Aptarimas:Trigonometrinių, rodiklinės ir hiperbolinių funkcijų reikšmių skaičiavimas

Lopitalio autoriteto pakelimas

Pakelsime Lopitalio autoritetą, apskaičiuodami tą pačią ribą per Lopitalio taisyklę ir naudodami kalkuliatorių.

Turime funkciją $y=\operatorname {ch} {\sqrt {x}}$ ir jos išvestinę $y'={\frac {\operatorname {sh} {\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}.$ Apskaičiuosime $\lim _{x\to 0+0}y'(x).$ Pagal Lopitalio taisyklę gauname:

$\lim _{x\to 0+0}{\frac {\operatorname {sh} {\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {(\operatorname {sh} {\sqrt {x}})'}{(2{\sqrt {x}})'}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\operatorname {ch} {\sqrt {x}}}{2\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {1}{2}}\operatorname {ch} {\sqrt {x}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{\sqrt {x}}+e^{-{\sqrt {x}}}}{2}}={\frac {1}{4}}(e^{0}+e^{-0})={\frac {1}{4}}(1+{\frac {1}{e^{0}}})={\frac {1}{2}}.$

Dabar apskaičiuosime tą pačią ribą su Windows 10 kalkuliatorium. Vietoje x parinksime $x=10^{-8}.$ Tada ${\sqrt {x}}={\sqrt {10^{-8}}}=10^{-4}=0.0001.$ Apskaičiuojame

$y'={\frac {\operatorname {sh} {\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}={\frac {\operatorname {sh} (0.0001)}{2\cdot 0.0001}}={\frac {e^{0.0001}-e^{-0.0001}}{2}}\cdot {\frac {1}{0.0002}}={\frac {e^{0.0001}-e^{-0.0001}}{0.0004}}=$

= (2.7182818284590452353602874713527^0.0001 - 1/2.7182818284590452353602874713527^0.0001)/0.0004 =

= 0.50000000083333333375000000009921.

(Šitą eilutę (2.7182818284590452353602874713527^0.0001 - 1/2.7182818284590452353602874713527^0.0001)/0.0004 = įdėjus į Windows 10 kalkuliatoriaus langelį, kur rodo skaičius, gaunamas atsakymas 0.50000000083333333375000000009921.)

Matome, kad kalkuliatoriaus atsakymas labai mažai skiriasi nuo atsakymo, gauto taikant Lopitalio taisyklę. Įstačius x>0 reikšmę dar artimesnę nuliui, gautume dar panašesnį atsakymą į 1/2.

O štai, jeigu vietoje e įrašyti 3, tai gaunamas jau šiek tiek kitoks atsakymas:

(3^0.0001 - 1/3^0.0001)/0.0004 = 0.549306145439028979817702412705.