Sekos riba

3. Monotoninės sekos

1. Monotoninių sekų apibrėžimas.

Apibrėžimas. Seka $\{x_{n}\}$ vadinama nemažėjančia (nedidėjančia), jei kiekvienas tos sekos elementas ne mažesnis (ne didesnis) už pirmesnįjį elementą, t. y., jei su visais numeriais n teisinga nelygybė

$x_{n}\leq x_{n+1}\;\;$ ($x_{n}\geq x_{n+1}$).

Nemažėjančios ir nedidėjančios sekos vadinamos monotoninėmis sekomis. Jei monotoninės sekos $\{x_{n}\}$ elementai su bet kuriuo numeriu n tenkina nelygybę $x_{n}<x_{n+1}\;\;$ ($x_{n}>x_{n+1}$), tai seka $\{x_{n}\}$ vadinama didėjančia (mažėjančia). Didėjančios ir mažėjančios sekos dar vadinamos griežtai monotoninėmis sekomis.

Monotoninės sekos yra aprėžtos arba iš viršaus, arba iš apačios; būtent, nedidėjančios sekos aprėžtos iš viršaus, o nemažėjančios aprėžtos iš apačios pirmaisiais savo elementais. Todėl nedidėjanti seka yra aprėžta iš abiejų pusių, kai ji aprėžta iš apačios, o nemažėjanti seka yra aprėžta iš abiejų pusių, kai ji aprėžta iš viršaus.

Pateiksime tris monotoninių sekų pavyzdžius.

1. Seka $1,\;1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{2}},\;...,\;{\frac {1}{n}},\;{\frac {1}{n}},\;...\;$ nedidėjanti. Ji aprėžta iš viršaus savo pirmuoju elementu, lygiu vienetui, o iš apačios - skaičiumi 0.

2. Seka $1,\;1,\;2,\;2,\;...,\;n,\;n,\;...\;$ nemažėjanti. Ji aprėžta iš apačios savo pirmuoju elementu, o iš viršaus neaprėžta.

3. Seka ${\frac {1}{2}},\;{\frac {2}{3}},\;{\frac {3}{4}},\;...,\;{\frac {n}{n+1}},\;...\;$ didėjanti. Ji aprėžta iš abiejų pusių: iš apačios pirmuoju elementu ${\frac {1}{2}},$ iš viršaus, pavyzdžiui, skaičiumi 1.

2. Monotoninės sekos konvergavimo požymis.

Įrodysime pagrindinę teoremą.

3.15 teorema. Jei nemažėjanti (nedidėjanti) seka $\{x_{n}\}$ aprėžta iš viršaus (iš apačios), tai ji konverguoja.

Pagal praeitą skirsnį seka $\{x_{n}\},$ atitinkanti 3.15 teoremos sąlygas, yra aprėžta. Todėl 3.15 teoremą galima trumpai formuluoti taip: jei monotoninė seka $\{x_{n}\}$ yra aprėžta iš abiejų pusių, tai ji konverguoja.

Įrodymas. Kadangi seka $\{x_{n}\}$ yra aprėžta, tai jos elementų aibė turi tikslųjį viršutinį rėžį ${\overline {x}}$ ir tikslųjį apatinį rėžį ${\underline {x}}.$ Įrodysime štai ką: jei $\{x_{n}\}$ – nemažėjanti seka, tai jos riba yra minėtasis tikslusis viršutinis rėžis; jei $\{x_{n}\}$ – nedidėjanti seka, tai jos riba yra minėtasis tikslusis apatinis rėžis ${\underline {x}}.$ Išnagrinėsime tik nemažėjančią seką, nes samprotavimai apie nedidėjančią seką būtų analogiški.

Kadangi ${\overline {x}}$ yra sekos $\{x_{n}\}$ elementų aibės tikslusis viršutinis rėžis, tai kiekvieną $\varepsilon >0$ atitinka toks elementas $x_{N},$ kad $x_{N}>{\overline {x}}-\varepsilon$ ir $x_{N}\leq {\overline {x}}$ (bet koks elementas $x_{n}$ ne didesnis už tikslųjį viršutinį rėžį ${\overline {x}},$ t. y. $x_{n}\leq {\overline {x}}$). Iš šitų nelygybių gauname nelygybes $0\leq {\overline {x}}-x_{N}<\varepsilon .$ Kadangi $\{x_{n}\}$ – nemažėjanti seka, tai nelygybės $x_{N}\leq x_{n}\leq {\overline {x}}$ yra teisingos, kai $n\geq N.$ Iš to išplaukia, kad $0\leq {\overline {x}}-x_{n}\leq {\overline {x}}-x_{N},\;$ kai $n\geq N.$ Anksčiau pabrėžėme, kad ${\overline {x}}-x_{N}<\varepsilon ,$ todėl, kai $n\geq N,$ teisingos nelygybės $0\leq {\overline {x}}-x_{n}<\varepsilon ,$ iš kurių gauname nelygybę $|x_{n}-{\overline {x}}|<\varepsilon .$ Vadinasi, įsitikinome, kad ${\overline {x}}$ yra sekos $\{x_{n}\}$ riba. Teorema įrodyta.

1 pastaba. Monotoninės sekos aprėžtumas yra būtinas ir pakankamas jos konvergavimo požymis.

Iš tikrųjų, jei monotoninė seka yra aprėžta, tai pagal 3.15 teoremą ji konverguoja; jei monotoninė seka konverguoja, tai, remiantis 3.8 teorema, ji yra aprėžta.

2 pastaba. Konverguojanti seka gali ir nebūti monotoninė. Pavyzdžiui, seka $\{x_{n}\},$ apibrėžta formule $x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}},$ konverguoja, o jos riba yra skaičius 0. Tačiau ši seka nėra monotoninė, nes po teigiamo elemento eina neigiamas, o po neigiamo – teigiamas.

3 pastaba. Jei $\{x_{n}\}$ yra nemažėjanti ir aprėžta seka, o ${\overline {x}}$ – tos sekos riba, tai visi jos elementai tenkina nelygybę $x_{n}\leq {\overline {x}}.$ Nedidėjančios ir aprėžtos sekos $\{x_{n}\},$ konverguojančios į ${\underline {x}},$ elementai tenkina nelygybę ${\underline {x}}\leq x_{n}.$ Kad šie teiginiai teisingi, įsitikinome, įrodinėdami 3.15 teoremą.

3.15 teoremos išvada. Sakykime, duota begalinė segmentų sistema $[a_{1};\;b_{1}],\;[a_{2};\;b_{2}],\;...,\;[a_{n};\;b_{n}],\;...\;$ Jei kiekvienas segmentas yra pirmesniajame*, o skirtumas $b_{n}-a_{n}$ (jį vadinsime segmento $[a_{n};\;b_{n}]$ ilgiu) artėja prie nulio, kai $n\to \infty$ (segmentų sistemą, turinčią šią savybę, vadinsime susitraukiančia), tai egzistuoja vienintelis taškas c, priklausantis visiems tos sistemos segmentams.

Įrodymas. Pirmiausia pastebėsime, kad taškas c, priklausantis visiems segmentams, gali būti tik vienas. Iš tikrųjų, jei būtų dar vienas taškas d, priklausantis visiems segmentams, tai segmentas ** [c; d] priklausytų visiems segmentams $[a_{n};\;b_{n}].$ Bet tokiu atveju su bet kokiu numeriu n būtų teisingos nelygybės $b_{n}-a_{n}\geq d-c>0;$ tai neįmanoma, nes $b_{n}-a_{n}\to 0,$ kai $n\to \infty .$ Dabar įsitikinsime, kad taškas c, priklausantis visiems segmentams $[a_{n};\;b_{n}],$ egzistuoja. Kadangi segmentų sistema yra susitraukianti, tai kairiųjų galų seka $\{a_{n}\}$ yra nemažėjanti, o dešiniųjų galų seka $\{b_{n}\},$ – nedidėjanti. Kadangi abi tos sekos yra aprėžtos (visi sekų $\{a_{n}\}$ ir $\{b_{n}\}$ elementai priklauso segmentui $[a_{1};\;b_{1}]$), tai pagal 3.15 teoremą jos konverguoja. Iš to, kad skirtumas $b_{n}-a_{n}$ nyksta, išplaukia, jog minimosios sekos turi bendrą ribą. Tą ribą žymėkime raide c. Remiantis 3 pastaba, su bet kokiu numeriu n teisingos šios nelygybės: $a_{n}\leq c\leq b_{n},$ t. y. taškas c priklauso visiems segmentams $[a_{n};\;b_{n}].$

_______________

* Tai reiškia, kad $a_{n-1}\leq a_{n}<b_{n}\leq b_{n-1}.$

** Siekdami konkretumo, tariame, kad d > c.

3. Keli konverguojančių monotoninių sekų pavyzdžiai.

Išnagrinėsime kelias sekas, kurių ribas apskaičiuosime, remdamiesi 3.15 teorema apie monotoninės sekos ribą. Be to, šiame skirsnyje susipažinsime su vienu bendru sekos ribos ieškojimo metodu, kai seka apibrėžiama rekurentine formule (Rekurentinė formulė (lot. recurrens – grįžtas) – formulė, pagal kurią $(n+1)$-ąjį sekos elementą galima išreikšti jos pirmųjų n elementų reikšmėmis.).

1 pavyzdys. Tirsime seką $\{x_{n}\},$ kurios elementas $x_{n}$ lygus

$x_{n}={\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {a+...+{\sqrt {a}}}}}}}},\;\;a>0$

(n radikalų). Tą pačią seką galima, savaime aišku, nusakyti šitokia rekurentine formule:

$x_{1}={\sqrt {a}},\quad x_{n}={\sqrt {a+x_{n-1}}}.$

Norėdami įsitikinti, kad sekos $\{x_{n}\}$ riba egzistuoja, įrodysime, jog ta seka yra didėjanti ir aprėžta. Kad ta seka didėja, matyti tiesiog. Įsitikinsime, kad seka $\{x_{n}\}$ aprėžta iš viršaus skaičiumi A, kai A – didedsnysis iš dviejų skaičių a ir 2. Jei $x_{n}\leq a,$ tai teiginys jau įrodytas. Jei $x_{n}>a,$ tai, dešinėje nelygybės $x_{n}^{2}=a+x_{n-1}\leq a+x_{n}\;$ pusėje skaičių a pakeitę didesniu už jį skaičiumi $x_{n},$ gauname $x_{n}^{2}<2x_{n},$ o iš čia $x_{n}<2.$ Taigi įrodėme, kad seka $\{x_{n}\}$ aprėžta iš viršaus. Pagal 3.15 teoremą ta seka turi ribą. Pažymėkime tą ribą raide c. Savaime aišku, $c>0.$ Iš rekurentinės formulės turime lygybę

$x_{n}^{2}=a+x_{n-1},$

iš kurios matyti, kad sekos $\{x_{n}^{2}\}$ ir $\{a+x_{n-1}\}$ sutampa. Todėl jos turi bendrą ribą. Kadangi pirmosios sekos riba lygi $c^{2},$ o antrosios $a+c$ (kai n varo į begalybę skaičiams $x_{n}$ ir $x_{n-1},$ tai $x_{n}$ praktiškai nesiskiria nuo $x_{n-1}$ ir abu yra labai arti c reikšmės (abu labai panašūs į c)), tai $c^{2}=a+c.$ Iš čia, turėdami mintyje, kad $c>0,$ randame c:

$c^{2}=a+c,$

$c^{2}-c-a=0,$

$c_{1,2}={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot (-a)}}}{2}}={\frac {1\pm {\sqrt {1+4a}}}{2}};$

kadangi $c>0,$ tai

$c={\frac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}.$

2 pavyzdys. Tirsime seką $\{x_{n}\},$ kuria dažniausiai naudojamasi, apskaičiuojant teigiamo skaičiaus a kvadratinę šankį elektronine skaičiavimo mašina. Šita seka apibrėžiama tokia rekurentine formule:

$x_{n+1}={\frac {1}{2}}{\Big (}x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}{\Big )},\quad n=1,\;2,\;3,\;...$

Pirmuoju elementu $x_{1}$ čia galima laikyti bet kokį teigiamą skaičių.

Įrodysime, kad ta seka konverguoja, o jos riba yra skaičius ${\sqrt {a}}.$ Pirmiausia įsitikinsime, kad seka $\{x_{n}\}$ turi ribą. Tam užtenka įrodyti, kad seka $\{x_{n}\}$ yra aprėžta iš apačios ir kad, pradedant antruoju elementu, ji nedidėja. Iš pradžių įsitikinsime, kad seka $\{x_{n}\}$ aprėžta iš apačios. Sąlygoje pasakyta, jog $x_{1}>0,$ o iš rekurentinės formulės, kai $n=1,$ gauname $x_{2}>0.$ Taip samprotaudami toliau, įsitikiname, kad visi $x_{n}$ yra teigiami.

Dabar įrodysime, kad visi $x_{n},$ kai $n\geq 2,$ tenkina nelygybę $x_{n}\geq {\sqrt {a}}.$ Parašę rekurentinę formulę šitaip: $x_{n+1}={\frac {\sqrt {a}}{2}}{\Big (}{\frac {x_{n}}{\sqrt {a}}}+{\frac {\sqrt {a}}{x_{n}}}{\Big )},$ remsimės beveik savaime aiškia nelygybe $t+{\frac {1}{t}}\geq 2$*, kuri teisinga, kai $t>0$ (imame $t={\frac {x_{n}}{\sqrt {a}}}$). Gausime

$x_{n+1}={\frac {\sqrt {a}}{2}}{\Big (}{\frac {x_{n}}{\sqrt {a}}}+{\frac {\sqrt {a}}{x_{n}}}{\Big )}\geq {\frac {\sqrt {a}}{2}}\cdot 2={\sqrt {a}},$

kai $n\geq 1,$ t. y. $x_{n}\geq {\sqrt {a}},$ pradedant numeriu $n=2.$

Pagaliau įsitikinsime, kad seka $\{x_{n}\},$ kai $n\geq 2,$ nedidėja. Iš rekurentinės formulės matome, kad ${\frac {x_{n+1}}{x_{n}}}={\frac {1}{2}}{\Big (}1+{\frac {a}{x_{n}^{2}}}{\Big )},$ o iš čia, turėdami mintyje, kad $x_{n}\geq {\sqrt {a}},$ gauname ${\frac {x_{n+1}}{x_{n}}}\leq 1,$ arba $x_{n}\geq x_{n+1}$ (kai $n\geq 2$).

Kadangi seka $\{x_{n}\},$ kai $n\geq 2,$ nedidėja ir yra aprėžta iš apačios skaičiumi ${\sqrt {a}}$ (nes $x_{n}\geq {\sqrt {a}}$), tai ji turi ribą, ne mažesnę kaip ${\sqrt {a}}$ (žr. 3.15 ir 3.13 teoremą). Tą ribą pažymėkime raide c ir atsižvelgę į tai, kad $\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=c,$ o $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}{\Big (}x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}c+{\frac {a}{c}}{\Big )},$ gauname lygybę

$c={\frac {1}{2}}{\Big (}c+{\frac {a}{c}}{\Big )}$**,

$c^{2}={\frac {1}{2}}{\Big (}c^{2}+a{\Big )},$

$2c^{2}=c^{2}+a,$

$2c^{2}-c^{2}=a,$

$c^{2}=a.$

Vadinasi, $c={\sqrt {a}}.$

1 pastaba. Spręsdami pateiktuosius pavyzdžius, naudojomės plačiai taikomu metodu sekos ribai skaičiuoti. Metodo esmė: iš pradžių įsitikinama, kad sekos riba egzistuoja, o paskui iš lygties, kuri gaunama iš rekurentinės formulės, vietoje $x_{n}$ ir $x_{n+1}$ įrašius ieškomąją sekos $\{x_{n}\}$ ribos reikšmę c, apskaičiuojama tos ribos skaitinė reikšmė.

2 pastaba. Rekurentinės formulės dažnai naudojamos skaičiavimo matematikoje, nes jas taikant daug kartų, atliekamos to paties tipo skaičiavimo operacijos, o tai labai patogu skaičiuojant elektroninėmis skaičiavimo mašinomis.

Išnagrinėtoji rekurentinė formulė aprašo, kaip įsitikinome, ${\sqrt {a}}$ skaičiavimo algoritmą (įrodėme, kad $\lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {a}}$).

Vėliau bus tiriamas sekos $\{x_{n}\}$ konvergavimo į ${\sqrt {a}}$ greitis. Įrodoma, kad, tinkamai pasirinkus pirmąjį artinį $x_{1},$ kai $a>1,$ jau ketvirtasis artinys $x_{4}$ nuo skaičiaus ${\sqrt {a}}$ skiriasi mažiau kaip $10^{-10}.$

3 pavyzdys. Įsitikinsime, kad sekos $\{c_{n}\},$ kai $c_{n}={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}},$ o x – bet koks fiksuotas skaičius, riba lygi nuliui. Kai n – pakankamai didelis natūralusis skaičius, ${\frac {|x|}{n+1}}<1.$ Todėl, pradedant kuriuo nors numeriu N, turi būti $|c_{n+1}|<|c_{n}|,$ nes $|c_{n+1}|={\frac {|x|^{n}}{n!}}\cdot {\frac {|x|}{n+1}}=|c_{n}|\cdot {\frac {|x|}{n+1}}.$

Vadinasi, pradedant numeriu N, seka $\{|c_{n}|\}$ mažėja. Kadangi, be to, ji aprėžta iš apačios (pavyzdžiui nuliu), tai pagal 3.15 teoremą seka $\{|c_{n}|\}$ konverguoja. Tarkime, kad c yra tos sekos riba. Iš lygybės $|c_{n+1}|=|c_{n}|\cdot {\frac {|x|}{n+1}}$ išplaukia, kad $c=0,$ nes sekos $\{|c_{n+1}|\}$ riba lygi c, o sekos $\{{\frac {|x|}{n+1}}\}$ – nuliui.

_____________________

* Tą nelygybę įrodinėjant, užtenka pastebėti, kad, kai $t>0,$ ji ekvivalenti nelygybei $t^{2}-2t+1\geq 0.$

** Ta lygybė gaunama iš rekurentinės formulės $x_{n+1}={\frac {1}{2}}{\Big (}x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}{\Big )}.$