Matematika/Lopitalio taisyklė

Iš Wikibooks.

Peršokti į: navigaciją, paiešką

Lopitalio taisyklė (Liopitalio taisyklė) skirta riboms neapibrėžtumo atvejais skaičiuoti, pasiūlyta Gijomo Lopitalio (1661-1704).

Pagrindinė Lopitalio taisyklės esmė yra išvestinės taikymas skaitikliui ir vardikliui atskirai.

I. Neapibrėžtumai \frac{0}{0} ir \frac{\infty}{\infty}

Teorema. Sakykime, kad
1)funkcijos f(x) ir g(x) apibrėžtos ir diferencijuojamos taško x=a aplinkoje;
2) \lim_{ x \to a }f(x)=\lim_{ x \to a }g(x)=0 arba
\lim_{ x \to a }f(x)=\lim_{ x \to a }g(x)=\infty;
3) egzistuoja \lim_{ x \to a }\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Tada
\lim_{ x \to a }\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{ x \to a }\frac{f'(x)}{g'(x)}.


II. Neapibrėžtumas 0\cdot\infty

Šio tipo neapibrėžtumą galima pakeisti neapibrėžtumu \frac{0}{0} arba \frac{\infty}{\infty}. Iš tikrųjų, sakykime, kad

\lim_{ x \to a }f(x)=0, \qquad \lim_{ x \to a }g(x)=\infty.

Kadangi

f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{1/g(x)},

tai

\lim_{ x \to a }f(x)\cdot g(x)= \lim_{ x \to a }\frac{f(x)}{1/g(x)},

ir gauname neapibrėžtumą \frac{0}{0}. Analogiškai galime gauti ir neapibrėžtumą \frac{\infty}{\infty}:

\lim_{ x \to a }f(x)\cdot g(x)= \lim_{ x \to a }\frac{g(x)}{1/f(x)}.

III. Neapibrėžtumas \infty-\infty

Jį galime pakeisti neapibrėžtumu \frac{0}{0}. Sakykime, kad \lim_{ x \to a }f(x)=+\infty ir \lim_{ x \to a }g(x)=+\infty . Tada
\lim_{ x \to a }[f(x)-g(x)]=\lim_{ x \to a }[\frac{1}{1/f(x)}-\frac{1}{1/g(x)}]=\lim_{x \to a}\frac{1/g(x)-1/f(x)}{1/f(x)\cdot 1/g(x)}.

Gavome neapibrėžtumą \frac{0}{0}, kurį skaičiuoti jau mokame.


IV. Neapibrėžtumai 1^{\infty}; 00; \infty^0

Šio tipo neapibrėžtumai pakeičiami neapibrėžtumu 0\cdot\infty remianti tapatybe f(x)φ(x) = eφ(x)lnf(x) (f(x)>0):
\lim_{x \to a}f(x)^{\phi(x)}=\lim_{x \to a}e^{\phi(x)\ln f(x)}=e^{\lim_{x \to a}\phi(x)\ln f(x)}.

Laipsnio rodiklyje turime neapibrėžtumą 0\cdot\infty.

[redaguoti] Pavyzdžiai

  • Apskaičiuosime L=\lim_{x \to \infty}\frac{\ln x}{x^m} (m>0). Neapibrėžtumas \frac{\infty}{\infty}. Taikome I taisyklę:
L=\lim_{x \to \infty}\frac{(\ln x)'}{(x^m)'}=\lim_{x \to \infty}\frac{1/x}{mx^{m-1}}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{mx^m}=0.
  • Apskaičiuosime L=\lim_{x \to +0}x^m\ln x (m>0). Neapibrėžtumas 0\cdot(-\infty). Taikome II taisyklę:
L=\lim_{x \to +0}\frac{\ln x}{x^{-m}}=\lim_{x \to +0}\frac{1/x}{-mx^{-m-1}}=\lim_{x \to +0}\frac{x^m}{-m}=0.
  • Apskaičiuosime L=\lim_{x \to 1}(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}). Neapibrėžtumas \infty-\infty. Pertvarkome pagal III taisyklę ir paskui taikome du kartus I taisyklę:
L=\lim_{x \to 1}\frac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x}=\lim_{x \to 1}\frac{1-1/x}{\ln x+1-1/x}=\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{x\ln x+x-1}=\lim_{x \to 1}\frac{1}{\ln x+x/x+1}=\frac{1}{2}.
  • Apskaičiuosime L=\lim_{x \to 1}(\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}). Neapibrėžtumas \infty-\infty.
L=\lim_{x \to 1}\frac{2-x-1}{x^2-1}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=-\lim_{x \to 1}\frac{1}{x+1}=-\frac{1}{2}.
  • \lim_{x\to 1}\frac{1-x-\ln x}{1-\sqrt{2x-x^2}}=\lim_{x\to 1}\frac{-1+\frac{1}{x}}{-\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}}=-\lim_{x\to 1}\frac{(1-x)\sqrt{2x-x^2}}{(1-x)x}=-1.
  • \lim_{x\to 0}\frac{e^x\cdot \sin x-5x}{4x^2+7x}=(\frac{0}{0})=\lim_{x\to 0}\frac{e^x\cdot \sin x+e^x\cdot \cos x-5}{8x+7}=\frac{0+1-5}{0+7}=-\frac{4}{7}.
  • \lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}}{-\frac{1}{e-x}+1}=\frac{1+1}{1-\frac{1}{e}}=\frac{2e}{e-1}.
  • \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\frac{1}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{6}\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\frac{1}{6}.
  • \lim_{x\to +0}\frac{\ln\tan x}{\ln \tan 2x}=(\frac{-\infty}{-\infty})=\lim_{x\to +0}\frac{\frac{1}{\tan x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{1}{\tan 2x}\cdot\frac{2}{\cos^2 2x}}=\frac{1}{2}\lim_{x\to +0}\frac{\cos^2 2x}{\cos^2 x}\lim_{x\to +0}\frac{\tan^2 2x}{\tan^2 x}=
=\frac{1}{2}\lim_{x\to +0}\frac{2\cdot\frac{1}{\cos^2 2x}}{\frac{1}{\cos^2 x}}=\frac{2}{2}=1.
  • \lim_{x\to 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x})=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x\sin x}=\lim_{x\to 0}(\frac{\sin x}{x}-\frac{x}{x})\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sin x}=(1-1)\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}=0\cdot 1=0.
  • \lim_{x\to a}f(x)^{\phi (x)}=\lim_{x\to a}e^{\phi(x)\ln f(x)}=\lim_{x\to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{1}{x}\ln x}=e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}=e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}}=e^0=1.
  • \lim_{x\to+0}x^x=(0^0)=\lim_{x\to+0}e^{x\ln x}=e^{\lim_{x\to+0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}}=e^{\lim_{x\to+0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}}=e^{-\lim_{x\to+0}x}=e^0=1.
  • \lim_{x\to+0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=(1^{\infty})=\lim_{x\to+0}e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)} =e^{\lim_{x\to+0}\frac{\ln(1+x)}{x}}=e^{\lim_{x\to+0}\frac{1}{1+x}}=e^1=e.
  • \lim_{x\to 1+0}(x-1)^{\ln x}=(0^0)=\lim_{x\to 1+0}e^{\ln x\cdot \ln(x-1)}=e^{\lim_{x\to 1+0}[\ln x\cdot \ln(x-1)]};
\lim_{x\to 1+0}[\ln x\cdot \ln(x-1)]=\lim_{x\to 1+0}\frac{\ln(x-1)}{\frac{1}{\ln x}}=\lim_{x\to 1+0}\frac{\frac{1}{x-1}}{-\frac{1}{x\ln^2 x}}=
=-\lim_{x\to 1}\frac{x\ln^2 x}{x-1}=-\lim_{x\to 1}\frac{\ln^2 x+2x\ln x\cdot\frac{1}{x}}{x-1}=-\lim_{x\to 1}(\ln^2 x+2\ln x)=0; \; e^0=1.
  • \lim_{x\to\infty}\frac{x+\ln x^2}{3x+2}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{2x}{x^2}}{3}=\lim_{x\to\infty}\frac{1 +\frac{2}{x}}{3}=\frac{1}{3}.
  • \lim_{x\to 0}{1-\sin(\pi/2-2x)\over\tan^2(3x)}=\lim_{x\to 0}{2\cos(\pi/2-2x)\over 2\tan(3x)\cdot3/\cos^2(3x)}={1\over 3}\lim_{x\to 0}{\cos^2(3x)\cos(\pi/2-2x)\over \tan(3x)}=

={1\over 3}\lim_{x\to 0}{-2\cos(3x)\sin(3x)3\cos(\pi/2-2x)+\cos^2(3x)\sin(\pi/2-2x)2\over 3/\cos^2(3x)}={1\over 3}\cdot{0+2\over 3}={2\over 9}.

  • \lim_{x\to 0}{1-\sin(\pi/2-2x)\over\tan^2(3x)}=\lim_{x\to 0}{1-\cos(2x)\over\tan^2(3x)}=\lim_{x\to 0}{2\sin^2(x)\over\tan^2(3x)}=2(\lim_{x\to 0}{\sin(x)\over\tan(3x)})^2=

=2(\lim_{x\to 0}{\cos(x)\over 3/\cos^2(3x)})^2=2\cdot({1\over 3})^2={2\over 9}

Gauta iš „http://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Lopitalio_taisykl%C4%97“