Aptarimas:Herono formulė

Page contents not supported in other languages.
Iš Wikibooks.

Trikampio erdvėje plotas[keisti]

Išvesime, trikampio erdvėje ploto radimo formulę. Trikampį ABC sudaro taškai , , . Trikampio ABC Kraštinių ilgiai yra:

Iš Herono formulės turime išvedę, kad trikampio ABC plotas yra:
Taigi turime:

Toks trikampis negali būti, nes neatitinka du sprendimo metodai[keisti]

PIRMAS METODAS:
  • Duotas trikampis, kurio pagrindas Kairė trikampio kraštinė yra Dešinė trikampio kraštinė yra
Rasti trikampio sudaryto iš kraštinių a, b, c plotą.
Sprendimas.


ANTRAS METODAS:
  • Duotas trikampis, kurio pagrindas Kairė trikampio kraštinė yra Dešinė trikampio kraštinė yra
Rasti trikampio sudaryto iš kraštinių a, b, c plotą.
Sprendimas.


Pirmas metodas teisingas, o antras metodas neteisingas. Toks trikampis gali būti. Negali būti tik toks trikampis, kurio ilgiausia kraštinė ilgesnė (arba lygi) už dvejų kitų trikampio kraštinių ilgių sumą.

Tinka tik labai ribotam trikampiu asortimentui[keisti]

tinka tik tiems trikampiams, pas kuriuos kampai prie pagrindo vienodi.

Paprastas Herono formulės įrodymas taikant santykius[keisti]

Duotas trikampis, kurio pagrindas yra kraštinė c. Kairė kraštinė yra a. Dešinė kraštinė yra b. Be to,
Į pagrindą c nuleista aukštinė h, kuri dalina pagrindą c į dvi atkarpas ir . Be to,
Akivaizdu, kad TAI NĖRA "AKIVAIZDU", NES TAI YRA NETEISINGA.
Kadangi mes žinome visų trikampio kraštinių ilgius, tai pagal santykį tarp b ir a galime surasti ilgius ir , žinodami kam lygus pagrindo c ilgis.
Taigi randame,
kadangi santykis yra m:1, nes Pavyzdžiui, jei tai santykis b:a=8/5=1.6. Todėl santykis b:a=1.6:1. Taip pat Jei žinome pagrindo c ilgį, tai
Žinodami kam lygi atkarpa arba galime rasti trikampio, sudaryto iš kraštinių a, b, c, plotą. Nes tada galime rasti aukštinę h taikydami Pitagoro teoremą arba Taigi, plotas trikampio, sudaryto iš kraštinių a, b, c yra

Pavyzdžiai[keisti]

  • Duotas trikampis ABC, kurio visos kraštinės lygios Rasti trikampio ABC plotą.
Sprendimas.


  • Duotas trikampis, kurio pagrindas Kairė trikampio kraštinė yra Dešinė trikampio kraštinė yra
Rasti trikampio sudaryto iš kraštinių a, b, c plotą.
Sprendimas.

Ka cia puslapyje bandyta pasakyti[keisti]

a=AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}; b=AC=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2+(z_3-z_1)^2}; c=BC=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2+(z_3-z_2)^2}. a^2=AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2=x_2^2-2 x_2 x_1+x_1^2+y_2^2-2 y_2 y_1+y_1^2+z_2^2-2 z_2 z_1+z_1^2; b^2=AC^2=(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2+(z_3-z_1)^2=x_3^2-2 x_3 x_1+x_1^2+y_3^2-2 y_3 y_1+y_1^2+z_3^2-2 z_3 z_1+z_1^2; c^2=BC^2=(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2+(z_3-z_2)^2=x_3^2-2 x_3 x_2+x_2^2+y_3^2-2 y_3 y_2+y_2^2+z_3^2-2 z_3 z_2+z_2^2. Iš Herono formulės turime išvedę, kad trikampio ABC plotas yra: S_{\Delta ABC}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}. S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{ 4a^2 c^2-(c^2+a^2-b^2)^2}. Taigi turime: S_{\Delta ABC}=\frac{1}{4}\sqrt{2 (a^2 c^2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}= =\frac{1}{4}\sqrt{2 ([(x_2+ b^2 c^2+ a^2 b^2)-c^4-a^4-b^4}= 18

Iš Herono formulės turime išvedę, kad trikampio ABC plotas yra:
Taigi turime:

Ir kitoks Herono formulės pavidalas[keisti]

Herono formulės įrodymas

Turime trikampį ABC ir turime tokias kraštines CB=a, AB=c, AC=b. Iš kampo A nuleidžiame aukštinę h į ilgiausią trikampio kraštinę a, o toje vietoje kur susikerta aukštinė h su kraštine a yra taškas D. Tuomet DB=x ir CD=a-x. Iš pitagoro teoremos žinome, kad

Tuomet iš pirmos lygties įstatome į antrąją lygtį ir gauname:

Randame Trikampio ABC aukšinę:
p=(a+b+c)/2, 2p=(a+b+c), 2p-2a=a+b+c-2a=-a+b+c, 2(p-a)=-a+b+c ir taip pat su kitais.
Dabar galime surasti trikampio plotą:
  • Pavyzdis, kai a=6, h=4, b=5, c=5, tai S=a*h/2=6*4/2=12. O taip pat ir:
  • Pavyzdis. Duotas status trikampis ABC, kurio vienas statinis yra a=3, o kitas statinis yra b=h=4, o įžambinė c=5. Trikampio plotas yra S=a*b/2=3*4/2=12/2=6. Dabar rasime ši plotą per Herono formulę: