Formulynas/Algebra

Algebra

Skaičiai

• $\mathbb {N}$ - natūrinių skaičių aibė: ${1,2,3,\ldots }$.
• $\mathbb {Z}$ - sveikųjų skaičių aibė: ${\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots }$.
• $\mathbb {Q}$ - racionaliųjų skaičių aibė. Ją sudaro visi skaičiai kurios įmanoma užrašyti trupmeniniu pavidalu.
• $\mathbb {I}$ - iracionaliųjų skaičių aibė. Ją sudaro visi skaičiai, kurių neįmanoma užrašyti trupmenomis. Tokių skaičių išviso neįmanoma užrašyti, todėl juos paprastai žymime raidėmis $(\pi ,e,\ldots )$ arba tiesiog rašome nesuskaičiuotus reiškinius $({\sqrt {2}},\cos {3},\ldots )$.
• $\mathbb {R}$ - realiųjų skaičių aibė. Ją sudaro visi racionalieji ir iracionalieji skaičiai.
• $\mathbb {C}$ - kompleksinių skaičių aibė. Aibė skaičių pavidalo $a+ib$, čia $a,b$ - realieji skaičiai, $i={\sqrt {-1}}$.
• $\infty$ - begalybė. Sutartinis žymėjimas, reiškiantis kiek norima didelį skaičių.
• Aibes galima išdėstyti taip: $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$.
• Teisinga, jog $\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} =\mathbb {R}$ ir $\mathbb {Q} \cap \mathbb {I} =\emptyset$.

Skaičių intervalai

Tarkime, jog $a<b$, ir $a,b\in \mathbb {R}$. Tuomet

$[a,b]=\left\{x|\,a\leq x\leq b\right\}$		uždaras intervalas arba atkarpa
$(a,b)=\left\{x|\,a<x<b\right\}$		atviras intervalas
$[a,b)=\left\{x|\,a\leq x<b\right\}$		pusiau atviras arba pusiau uždaras intervalas
$(a,b]=\left\{x|\,a<x\leq b\right\}$		pusiau atviras arba pusiau uždaras intervalas
$(a,\infty )=\left\{x|\,a<x<\infty \right\}$		atviras intervalas arba atvirasis spindulys
$[a,\infty )=\left\{x|\,a\leq x<\infty \right\}$		pusiau atviras arba spindulys
$(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$		visa realiųjų skaičių tiesė

Pagrindinės realiųjų skaičių savybės (aksiomos)

Bet kuriems realies skaiciams $a,b,c$ yra teisingos

Sudėtiės aksiomos:

1. $a+b=b+a$ - komutatyvumas arba sudėties perstatymo dėsnis.
2. $a+(b+c)=(a+b)+c$ - asociatyvumas arba sudėties jungimo dėsnis.
3. $a+0=a$ - neutralaus skaičiaus arba nulio egzistavimas.
4. $a+(-a)=0$ - priešingo skaičiaus egzistavimas.

Daugybos aksiomos:

1. $a\cdot b=b\cdot a$ - komutatyvumas arba daugybos perstatymo dėsnis.
2. $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ - asociatyvumas arba daugybos jungimo dėsnis.
3. $a\cdot 1=a$ - neutralaus skaičiaus arba vieneto egzistavimas.
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ - distributyvumas arba skirstymo dėsnis.

Realiųjų skaičių nelygybės

Sakysime, jog $a,b,c\in \mathbb {R}$, tada teisingos šios nelygybės

• Jei $a>b$, tai $b<a$.
• Jei $a>b$ ir $b>c$, tai $a>c$.
• Jei $a>b$, tai $a+c>b+c$.
• Jei $a>b$ ir $c>0$, tai $ac>bc$.
• Jei $a>b$ ir $c<0$, tai $ac<bc$.
• Jei $a>1$, tai $a^{n}>a^{m}$, kai $n>m,m,n\in \mathbb {N}$.
• Jei $0<a<1$, tai $a^{n}<a^{m}$, ki $n>m,n,n\in \mathbb {M}$.

Realiojo skaičiaus modulis

Modulio apibrėžimas:

• $|a|={\begin{cases}a,\mathrm {kai} \,a\geq 0,\\-a,\mathrm {kai} \,a<0\,\end{cases}}$

Modulio savybes:

• $|a|\geq 0$
• $|a|=|-a|$
• $|a|^{2}=a^{2}$
• $\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}$, su sąlyga, kad $b\neq 0$
• $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$
• $|a+b|\leq |a|+|b|$
• $|a-b|\geq |a|-|b|$
• $ab={\begin{cases}|a|\cdot |b|,\mathrm {kai} \,(a>0\,\mathrm {ir} \,b>0)\,\mathrm {arba} \,(a<0\,\mathrm {ir} \,b<0)\\-|a|\cdot |b|,\mathrm {kai} \,(a>0\,\mathrm {ir} \,b<0)\,\mathrm {arba} \,(a<0\,\mathrm {ir} \,b>0)\end{cases}}$

Sveikųjų skaičių dalumo požymiai

• Sumos dalumo teorema: jeigu ${\frac {a}{c}}\in \mathbb {Z}$ ir ${\frac {b}{c}}\in \mathbb {Z}$, tai ir ${\frac {a\cdot b}{c}}\in \mathbb {Z}$.
• Sandaugos dalumo teorema: jeigu ${\frac {a}{c}}\in \mathbb {Z}$ ir ${\frac {b}{d}}\in \mathbb {Z}$, tai ir ${\frac {a\cdot b}{c}}\in \mathbb {Z}$, ir ${\frac {a\cdot b}{d}}\in \mathbb {Z}$.
• Sveikasis skaičius dalijasi iš 2, kai jo paskutinis skaitmuo yra 0, 2, 4, 6, 8, t.y. lyginis.
• Sveikasis skaičius dalijasi iš 3, kai jo visų skaitmenų suma dalijasi iš 3.
• Sveikasis skaičius dalijasi iš 4, kai iš 4 dalijasi dviženklis skaičius, sudarytas iš paskutinių dviejų skaičiaus skaitmenų arba paskutinai skaitmenys yra nuliai.
• Sveikasis skaičius dalijasi iš 5, kai jo paskutinis skaitmuo yra 5 arba 0.
• Sveikasis skaičius dalijasi iš 11, kai lyginėse ir nelyginėse vietose esančių skaitmenų sumos sutampa arba skiriasi skaičiumi, kuris yra 11 kartotinis.

Aritmetinė šaknis ir jos savybės

...

Logaritmai

... aš noriu sužinoti apie daugybos skirstymo dėsnį

Pagrindinės logaritmų savybės. Su kiekvienu $a>0,\;\;a\neq 1\;$ teisingos lygybės:

$\log _{a}1=0;$

$\log _{a}a=1;$

$\log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y,$ kai x>0 ir y>0;

$\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y,$ kai x>0 ir y>0;

$\log _{a}x^{p}=p\log _{a}x,$ kai x>0, p - realusis skaičius;

$\log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}},$ kai x>0, b>0, $b\neq 1;$

$a^{\log _{a}x}=x,$ kai x>0 (pagrindinė logaritmų tapatybė).

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}.$

$\log _{a}b=\log _{a^{r}}b^{r}.$

Laipsnis

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).$

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.$

$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}.$

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$, su sąlyga, kad $b\neq 0$

Sakykime, $r={\frac {m_{1}}{n_{1}}},\;\;s={\frac {m_{2}}{n_{2}}}.$ Čia $m_{1}$ ir $m_{2}$ yra sveikieji skaičiai, o $n_{1}$ ir $n_{2}$ yra natūriniai skaičiai. Tada

$a^{r}\cdot a^{s}=a^{\frac {m_{1}}{n_{1}}}\cdot a^{\frac {m_{2}}{n_{2}}}=a^{\frac {m_{1}n_{2}}{n_{1}n_{2}}}\cdot a^{\frac {n_{1}m_{2}}{n_{1}n_{2}}}=a^{{\frac {m_{1}n_{2}}{n_{1}n_{2}}}+{\frac {n_{1}m_{2}}{n_{1}n_{2}}}}=a^{\frac {m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}}{n_{1}n_{2}}}=a^{r+s}.$

Čia a gali būti bet koks teigiamas (realusis) skaičius. Jeigu sandauga $n_{1}\cdot n_{2}$ yra nelyginis (natūrinis) skaičius, tai tuomet a gali būti bet koks realusis skaičius (tame tarpe ir neigiamas), išskyrus 0 (nes nulio negalima pakelti neigiamu laipsniu).

$a^{4}-b^{4}=(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}).$

$a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}).$

$a^{4}-b^{4}=(a+b)(a^{3}-a^{2}b+ab^{2}-b^{3}).$

$a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}).$

$x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+...+xy^{n-2}+y^{n-1}).$

$x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-...-xy^{n-2}+y^{n-1})\;$ (tik, kai n nelyginis!).

$x^{n}-y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-...+xy^{n-2}-y^{n-1})\;$ (tik, kai n lyginis!).