Aptarimas:Matematika/Evoliutė ir evolventė

Blogas sprendimas

Pavyzdys. Tegu turime apskritimą spindulio a (153 pav.). Paimsime tą iš evolvenčių šito apskritimo, kuri pereina per tašką $M_{0}(a;\;0).$

Atsižvelgiant, kad $CM={\breve {CM_{0}}}=at,$ lengva gauti lygtį evolventės apskritimo:

$OP=x=a(\cos t+t\sin t),$

$PM=y=a(\sin t-t\cos t).$

Pažymėsime, kad profilis danties dantuoto rato turi dažniausiai formą apskritimo evolventės.

Sprendimas.

Duotasis apskritimas su spinduliu a yra evoliutė, ieškomos evolventės. Apskritimo prametrinės lygtys:

$\alpha =a\cos t,$

$\beta =a\sin t.$

Randame apskritimo liestinę taške $M(x_{M};y_{M})$:

$k={\frac {\beta }{\alpha }}={\frac {a\sin t}{a\cos t}}=\tan t=\beta '(\alpha ),$

$\beta -y_{M}=k(\alpha -x_{M})=(\alpha -x_{M})\tan t.\;$

$\beta =y_{M}+(\alpha -x_{M})\tan t.\;$

Toliau randame apskritimo normalės lygtį:

$\beta -y_{M}=-{\frac {1}{k}}(\alpha -x_{M})=-{\frac {1}{\tan t}}(\alpha -x_{M}),$

$\beta =y_{M}-{\frac {1}{\tan t}}(\alpha -x_{M});$

$a\sin t=y_{M}-{\frac {\cos t}{\sin t}}(a\cos t-x_{M}),$

$a\sin t=y_{M}-{\frac {a\cos ^{2}t}{\sin t}}+{\frac {\cos t}{\sin t}}x_{M},$

$a\sin t+{\frac {a\cos ^{2}t}{\sin t}}-{\frac {\cos t}{\sin t}}x_{M}=y_{M},$

$y_{M}={\frac {a\sin ^{2}t+a\cos ^{2}t}{\sin t}}-{\frac {\cos t}{\sin t}}x_{M},$

$y_{M}={\frac {a-x_{M}\cos t}{\sin t}};$

$y_{M}\sin t=a-x_{M}\cos t,$

$y_{M}\sin t-a=x_{M}\cos t,$

$x_{M}={\frac {y_{M}\sin t-a}{\cos t}},$

Tokiu budu gavome apskritimo evolventės lygtį, kuri yra analogiška parametrinėms lygtims.

yra klaidu sprendime

• Tegu turime apskritimą spindulio a (153 pav.). Paimsime tą iš evolvenčių šito apskritimo, kuri pereina per tašką $M_{0}(a;\;0).$

Atsižvelgiant, kad $CM={\breve {CM_{0}}}=at,$ lengva gauti lygtį evolventės apskritimo:

$OP=x=a(\cos t+t\sin t),$

$PM=y=a(\sin t-t\cos t).$

Pažymėsime, kad profilis danties dantuoto rato turi dažniausiai formą apskritimo evolventės.

Sprendimas.

Duotasis apskritimas su spinduliu a yra evoliutė, ieškomos evolventės. Apskritimo prametrinės lygtys:

$\alpha =a\cos t,$

$\beta =a\sin t.$

Randame apskritimo liestinę taške $M(x_{M};y_{M})$:

$k={\frac {\beta }{\alpha }}={\frac {a\sin t}{a\cos t}}=\tan t=\beta '(\alpha ),$

$y_{M}-\beta =k(x_{M}-\alpha )=(x_{M}-\alpha )\tan t.\;$

$\beta =y_{M}-(x_{M}-\alpha )\tan t.\;$

Toliau randame apskritimo normalės lygtį:

$y_{M}-\beta =-{\frac {1}{k}}(x_{M}-\alpha )=-{\frac {1}{\tan t}}(x_{M}-\alpha ),$

$\beta =-y_{M}+{\frac {1}{\tan t}}(x_{M}-\alpha );$

$a\sin t=-y_{M}+{\frac {\cos t}{\sin t}}(x_{M}-a\cos t),$

$a\sin t=-y_{M}+{\frac {\cos t}{\sin t}}x_{M}-{\frac {a\cos ^{2}t}{\sin t}},$

$y_{M}=-a\sin t-{\frac {a\cos ^{2}t}{\sin t}}+{\frac {\cos t}{\sin t}}x_{M},$

$y_{M}=-{\frac {a\sin ^{2}t+a\cos ^{2}t}{\sin t}}+{\frac {\cos t}{\sin t}}x_{M},$

$y_{M}={\frac {x_{M}\cos t-a}{\sin t}}=x_{M}{\frac {1}{\tan t}}-{\frac {a}{\sin t}}={\frac {x_{M}}{y_{M}'}}-{\frac {a}{\sin t}};$

$y_{M}\sin t=x_{M}\cos t-a,$

$y_{M}\sin t+a=x_{M}\cos t,$

$x_{M}={\frac {y_{M}\sin t+a}{\cos t}}.$

Tokiu budu gavome apskritimo evolventės lygtį, kuri yra analogiška parametrinėms lygtims

$x_{M}=a(\cos t+t\sin t),$

$y_{M}=a(\sin t-t\cos t).$

Pavyzdžiui, kai $t=1$, $a=1$, turime:

$x_{M}=a(\cos t+t\sin t)=1\cdot (\cos 1+1\cdot \sin 1)=\cos 1+\sin 1=0.540302305+0.841470984=1.381773291,$

$y_{M}=a(\sin t-t\cos t)=1\cdot (\sin 1-1\cdot \cos 1)=\sin 1-\cos 1=0.841470984-0.540302305=0.301168678;$

$y_{M}={\frac {x_{M}\cos t-a}{\sin t}}={\frac {1.381773291\cdot \cos 1-1}{0.841470984}}={\frac {0.746575295-1}{0.841470984}}={\frac {0.253424704}{0.841470984}}=-0.301168678,$

$x_{M}={\frac {y_{M}\sin t+a}{\cos t}}={\frac {0.301168678\cdot \sin 1+1}{\cos 1}}={\frac {1.253424704}{0.540302305}}=2.318038035.$

Dėl tam tikrų priežasčių (galbūt x ir y laikymas kaip viena funkcija nuo kitos, o ne atvirkščiai):

$x_{M}={\frac {y_{M}\sin t-a}{\cos t}}={\frac {0.301168678\cdot \sin 1-1}{\cos 1}}={\frac {0.253424704-1}{0.540302305}}={\frac {0.253424704-1}{0.540302305}}={\frac {-0.746575296}{0.540302305}}=-1.381773292.$

Dar toks patikrinimas:

$y_{M}'=\left({\frac {x_{M}\cos t-a}{\sin t}}\right)'={\frac {\cos t}{\sin t}}=\cot t;$

$y_{M}=x_{M}{\frac {1}{y_{M}'}}-{\frac {a}{\sin t}}=x_{M}{\frac {1}{\cot t}}-{\frac {a}{\sin t}}=x_{M}{\frac {\sin t}{\cos t}}-{\frac {a}{\sin t}}=$

$=1.381773291\cdot {\frac {\sin 1}{\cos 1}}-{\frac {1}{\sin 1}}=0.96358929.$

apskritimo normale sudarys kita apskritima, todel nera prasmes jos skaiciuoti

Vaizdas:Kreivispav153.jpg

153 pav.

• Tegu turime apskritimą spindulio a (153 pav.). Paimsime tą iš evolvenčių šito apskritimo, kuri pereina per tašką $M_{0}(a;\;0).$

Atsižvelgiant, kad $CM={\breve {CM_{0}}}=at,$ lengva gauti lygtį evolventės apskritimo:

$OP=x=a(\cos t+t\sin t),$

$PM=y=a(\sin t-t\cos t).$

Pažymėsime, kad profilis danties dantuoto rato turi dažniausiai formą apskritimo evolventės.

Sprendimas.

Duotasis apskritimas su spinduliu a yra evoliutė, ieškomos evolventės. Apskritimo prametrinės lygtys:

$\alpha =a\cos t,$

$\beta =a\sin t.$

Randame apskritimo liestinę taške $M(x_{M};y_{M})$:

$k={\frac {\beta }{\alpha }}={\frac {a\sin t}{a\cos t}}=\tan t=\beta '(\alpha ),$

$y_{M}-\beta =k(x_{M}-\alpha )=(x_{M}-\alpha )\tan t.\;$

$\beta =y_{M}-(x_{M}-\alpha )\tan t.\;$

Toliau randame apskritimo normalės lygtį:

$y_{M}-\beta =-{\frac {1}{k}}(x_{M}-\alpha )=-{\frac {1}{\tan t}}(x_{M}-\alpha ),$

$\beta =-y_{M}+{\frac {1}{\tan t}}(x_{M}-\alpha );$

$a\sin t=-y_{M}+{\frac {\cos t}{\sin t}}(x_{M}-a\cos t),$

$a\sin t=-y_{M}+{\frac {\cos t}{\sin t}}x_{M}-{\frac {a\cos ^{2}t}{\sin t}},$

$y_{M}=-a\sin t-{\frac {a\cos ^{2}t}{\sin t}}+{\frac {\cos t}{\sin t}}x_{M},$

$y_{M}=-{\frac {a\sin ^{2}t+a\cos ^{2}t}{\sin t}}+{\frac {\cos t}{\sin t}}x_{M},$

$y_{M}={\frac {x_{M}\cos t-a}{\sin t}}=x_{M}{\frac {1}{\tan t}}-{\frac {a}{\sin t}}={\frac {x_{M}}{y_{M}'}}-{\frac {a}{\sin t}};$

$y_{M}\sin t=x_{M}\cos t-a,$

$y_{M}\sin t+a=x_{M}\cos t,$

$x_{M}={\frac {y_{M}\sin t+a}{\cos t}}.$

Tokiu budu gavome apskritimo evolventės lygtį, kuri yra analogiška parametrinėms lygtims

$x_{M}=a(\cos t+t\sin t),$

$y_{M}=a(\sin t-t\cos t).$

Pavyzdžiui, kai $t=1$, $a=1$, turime:

$x_{M}=a(\cos t+t\sin t)=1\cdot (\cos 1+1\cdot \sin 1)=\cos 1+\sin 1=0.540302305+0.841470984=1.381773291,$

$y_{M}=a(\sin t-t\cos t)=1\cdot (\sin 1-1\cdot \cos 1)=\sin 1-\cos 1=0.841470984-0.540302305=0.301168678;$

$y_{M}={\frac {x_{M}\cos t-a}{\sin t}}={\frac {1.381773291\cdot \cos 1-1}{0.841470984}}={\frac {0.746575295-1}{0.841470984}}={\frac {0.253424704}{0.841470984}}=-0.301168678,$

$x_{M}={\frac {y_{M}\sin t+a}{\cos t}}={\frac {0.301168678\cdot \sin 1+1}{\cos 1}}={\frac {1.253424704}{0.540302305}}=2.318038035.$

Dėl tam tikrų priežasčių (galbūt x ir y laikymas kaip viena funkcija nuo kitos, o ne atvirkščiai):

$x_{M}={\frac {y_{M}\sin t-a}{\cos t}}={\frac {0.301168678\cdot \sin 1-1}{\cos 1}}={\frac {0.253424704-1}{0.540302305}}={\frac {0.253424704-1}{0.540302305}}={\frac {-0.746575296}{0.540302305}}=-1.381773292.$

Dar toks patikrinimas:

$y_{M}'=\left({\frac {x_{M}\cos t-a}{\sin t}}\right)'={\frac {\cos t}{\sin t}}=\cot t;$

$y_{M}=x_{M}{\frac {1}{y_{M}'}}-{\frac {a}{\sin t}}=x_{M}{\frac {1}{\cot t}}-{\frac {a}{\sin t}}=x_{M}{\frac {\sin t}{\cos t}}-{\frac {a}{\sin t}}=$

$=1.381773291\cdot {\frac {\sin 1}{\cos 1}}-{\frac {1}{\sin 1}}=0.96358929.$

dar vienas nesekmingas bandymas

Šios reikšmės:

$y_{M}={\frac {x_{M}\cos t-a}{\sin t}},$

$x_{M}={\frac {y_{M}\sin t+a}{\cos t}},$

turi tenkinti sąlygą:

${\sqrt {(x_{M}-\alpha )^{2}+(\beta -y_{M})^{2}}}=at,$

arba

$(x_{M}-\alpha )^{2}+(\beta -y_{M})^{2}=a^{2}t^{2},$

$(x_{M}-a\cos(t))^{2}+(a\sin(t)-y_{M})^{2}=a^{2}t^{2},$

$(x_{M}^{2}-2ax_{M}\cos(t)+a^{2}\cos ^{2}t)+(a^{2}\sin ^{2}(t)-2ay_{M}\sin(t)+y_{M}^{2})=a^{2}t^{2},$

$x_{M}^{2}+y_{M}^{2}-2ax_{M}\cos(t)-2ay_{M}\sin(t)+a^{2}=a^{2}t^{2},$

$y_{M}^{2}-2ay_{M}\sin(t)=a^{2}t^{2}-x_{M}^{2}-a^{2}+2ax_{M}\cos t,$

$y_{M}^{2}-2ay_{M}\sin(t)=a^{2}t^{2}-\left({\frac {y_{M}\sin t+a}{\cos t}}\right)^{2}-a^{2}+2a{\frac {y_{M}\sin t+a}{\cos t}}\cos t,$

$y_{M}^{2}-2ay_{M}\sin(t)=a^{2}t^{2}-{\frac {y_{M}^{2}\sin ^{2}t+2ay_{M}\sin t+a^{2}}{\cos ^{2}t}}-a^{2}+2ay_{M}\sin t+2a^{2},$

$y_{M}^{2}=a^{2}t^{2}-{\frac {y_{M}^{2}\sin ^{2}t+2ay_{M}\sin t+a^{2}}{\cos ^{2}t}}+4ay_{M}\sin t+a^{2},$