Pereiti prie turinio
Labai dažnai, nagrinėjant sekų
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}}
ir
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}}
dalmens
{
x
n
y
n
}
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}}
konvergavimą, praverčia tokia teorema.
Štolco teorema. Sakykime,
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}}
– didėjanti ir neaprėžta seka, o
{
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
}
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}\}}
– konverguojanti seka, kurios riba lygi a. Tada seka
{
x
n
y
n
}
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}}
konverguoja ir turi tą pačią ribą a. Vadinasi ,
lim
n
→
∞
x
n
y
n
=
lim
n
→
∞
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}.}
Įrodymas. Kadangi seka
{
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
}
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}\}}
konverguoja, o jos riba lygi a , tai
{
α
n
}
,
{\displaystyle \{\alpha _{n}\},}
kai
α
n
=
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
−
a
,
{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}-a,}
yra nykstanti seka. Sakykime,
N
¯
{\displaystyle {\overline {N}}}
– bet koks fiksuotas numeris ir
n
>
N
¯
.
{\displaystyle n>{\overline {N}}.}
Naudodamiesi
α
n
{\displaystyle \alpha _{n}}
išraiška, parašome lygybių seriją:
x
N
¯
+
1
−
x
N
¯
=
a
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
+
α
N
¯
+
1
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
,
{\displaystyle x_{{\overline {N}}+1}-x_{\overline {N}}=a(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+\alpha _{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}}),}
x
N
¯
+
2
−
x
N
¯
+
1
=
a
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
+
α
N
¯
+
2
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
,
{\displaystyle x_{{\overline {N}}+2}-x_{{\overline {N}}+1}=a(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+\alpha _{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1}),}
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
{\displaystyle ......................}
x
n
−
1
−
x
n
−
2
=
a
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
+
α
n
−
1
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
,
{\displaystyle x_{n-1}-x_{n-2}=a(y_{n-1}-y_{n-2})+\alpha _{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2}),}
x
n
−
x
n
−
1
=
a
(
y
n
−
y
n
−
1
)
+
α
n
(
y
n
−
y
n
−
1
)
.
{\displaystyle x_{n}-x_{n-1}=a(y_{n}-y_{n-1})+\alpha _{n}(y_{n}-y_{n-1}).}
Sudėję šias lygybes, gauname
x
n
−
x
N
¯
=
a
y
n
−
a
y
N
¯
+
α
N
¯
+
1
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
+
α
N
¯
+
2
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
+
.
.
.
+
α
n
−
1
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
+
α
n
(
y
n
−
y
n
−
1
)
.
{\displaystyle x_{n}-x_{\overline {N}}=ay_{n}-ay_{\overline {N}}+\alpha _{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+\alpha _{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+\alpha _{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+\alpha _{n}(y_{n}-y_{n-1}).}
Kadangi
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}}
– didėjanti neaprėžta seka, tai, pradedant kuriuo nors numeriu, jos elementai yra teigiami. Tarsime, kad
y
n
>
0
,
{\displaystyle y_{n}>0,}
kai
n
≥
N
¯
.
{\displaystyle n\geq {\overline {N}}.}
Tada iš paskutinės lygybės gausime
x
n
y
n
−
a
=
x
N
¯
−
a
y
N
¯
y
n
+
α
N
¯
+
1
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
+
α
N
¯
+
2
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
+
.
.
.
+
α
n
−
1
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
+
α
n
(
y
n
−
y
n
−
1
)
y
n
.
{\displaystyle {\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a={\frac {x_{\overline {N}}-ay_{\overline {N}}}{y_{n}}}+{\frac {\alpha _{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+\alpha _{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+\alpha _{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+\alpha _{n}(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}}.}
Kadangi seka
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}}
didėja, tai skirtumai
y
k
+
1
−
y
k
{\displaystyle y_{k+1}-y_{k}\;}
(
k
=
N
¯
,
N
¯
+
1
,
.
.
.
,
n
−
1
{\displaystyle k={\overline {N}},\;{\overline {N}}+1,\;...,\;n-1}
) yra teigiami. Todėl iš paskutinės lygybės gauname
|
x
n
y
n
−
a
|
≤
|
x
N
¯
−
a
y
N
¯
y
n
|
+
|
α
N
¯
+
1
|
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
+
|
α
N
¯
+
2
|
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
+
.
.
.
+
|
α
n
−
1
|
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
+
|
α
n
|
(
y
n
−
y
n
−
1
)
y
n
.
(
3.8
)
{\displaystyle {\Big |}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a{\Big |}\leq {\Big |}{\frac {x_{\overline {N}}-ay_{\overline {N}}}{y_{n}}}{\Big |}+{\frac {|\alpha _{{\overline {N}}+1}|(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+|\alpha _{{\overline {N}}+2}|(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+|\alpha _{n-1}|(y_{n-1}-y_{n-2})+|\alpha _{n}|(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}}.\quad (3.8)}
Dabar įsitikinsime, kad seka
{
x
n
y
n
}
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}}
konverguoja, o jos riba lygi a . Tuo tikslu pakanka įrodyti, kad kiekvieną teigiamą
ε
{\displaystyle \varepsilon }
atitinka toks numeris N , kad nelygybė
|
x
n
y
n
−
a
|
<
ε
{\displaystyle {\Big |}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a{\Big |}<\varepsilon }
yra teisinga, kai
n
≥
N
.
{\displaystyle n\geq N.}
Pirmiausia pagal duotąjį
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
pasirinksime tokį numerį
N
¯
,
{\displaystyle {\overline {N}},}
kad nelygybė
|
α
n
|
<
ε
2
{\displaystyle |\alpha _{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}
būtų teisinga, kai
n
≥
N
¯
{\displaystyle n\geq {\overline {N}}}
(tai galima padaryti, nes seka
{
α
n
}
{\displaystyle \{\alpha _{n}\}}
nyksta). Toliau taip pasirinksime numerį
N
≥
N
¯
,
{\displaystyle N\geq {\overline {N}},}
kad nelygybė
|
x
N
¯
−
a
y
N
¯
y
n
|
<
ε
2
{\displaystyle {\Big |}{\frac {x_{\overline {N}}-ay_{\overline {N}}}{y_{n}}}{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}\,}
būtų teisinga, kai
n
≥
N
.
{\displaystyle n\geq N.}
Tokį numerį parinkti įmanoma, nes
x
N
¯
−
a
y
N
¯
{\displaystyle \,x_{\overline {N}}-ay_{\overline {N}}\,}
yra fiksuotas skaičius, o seka
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}}
neaprėžtai didėja ir todėl seka
{
x
N
¯
−
a
y
N
¯
y
n
}
{\displaystyle \{{\frac {x_{\overline {N}}-ay_{\overline {N}}}{y_{n}}}\}}
nyksta. Pagaliau tarkime, kad
n
≥
N
.
{\displaystyle n\geq N.}
Tada iš (3.8) nelygybės gausime
|
x
n
y
n
−
a
|
<
ε
2
+
ε
2
⋅
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
+
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
+
.
.
.
+
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
+
(
y
n
−
y
n
−
1
)
y
n
,
{\displaystyle {\Big |}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\cdot {\frac {(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+(y_{n-1}-y_{n-2})+(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}},}
arba
|
x
n
y
n
−
a
|
<
ε
2
+
ε
2
⋅
y
n
−
y
N
¯
y
n
.
{\displaystyle {\Big |}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\cdot {\frac {y_{n}-y_{\overline {N}}}{y_{n}}}.}
Kadangi
y
n
−
y
N
¯
≤
y
n
{\displaystyle y_{n}-y_{\overline {N}}\leq y_{n}}
ir Nepavyko apdoroti (SVG (MathML gali būti įjungtas per naršyklės įskiepį): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle y_n>0, }
kai
n
≥
N
,
{\displaystyle n\geq N,}
tai
y
n
−
y
N
¯
y
n
≤
1.
{\displaystyle {\frac {y_{n}-y_{\overline {N}}}{y_{n}}}\leq 1.}
Todėl iš paskutinės nelygybės, kai
n
≥
N
,
{\displaystyle n\geq N,}
gauname
|
x
n
y
n
−
a
|
<
ε
.
{\displaystyle {\Big |}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a{\Big |}<\varepsilon .}
Teorema įrodyta.
Pastaba. Jei
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}}
yra didėjanti neaprėžta seka, o seka
{
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
}
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}\}}
neaprėžtai didėja ir artėja prie
+
∞
{\displaystyle +\infty }
arba
−
∞
,
{\displaystyle -\infty ,}
tai seka
{
x
n
y
n
}
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}}
neaprėžtai didėja. Sakykime,
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
=
A
n
.
{\displaystyle {\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=A_{n}.}
Tada
{
A
n
}
{\displaystyle \{A_{n}\}}
– neaprėžtai didėjanti seka. Kai
n
>
N
¯
,
{\displaystyle n>{\overline {N}},}
galima parašyti šitokias lygybes:
x
N
¯
+
1
−
x
N
¯
=
A
N
¯
+
1
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
,
{\displaystyle x_{{\overline {N}}+1}-x_{\overline {N}}=A_{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}}),}
x
N
¯
+
2
−
x
N
¯
+
1
=
A
N
¯
+
2
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
,
{\displaystyle x_{{\overline {N}}+2}-x_{{\overline {N}}+1}=A_{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1}),}
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
{\displaystyle ......................}
x
n
−
1
−
x
n
−
2
=
A
n
−
1
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
,
{\displaystyle x_{n-1}-x_{n-2}=A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2}),}
x
n
−
x
n
−
1
=
A
n
(
y
n
−
y
n
−
1
)
.
{\displaystyle x_{n}-x_{n-1}=A_{n}(y_{n}-y_{n-1}).}
Sudėję šias lygybes, gauname
x
n
−
x
N
¯
=
A
N
¯
+
1
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
+
A
N
¯
+
2
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
+
.
.
.
+
A
n
−
1
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
+
A
n
(
y
n
−
y
n
−
1
)
.
{\displaystyle x_{n}-x_{\overline {N}}=A_{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+A_{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+A_{n}(y_{n}-y_{n-1}).}
Iš čia
x
n
y
n
=
A
N
¯
+
1
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
+
A
N
¯
+
2
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
+
.
.
.
+
A
n
−
1
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
+
A
n
(
y
n
−
y
n
−
1
)
y
n
+
x
N
¯
y
n
.
{\displaystyle {\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {A_{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+A_{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+A_{n}(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}}+{\frac {x_{\overline {N}}}{y_{n}}}.}
Iš paskutinės lygybės gauname
|
x
n
y
n
|
≥
|
A
N
¯
+
1
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
+
A
N
¯
+
2
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
+
.
.
.
+
A
n
−
1
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
+
A
n
(
y
n
−
y
n
−
1
)
y
n
|
−
|
x
N
¯
y
n
|
.
(
3.9
)
{\displaystyle \left|{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right|\geq \left|{\frac {A_{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+A_{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+A_{n}(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}}\right|-\left|{\frac {x_{\overline {N}}}{y_{n}}}\right|.\quad (3.9)}
Sekų
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}}
ir
{
A
n
}
{\displaystyle \{A_{n}\}}
elementus, kad būtų konkrečiau, laikysime teigiamais, kai
n
≥
N
¯
.
{\displaystyle n\geq {\overline {N}}.}
Paskui pagal duotą teigiamą skaičių A pasirinkime tokį numerį
N
¯
,
{\displaystyle {\overline {N}},}
kad nelygybė
A
n
>
4
A
{\displaystyle A_{n}>4A}
būtų teisingai, kai
n
≥
N
¯
,
{\displaystyle n\geq {\overline {N}},}
po to rasime tokį
N
≥
N
¯
,
{\displaystyle N\geq {\overline {N}},}
kad nelygybės
|
x
N
¯
y
n
|
<
A
,
y
N
¯
y
n
<
1
2
{\displaystyle \left|{\frac {x_{\overline {N}}}{y_{n}}}\right|<A,\quad {\frac {y_{\overline {N}}}{y_{n}}}<{\frac {1}{2}}}
būtų teisingos, kai
n
≥
N
.
{\displaystyle n\geq N.}
Tokį N surasti galima, nes sekos
{
A
n
}
{\displaystyle \{A_{n}\}}
ir
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}}
neaprėžtai didėja, o jų nariai, pradedant kuriuo nors numeriu, yra teigiami. Savaime aišku, iš (3.9) nelygybės, kai
n
≥
N
,
{\displaystyle n\geq N,}
gauname
|
x
n
y
n
|
>
4
A
⋅
(
y
N
¯
+
1
−
y
N
¯
)
+
(
y
N
¯
+
2
−
y
N
¯
+
1
)
+
.
.
.
+
(
y
n
−
1
−
y
n
−
2
)
+
(
y
n
−
y
n
−
1
)
y
n
−
|
x
N
¯
y
n
|
,
{\displaystyle \left|{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right|>4A\cdot {\frac {(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+(y_{n-1}-y_{n-2})+(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}}-\left|{\frac {x_{\overline {N}}}{y_{n}}}\right|,}
arba
|
x
n
y
n
|
>
4
A
⋅
(
1
−
y
N
¯
y
n
)
−
A
>
A
.
{\displaystyle \left|{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right|>4A\cdot \left(1-{\frac {y_{\overline {N}}}{y_{n}}}\right)-A>A.}
Vadinasi,
{
x
n
y
n
}
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}}
– neaprėžtai didėjanti seka.
Išnagrinėsime keletą pavyzdžių.
1
∘
.
{\displaystyle 1^{\circ }.}
Įrodysime, kad seka
{
a
1
+
a
2
+
.
.
.
+
a
n
n
}
,
{\displaystyle \{{\frac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}\},}
sudaryta iš sekos
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
elementų aritmetinių vidurkių, konverguoja ir turi ribą a , jei pati seka
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
konverguoja ir turi ribą a (šį teiginį įrodė Koši). Iš tikrųjų, jei tarsime, kad
a
1
+
a
2
+
.
.
.
+
a
n
=
x
n
,
y
n
=
n
,
{\displaystyle \;a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=x_{n},\;\;\;y_{n}=n,\;}
tai gausime
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
=
(
a
1
+
a
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
+
a
n
)
−
(
a
1
+
a
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
)
n
−
(
n
−
1
)
=
a
n
.
{\displaystyle {\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}={\frac {(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})}{n-(n-1)}}=a_{n}.}
Kadangi
lim
n
→
∞
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}}
egzistuoja, tai pagal Štolco teoremą
lim
n
→
∞
a
1
+
a
2
+
.
.
.
+
a
n
n
=
lim
n
→
∞
a
n
=
a
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }a_{n}=a.}
2
∘
.
{\displaystyle 2^{\circ }.}
Išnagrinėsime seką
{
a
n
}
,
{\displaystyle \{a_{n}\},}
kai
a
n
=
1
k
+
2
k
+
.
.
.
+
n
k
n
k
+
1
.
{\displaystyle a_{n}={\frac {1^{k}+2^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}}.}
o k – natūralusis skaičius.
Sumą
1
k
+
2
k
+
.
.
.
+
n
k
{\displaystyle 1^{k}+2^{k}+...+n^{k}}
pažymėkime
x
n
,
{\displaystyle x_{n},}
o laipsnį
n
k
+
1
{\displaystyle n^{k+1}}
– simboliu
y
n
.
{\displaystyle y_{n}.}
Tada seka
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
yra dviejų sekų dalmuo
{
x
n
y
n
}
.
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}.}
Ištrisime, ar konverguoja seka
{
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
}
.
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}\}.}
Kadangi
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
=
n
k
n
k
+
1
−
(
n
−
1
)
k
+
1
=
n
k
(
k
+
1
)
n
k
−
(
k
+
1
)
k
2
n
k
−
1
+
.
.
.
+
(
−
1
)
k
+
1
,
{\displaystyle {\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}={\frac {n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}}={\frac {n^{k}}{(k+1)n^{k}-{\frac {(k+1)k}{2}}n^{k-1}+...+(-1)^{k+1}}},}
tai paskutinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliję iš
n
k
,
{\displaystyle n^{k},}
gauname
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
=
1
k
+
1
+
1
n
[
.
.
.
]
.
{\displaystyle {\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}={\frac {1}{k+1+{\frac {1}{n}}[...]}}.}
Čia laužtiniuose skliaustuose neparašytas reiškinys, kurio riba, kai
n
→
∞
,
{\displaystyle n\to \infty ,}
lygi
−
(
k
+
1
)
k
2
.
{\displaystyle -{\frac {(k+1)k}{2}}.}
Todėl iš paskutinės lygybės gauname
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
=
1
k
+
1
.
{\displaystyle {\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}={\frac {1}{k+1}}.}
Vadinasi, remiantis Štolco teorema, galima rašyti
lim
n
→
∞
1
k
+
2
k
+
.
.
.
+
n
k
n
k
+
1
=
1
k
+
1
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1^{k}+2^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}}={\frac {1}{k+1}}.}
3
∘
.
{\displaystyle 3^{\circ }.}
Išnagrinėsime seką
{
a
n
n
}
,
{\displaystyle \{{\frac {a^{n}}{n}}\},}
kai
a
>
1.
{\displaystyle a>1.}
Jei
a
n
=
x
n
,
{\displaystyle a^{n}=x_{n},}
o
n
=
y
n
,
{\displaystyle n=y_{n},}
tai tirdami seką
{
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
}
,
{\displaystyle \{{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}\},}
gauname
lim
n
→
∞
x
n
−
x
n
−
1
y
n
−
y
n
−
1
=
lim
n
→
∞
(
a
n
−
a
n
−
1
)
=
lim
n
→
∞
a
n
(
1
−
1
a
)
=
+
∞
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=\lim _{n\to \infty }(a^{n}-a^{n-1})=\lim _{n\to \infty }a^{n}\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=+\infty .}
Vadinasi, pagal pastabą, pateiktą po Štolco teoremos,
lim
n
→
∞
a
n
n
=
+
∞
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a^{n}}{n}}=+\infty .}