, kad (užtenka išnagrinėti tris galimus atvejus: 1) ir neneigiami, 2) ir neteigiami, 3) [2) atveju ir todėl ]). Iš gautos nelygybės išplaukia, kad Todėl, jei tam tikro skaidinio tai to paties skaidinio t. y. funkcija |f(x)| tenkina pakankamą integruojamumo sąlygą*.
Dabar įrodysime mus dominantį įvertį. Kadangi tai
Tai ir reiškia, kad

________________________

* Iš to, kad funkcija |f(x)| yra integruojama, dar neišplaukia f(x) integruojamumas. Pavyzdžiui, funkcija neintegruojama segmente [0; 1], tuo tarpu – integruojama tame segmente funkcija.


Sakykime, funkcijos ir yra integruojamos segmente [a; b] ir Jeigu M ir m yra tikslieji funkcijos rėžiai segmente [a; b], tai
(10.11) formulė išplaukia iš to, kad visiems x iš segmento [a; b] yra teisingos nelygybės (žr. šio skirsnio įvertį ir 5 paragrafo savybę).

2. Pirmoji vidurinės reikšmės formulė.

[keisti]
Tarkime, kad funkcija yra integruojama segmente [a; b], o m ir M yra jos tikslieji rėžiai tame segmente. Tada yra toks skaičius tenkinantis nelygybes kad
Paėmę ir atsižvelgę į tai, kad iš (10.11) gauname
Skaičių pažymėję raide gauname (10.12) formulę.


8.5 teorema. Sakykime, funkcija tolydi segmente [a; b] ir tos funkcijos reikšmės ir įgyjamos segmento galuose, yra skirtingo ženklo (pvz., ). Tada segmento [a; b] viduje yra taškas kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui.
8.6 teorema. Sakykime, funkcija yra tolydi segmente [a; b] ir Jei C – bet koks skaičius, esantis tarp A ir B, tai segmente [a; b] yra toks taškas kad
Įrodymas. Užtenka išnagrinėti atvejį, kai o C nesutampa nei su skaičiumi A, nei su skaičiumi B. Konkretumo dėlei tarkime, kad A<B ir A<C<B. Sudarykime funkciją Ta funckija yra tolydi segmente [a; b] (kaip tolydžiųjų funkcijų skirtumas) ir to segmento galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes:
Pagal 8.5 teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas kad Todėl Teorema įrodyta.
8.7 (pirmoji Vejerštraso) teorema. Jei funkcija tolydi segmente [a; b], tai ji tame segmente yra aprėžta.
[Pavyzdžiui, funkcija f(x)=1/x pusintervalyje (0; 10] yra tolydi, bet segmente [0; 10] nėra tolydi (sąlygoje pasakyta segmentas, o ne pusintervalis), nes dalyba iš nulio negalima. O jei imti reikšmes artimas nuliui, kaip 0.0001, tai tom reikšmėm artėjant prie nulio, funkcijos f(x)=1/x reikšmės artės prie begalybės ir tokia funkcija nėra aprėžta. Be to, ši funkcija (f(x)=1/x) nėra tolygiai tolydi pusintervalyje (0; 10], nes su labai mažu skirtumu prie 0 ant Ox ašies yra labai didelis skirtumas funkcijos f(x)=1/x. Funkcija taip pat nėra tolygiai tolydi intervale nes esant mažam argumento pasikeitimui, gali būti labai didelis funkcijos reikšmės pasikeitimas. Pavyzdžiui, kai argumento (x reikšmės) pasikeitimas yra 0.1, tai t. y. pasikeitimas yra labai didelis, dėl to ji ir nėra tolygiai tolydi. Tolygiai tolydi funkcija pusintervalyje yra nes 0.00004999999875.
Pastebėsime, kad Kartais (arba beveik visada) taip dauginti mintyse lengviau nei kaip mokina mokykloje.]
8.8 (antroji Vejerštraso) teorema. Jei funkcija yra tolydi segmente [a; b], tai tame segmente pasiekia savo tikslųjį viršutinį ir tikslųjį apatinį rėžį (t. y. segmente [a; b] yra tokie taškai ir kad ).


Jei funkcija yra tolydi segmente [a; b], tai egzistuoja tokie segmento taškai p ir q, kad ir (žr. 8.8 teoremą). Todėl pagal 8.6 teoremą segmente [p; q], taigi ir segmente [a; b] yra toks taškas kad Tuomet (10.12) formulė atrodo šitaip:
Ji vadinama pirmąja vidurinės reikšmės formule.

3. Pirmoji apibendrinta vidurinės reikšmės formulė.

[keisti]
Įrodysime šitokį teiginį. Tarkime, kad funkcijos ir yra integruojamos segmente [a; b], o m ir M yra tikslieji rėžiai segmente [a; b]. Be to, tarkime, kad funkcija (arba ) visame segmente [a; b]. Tada yra toks skaičius tenkinantis nelygybes kad
Skyrium imant, jeigu tolydi segmente [a; b], tai jame yra toks skaičius kad
(10.15) formulė vadinama pirmąja apibendrinta vidurinės reikšmės formule.
Įrodysime (10.14) formulę. Jeigu tai remiantis (10.11) nelygybe, Tada vietoje galima imti bet kokį skaičių. Jeigu tai, padaliję (10.11) nelygybę iš gausime
Pažymėję skaičių raide gausime (10.14) formulę.
Jeigu f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai, kad ir koks būtų skaičius tarp m ir M, tame segmente yra toks taškas kad t. y. (10.14) formulė virsta (10.15) formule.
4 pastaba. Jei funkcija f(x) nėra tolydi, tai (10.15) formulė, apskritai kalbant, nėra teisinga.

4. Antroji vidurinės reikšmės formulė.

[keisti]
Teisingas šitoks teiginys. Jei segmente [a; b] funkcija yra monotoniška, o integruojama, tai jame yra toks skaičius kad
(10.16) formulė vadinama antąja vidurinės reikšmės, arba Bonė*, formule. Suformuluotas teiginys įrodytas šio skyriaus 2 priede.


_____________

* Bonė (1819–1892) – prancūzų matematikas.

2 PRIEDAS

[keisti]

6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas

[keisti]
Dar kartą suformuluosime 6 paragrafo 4 skirsnio teiginį.
Jei segmente [a; b] funkcija yra monotoniška, o funkcija integruojama, tai jame yra toks skaičius kad
* Patogumo dėlei paliekame ankstesnį formulės numerį.


Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį.
Abelio** lema. Tarkime, kad ir – bet kokie skaičiai. Jei sumos visiems yra tarp A ir B (sumos yra tarp A ir B), tai suma yra tarp skaičių ir
** N. H. Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas.
Įrodymas. Turime Todėl
Kadangi ir tai paskutiniame sąryšyje vietoj kiekvieno iš pradžių parašę A, o po to B, gausime nelygybes
Pastebėję, kad reiškiniai laužtiniuose skliaustuose lygūs gauname
Lema įrodyta.
Pastaba. Abelio lemos įrodyme pritaikėme sumos transformaciją, paprastai vadinamą Abelio transformacija.


6 paragrafo 4 skirsnio teiginio įrodymas. Tarkime, kad funkcija g(x) nedidėja segmente [a; b] ir yra jame neneigiama. Kadangi funkcija yra integruojama (žr. 5 paragrafo savybę), tai
čia
Funkcijos f(x) tiksliuosius rėžius segmente pažymėkime raidėmis ir Kadangi g(x) yra neneigiama, tai teisingos nelygybės
Bet g(x) nedidėja segmente [a; b], todėl skirtumas
nėra didesnis už skaičių [g(a)>g(b)]. Kadangi funkcija f(x) yra integruojama, tai suma nyksta, kai Todėl iš (10.41) nelygybės išplaukia: kad ir kokie būtų skaičiai tenkinantys nelygybes kiekvienos iš sumų
riba, kad yra integralas Remiantis (10.12) formule, skaičius galima parinkti taip, kad būtų
Kadangi funkcija (vietoje x gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio m ir tiksliojo viršutinio rėžio M segmente [a; b].
[Paraboloido pataisymas.
Kadangi funkcija (vietoje x gali būti bet kokia reikšmė iš segmento [a; b]) tolydi segmente [a; b], tai skaičius yra tarp funkcijos F(x) tiksliojo apatinio rėžio m padauginto iš ir tiksliojo viršutinio rėžio M padauginto iš segmente [a; b].
Taip gaunama pagal (10.12.1) formulę, t. y. nes (10.12.1) formulė yra tokia:
]
Imkime
Kadangi ir sumos yra tarp m ir M, tai remiantis Abelio lema, suma yra tarp mg(a) ir Mg(a) (čia ).
[Paraboloido pataisymas.
Kadangi ir sumos yra tarp ir tai remiantis Abelio lema, suma yra tarp ir (čia ).]
Bet tada ir tos sumos riba, kai yra tarp ir t. y. teisingos nelygybės
[Paraboloido pataisymas.
Bet tada ir tos sumos riba, kai yra tarp ir t. y. teisingos nelygybės
]
Tolydžioji funkcija įgyja kiekvieną reikšmę A, esančią tarp jos tiksliųjų rėžių m ir M, t. y. yra toks taškas kad
Todėl
[Paraboloido pataisymas.
Tolydžioji funkcija įgyja kiekvieną reikšmę A, esančią tarp reikšmių ir t. y. nėra tokio taško kai kad
Bet yra toks skaičius A,
kad iš
gauname
Bet visgi gali būti, kad kai (b-a)=1, tai tolydžioji funkcija įgyja kiekvieną reikšmę A, esančią tarp reikšmių ir t. y. yra toks taškas kai kad
Čia
Tada
čia ]
Jei nedidėjanti funkcija g(x) įgyja ir neigiamų reikšmių, tai funkcija yra nedidėjanti ir įgyja tik neneigiamas reikšmes. Todėl iš (10.42)
[Jei segmente [a; b] funkcija g(x)<0 ir yra nedidėjanti, tai [įprastai] g(a)>g(b) (bet jei g(x) funkcija yra horizontali tiesi linija, tada gali būti ir taip t. y. tik horizontalioms tiesioms linijoms g(a)=g(b), kas irgi yra nedidėjanti funkcija) ir tada funkcija intervale (a; b) ir yra nedidėjanti.]
[Taip neteisingai:
nes ir todėl
]
Iš čia po nesudetingų pertvarkymų gauname (10.16) formulę.
[Bet pagal (10.42) formulę
Vadinasi,
Toks samprotavimas neteisingas, nes kairėje (10.D) lygybės pusėje skirtas, kai integruojama su o dešinėje (10.D) lygybės pusėje skirtas, kai integruojama su g(x), todėl tie yra visiškai skirtingi.]
[
Vadinasi, (10.16) formulė teisinga, remiantis išvesta (10.C) formule.]


[ Šiaip, pagalvojus, taip turėtų būti teisingai:
Tolydžioji funkcija įgyja kiekvieną reikšmę A, esančią tarp reikšmių ir t. y. yra toks taškas kad
[pagal
ir
]
Ir iš
ir
(taip neteisingai: )
gaunasi
t. y.
Gavome, kad kai yra iš intervalo (a; b), tai
T. y. gavome (10.15) formulę ir nieko daugiau. (Ir tai dar nežinoma ar yra mažiau už ).
Bet (10.B) formulėje ir
Todėl galima rasti tokį kad
(10.42) formulė įrodyta.


Taip pat turėtų būti teisinga ir tai:
T. y.
arba
Renkantis, slankiojant reikšmę intervale (a; b) galima gauti anything, tame tarpe ir
Turint galvoje (10.14) ir (10.15) formules:
Ir turint galvoje, kad
nes pagal (10.15) formulę, atsižvelgiant į tai, kad g(a)>g(b), gauname:
Ir jeigu (b-a)>1, tai (10.A) formulė garantuotai teisinga.
Vadinasi, (10.42) formulė teisinga, kai
]

Teiloro formulės liekamojo nario integralinė forma

[keisti]

4. Dalinio integravimo formulė.

[keisti]
Tarkime, kad funkcijos ir turi tolydžias išvestines segmente [a; b]. Tada teisinga ši apibrėžtinių integralų dalinio integravimo formulė:
Kadangi ir tai tą formulę galima užrašyti dar šitaip:
Nesunku įsitikinti, kad tos formulės yra teisingos. Iš tikrųjų funkcija yra funkcijos pirmykštė. Todėl pagal (10.19)
Pritaikę apibrėžtinių integralų savybę, gauname (10.23) ir (10.24) formules.

5. Teiloro formulės papildomojo nario integralinė forma.

[keisti]
(10.23) formulę pritaikysime išvedinėdami funkcijos Teiloro formulę su integralinės formos papildomuoju nariu. Tarkime, kad funkcija f(x) spindulio taško a aplinkoje turi tolydžią (n+1)-osios eilės išvestinę, o x yra bet koks duotasis tos aplinkos taškas. Įsitikinsime, kad
yra funkcijos f(x) Teiloro formulės su skleidimo centru taške a papildomasis narys. Taigi (10.25) formulė funkcijos Teiloro formulės papildomąjį narį išreiškia integraline forma.
Pradėdami įrodymą, pastebėsime, kad
Integralui taikykime dalinio integravimo (10.23) formulę, paėmę ir (kadangi x yra fiksuotas, tai ).
Turime
Irašę gautąją integralo išraišką į anksčiau parašytą f(x) formulę, gauname
Integralui taip pat galima taikyti dalinio integravimo formulę, imant ir (kadangi x fiksuotas, tai ). Atlikę nesudetingus pertvarkymus, rasime
Todėl
Integruosime dalimis tol, kol gausime formulę
Ši formulė rodo, kad tikrai yra Teiloro formulės funkcijai f(x) su skleidimo centru taške papildomasis narys. Remiantis Teiloro formulės papildomojo nario (10.25) integraline forma, lengva gauti Teiloro formulės papildomąjį narį Lagranžo forma. Būtent, pritaikę apibendrintą vidurinės reikšmės (10.15) formulę, gauname
[]
Gautasis reiškinys ir yra Lagranžo formos papildomasis narys.
Pažymėsime, kad taip išvedant Lagranžo formos papildomąjį narį, (n+1)-osios eilės išvestinė šiek tiek labiau apribojama negu čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Teiloro_eilutė_(neprofesionalams) ].

Aritmetinis vidurkis, geometrinis vidurkis, harmoninis vidurkis, kvadratinis vidurkis

[keisti]

1. Aritmetinis vidurkis.

[keisti]
Aritmetiniu vidurkiu skaičių vadinasi skaičius
Jeigu visi duoti skaičiai lygūs tarpusavyje: tai ir jų aritmetinis vidurkis

2. Geometrinis vidurkis.

[keisti]
Aptarsime iš pradžių prasmę geometrinio vidurkio dviejų teigiamų skaičių.
Kaip yra žinoma, lygybė dviejų santykių, sudarytų iš teigiamų skaičių, t. y. lygybę
vadina geometrine proporcija, o skaičius d ir c – viduriniais nariais propocijos.
Jeigu viduriniai nariai (1) proporcijos lygūs: tai gausime proporciją
iš kurios pagal propocijų savybes randame
Skaičius x, tenkinantis (2) lygybę, su pasirinktais teigiamais a ir b vadinasi geometriniu vidurkiu (arba proporciniu vidurkiu) dviejų teigiamų skaičių a ir b.
Pažymėsime, kad jeigu skaičiai a ir b lygūs: a=b, tai jų geometrinis vidurkis
Bendru atveju, geometriniu vidurkiu teigiamų skaičių vadinamas skaičius
Jeigu visi skaičiai lygūs tarpusavyje: tai jų geometrinis vidurkis
Trikampis. 3.1 pav.
Du apskritimai. 3.2 pav.
Remiantis geometrinio vidurkio supratimu dviejų teigiamų skaičių galima:
  • nustatyti aukštinės ilgį h stataus trikampio, kai aukštinė nuleista (iš stataus kampo) ant įžambinės ir dalijanti ją į atkarpas a ir b ( 3.1 pav.);
  • nustatyti ilgį atkarpos AB bendros liestinės dviejų besiliečiančių išoriniu budu apskritimų (liestinė apskritimus liečia taškuose A ir B, 3.2 pav.).


Patvirtinsime formulę iš 3.2 pav.
Nubrėžkime iš taško statmenį į tiesę ir pažymėkime susikirtimo tašką raide C ant sondulio R. Gavome statųjį trikampį
Pagal Pitagoro teoremą:
Formulė įrodyta.


Patvirtinsime arba paneigsime formulę