Aptarimas:Sekos riba

Trisdešimt antro laipsnio šaknies traukimas taikant Niutono metodą (pavyzdyje aptikta klaida)

Juodu šriftu paryškinta yra klaida, bet jau paaiškinta kaip būtų skaičiuota toliau, tai štai pavyzdys su klaida:

• Apskaičiuosime ${\frac {1}{\sqrt[{32}]{z}}}={\frac {1}{\sqrt[{32}]{1.3}}}$ ir rasime kam lygus ${\sqrt[{32}]{1.3}}={\sqrt[{32}]{z}}.$ Prieš tai dar pastebėsime, kad norint apskaičiuoti ${\sqrt[{32}]{z}}$ reikia 5 kartus ištraukti kvadratinę šaknį iš z. Tiksli ${\sqrt[{32}]{1.3}}$ reikšmė yra tokia:

${\sqrt[{32}]{1.3}}=$ 1.0082325861537202021533989768813.

O $y={\frac {1}{\sqrt[{32}]{1.3}}}=$ 0.99183463590963025992221676151568.

Mes paimsime, kad $y_{1}=0.99.$ Tada pagal (5) formulę

$y_{2}={\frac {y_{1}\left(33-zy_{1}^{32}\right)}{32}}={\frac {0.99\left(33-1.3\cdot 0.99^{32}\right)}{32}}=$

= 0.99*(33 - 1.3*0.72498033595785364231768779197961)/32 = 0.99177969711319507382303549411632.

[0.99183463590963025992221676151568 - 0.99177969711319507382303549411632 = 0.00005493879643518609918126739936 $\approx 5.49\cdot 10^{-5}.$]

Toliau pagal (5) formulę rasime $y_{3}$:

$y_{3}={\frac {y_{2}\left(33-zy_{2}^{32}\right)}{32}}=$

= 0.99177969711319507382303549411632*(33 - 1.3*0.99177969711319507382303549411632^32)/32 = 0.99183458572688580323137637227142.

[0.99183463590963025992221676151568-0.99183458572688580323137637227142=0.00000005018274445669084038924426 $\approx 5.018\cdot 10^{-8}.$]

Toliau pagal (5) formulę rasime $y_{4}$:

$y_{4}={\frac {y_{3}\left(33-zy_{3}^{32}\right)}{32}}=$

= 0.99177969711319507382303549411632*(33 - 1.3*0.99183458572688580323137637227142^32)/32 = 0.99177974729312050093908372576028.

(0.99177969711319507382303549411632*(33 - 1.3*0.76922952379474351345468696687987)/32 = 0.99177974729312050093908372576028.)

[0.99183463590963025992221676151568 - 0.99177974729312050093908372576028 = 0.0000548886165097589831330357554 =

$\approx 5.48886\cdot 10^{-5}.$]

Matome, kad po trečios iteracijos y tikslumas pasidarė mažesnis nei po antros iteracijos. Todėl šitas metodas negali pakeisti 5 penkių kartų kvadratinies šaknies traukimą.

O planas buvo apskaičiuoti [po keturių iteracijų] $y_{5}.$ Tada ln(z) užrašyti taip:

$\ln z=\ln 1.3=32\ln 1.3^{1/32}=32\ln(1.0082325861537202021533989768813)=$

= 32ln(1+0.0082325861537202021533989768813), x=0.0082325861537202021533989768813.

Bet toliau [pritaikius gudrybę] skaičiuoti ne taip, o taip:

$32\ln(1.00823258615372020)=-32\ln(1.00823258615372020^{-1})=-32\ln(0.99183463590963025992221676151568)=$

=-32ln(1-0.00816536409036974007778323848432), x=-0.00816536409036974007778323848432.

Kaip matome, čia 0.99183463590963025992221676151568 yra reikšmė, kurią bandėme/norėjome apskaičiuoti taikant Niutono metodą (bet nesigavo). Todėl jei būtų pavykę apskaičiuoti ln(z) (0.7<z<1.4), tai turėtume greitesnį būdą skaičiuoti ln(z) reikšmes, nei jei traukti 5 kartus kvadratinę šaknį iš z.

Na o, kad gauti $z^{1/32}$, tai reikėtų padalinti 1 iš $y_{5}$ ($z^{1/32}=1/y_{5}$). Bet dalybos operacija pati užima nemažai skaičiavimo, todėl skaičiuojant ln(z) panaudotume minėtą gudrybę vietoje dalybos operacijos.

- Paraboloid [2024 Gegužės 15].