Štolco teorema

Labai dažnai, nagrinėjant sekų $\{x_{n}\}$ ir $\{y_{n}\}$ dalmens $\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}$ konvergavimą, praverčia tokia teorema.

Štolco teorema. Sakykime, $\{y_{n}\}$ – didėjanti ir neaprėžta seka, o $\{{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}\}$ – konverguojanti seka, kurios riba lygi a. Tada seka $\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}$ konverguoja ir turi tą pačią ribą a. Vadinasi,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}.$

Įrodymas. Kadangi seka $\{{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}\}$ konverguoja, o jos riba lygi a, tai $\{\alpha _{n}\},$ kai $\alpha _{n}={\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}-a,$ yra nykstanti seka. Sakykime, ${\overline {N}}$ – bet koks fiksuotas numeris ir $n>{\overline {N}}.$ Naudodamiesi $\alpha _{n}$ išraiška, parašome lygybių seriją:

$x_{{\overline {N}}+1}-x_{\overline {N}}=a(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+\alpha _{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}}),$

$x_{{\overline {N}}+2}-x_{{\overline {N}}+1}=a(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+\alpha _{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1}),$

$......................$

$x_{n-1}-x_{n-2}=a(y_{n-1}-y_{n-2})+\alpha _{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2}),$

$x_{n}-x_{n-1}=a(y_{n}-y_{n-1})+\alpha _{n}(y_{n}-y_{n-1}).$

Sudėję šias lygybes, gauname

$x_{n}-x_{\overline {N}}=ay_{n}-ay_{\overline {N}}+\alpha _{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+\alpha _{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+\alpha _{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+\alpha _{n}(y_{n}-y_{n-1}).$

Kadangi $\{y_{n}\}$ – didėjanti neaprėžta seka, tai, pradedant kuriuo nors numeriu, jos elementai yra teigiami. Tarsime, kad $y_{n}>0,$ kai $n\geq {\overline {N}}.$ Tada iš paskutinės lygybės gausime

${\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a={\frac {x_{\overline {N}}-ay_{\overline {N}}}{y_{n}}}+{\frac {\alpha _{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+\alpha _{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+\alpha _{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+\alpha _{n}(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}}.$

Kadangi seka $\{y_{n}\}$ didėja, tai skirtumai $y_{k+1}-y_{k}\;$ ($k={\overline {N}},\;{\overline {N}}+1,\;...,\;n-1$) yra teigiami. Todėl iš paskutinės lygybės gauname

${\Big |}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a{\Big |}\leq {\Big |}{\frac {x_{\overline {N}}-ay_{\overline {N}}}{y_{n}}}{\Big |}+{\frac {|\alpha _{{\overline {N}}+1}|(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+|\alpha _{{\overline {N}}+2}|(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+|\alpha _{n-1}|(y_{n-1}-y_{n-2})+|\alpha _{n}|(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}}.\quad (3.8)$

Dabar įsitikinsime, kad seka $\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}$ konverguoja, o jos riba lygi a. Tuo tikslu pakanka įrodyti, kad kiekvieną teigiamą $\varepsilon$ atitinka toks numeris N, kad nelygybė ${\Big |}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a{\Big |}<\varepsilon$ yra teisinga, kai $n\geq N.$ Pirmiausia pagal duotąjį $\varepsilon >0$ pasirinksime tokį numerį ${\overline {N}},$ kad nelygybė $|\alpha _{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ būtų teisinga, kai $n\geq {\overline {N}}$ (tai galima padaryti, nes seka $\{\alpha _{n}\}$ nyksta). Toliau taip pasirinksime numerį $N\geq {\overline {N}},$ kad nelygybė ${\Big |}{\frac {x_{\overline {N}}-ay_{\overline {N}}}{y_{n}}}{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}\,$ būtų teisinga, kai $n\geq N.$ Tokį numerį parinkti įmanoma, nes $\,x_{\overline {N}}-ay_{\overline {N}}\,$ yra fiksuotas skaičius, o seka $\{y_{n}\}$ neaprėžtai didėja ir todėl seka $\{{\frac {x_{\overline {N}}-ay_{\overline {N}}}{y_{n}}}\}$ nyksta. Pagaliau tarkime, kad $n\geq N.$ Tada iš (3.8) nelygybės gausime

${\Big |}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\cdot {\frac {(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+(y_{n-1}-y_{n-2})+(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}},$

arba

${\Big |}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\cdot {\frac {y_{n}-y_{\overline {N}}}{y_{n}}}.$

Kadangi $y_{n}-y_{\overline {N}}\leq y_{n}$ ir $y_{n}>0,$ kai $n\geq N,$ tai ${\frac {y_{n}-y_{\overline {N}}}{y_{n}}}\leq 1.$ Todėl iš paskutinės nelygybės, kai $n\geq N,$ gauname

${\Big |}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}-a{\Big |}<\varepsilon .$

Teorema įrodyta.

Pastaba. Jei $\{y_{n}\}$ yra didėjanti neaprėžta seka, o seka $\{{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}\}$ neaprėžtai didėja ir artėja prie $+\infty$ arba $-\infty ,$ tai seka $\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}$ neaprėžtai didėja. Sakykime,

${\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=A_{n}.$

Tada $\{A_{n}\}$ – neaprėžtai didėjanti seka. Kai $n>{\overline {N}},$ galima parašyti šitokias lygybes:

$x_{{\overline {N}}+1}-x_{\overline {N}}=A_{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}}),$

$x_{{\overline {N}}+2}-x_{{\overline {N}}+1}=A_{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1}),$

$......................$

$x_{n-1}-x_{n-2}=A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2}),$

$x_{n}-x_{n-1}=A_{n}(y_{n}-y_{n-1}).$

Sudėję šias lygybes, gauname

$x_{n}-x_{\overline {N}}=A_{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+A_{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+A_{n}(y_{n}-y_{n-1}).$

Iš čia

${\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {A_{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+A_{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+A_{n}(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}}+{\frac {x_{\overline {N}}}{y_{n}}}.$

Iš paskutinės lygybės gauname

$\left|{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right|\geq \left|{\frac {A_{{\overline {N}}+1}(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+A_{{\overline {N}}+2}(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+A_{n}(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}}\right|-\left|{\frac {x_{\overline {N}}}{y_{n}}}\right|.\quad (3.9)$

Sekų $\{y_{n}\}$ ir $\{A_{n}\}$ elementus, kad būtų konkrečiau, laikysime teigiamais, kai $n\geq {\overline {N}}.$ Paskui pagal duotą teigiamą skaičių A pasirinkime tokį numerį ${\overline {N}},$ kad nelygybė $A_{n}>4A$ būtų teisingai, kai $n\geq {\overline {N}},$ po to rasime tokį $N\geq {\overline {N}},$ kad nelygybės

$\left|{\frac {x_{\overline {N}}}{y_{n}}}\right|<A,\quad {\frac {y_{\overline {N}}}{y_{n}}}<{\frac {1}{2}}$

būtų teisingos, kai $n\geq N.$ Tokį N surasti galima, nes sekos $\{A_{n}\}$ ir $\{y_{n}\}$ neaprėžtai didėja, o jų nariai, pradedant kuriuo nors numeriu, yra teigiami. Savaime aišku, iš (3.9) nelygybės, kai $n\geq N,$ gauname

$\left|{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right|>4A\cdot {\frac {(y_{{\overline {N}}+1}-y_{\overline {N}})+(y_{{\overline {N}}+2}-y_{{\overline {N}}+1})+...+(y_{n-1}-y_{n-2})+(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}}}-\left|{\frac {x_{\overline {N}}}{y_{n}}}\right|,$

arba

$\left|{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right|>4A\cdot \left(1-{\frac {y_{\overline {N}}}{y_{n}}}\right)-A>A.$

Vadinasi, $\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}$ – neaprėžtai didėjanti seka.

Išnagrinėsime keletą pavyzdžių.

$1^{\circ }.$ Įrodysime, kad seka $\{{\frac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}\},$ sudaryta iš sekos $\{a_{n}\}$ elementų aritmetinių vidurkių, konverguoja ir turi ribą a, jei pati seka $\{a_{n}\}$ konverguoja ir turi ribą a (šį teiginį įrodė Koši). Iš tikrųjų, jei tarsime, kad $\;a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=x_{n},\;\;\;y_{n}=n,\;$ tai gausime ${\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}={\frac {(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})}{n-(n-1)}}=a_{n}.$ Kadangi $\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}$ egzistuoja, tai pagal Štolco teoremą

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }a_{n}=a.$

$2^{\circ }.$ Išnagrinėsime seką $\{a_{n}\},$ kai

$a_{n}={\frac {1^{k}+2^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}}.$

o k – natūralusis skaičius.

Sumą $1^{k}+2^{k}+...+n^{k}$ pažymėkime $x_{n},$ o laipsnį $n^{k+1}$ – simboliu $y_{n}.$ Tada seka $\{a_{n}\}$ yra dviejų sekų dalmuo $\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}.$ Ištrisime, ar konverguoja seka $\{{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}\}.$ Kadangi

${\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}={\frac {n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}}={\frac {n^{k}}{(k+1)n^{k}-{\frac {(k+1)k}{2}}n^{k-1}+...+(-1)^{k+1}}},$

tai paskutinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliję iš $n^{k},$ gauname

${\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}={\frac {1}{k+1+{\frac {1}{n}}[...]}}.$

Čia laužtiniuose skliaustuose neparašytas reiškinys, kurio riba, kai $n\to \infty ,$ lygi $-{\frac {(k+1)k}{2}}.$ Todėl iš paskutinės lygybės gauname

${\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}={\frac {1}{k+1}}.$

Vadinasi, remiantis Štolco teorema, galima rašyti

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1^{k}+2^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}}={\frac {1}{k+1}}.$

$3^{\circ }.$ Išnagrinėsime seką $\{{\frac {a^{n}}{n}}\},$ kai $a>1.$ Jei $a^{n}=x_{n},$ o $n=y_{n},$ tai tirdami seką $\{{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}\},$ gauname

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=\lim _{n\to \infty }(a^{n}-a^{n-1})=\lim _{n\to \infty }a^{n}\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=+\infty .$

Vadinasi, pagal pastabą, pateiktą po Štolco teoremos,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a^{n}}{n}}=+\infty .$