Matematika/Iracionaliųjų funkcijų integravimas

Iš Wikibooks.

Peršokti į: navigaciją, paiešką

Šis straipsnis yra apie iracionaliųjų funkcijų integravimą.

  • \int\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}}+1} dx=\int\frac{u^2\cdot 4u^3 du}{u^3+1}=4[\int u^2 du-\int\frac{u^2 du}{u^3+1}]=4[\frac{u^3}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{d(u^3+1)}{u^3+1}]=

=\frac{4}{3}[u^3-\ln(u^3+1)]+C=\frac{4}{3}[x^{\frac{3}{4}}-\ln(x^{\frac{3}{4}}+1)]+C, kur x = u4; dx = 4u3du.

  • \int\frac{x+x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{6}}}{x(1+x^{\frac{1}{3}})}dx =\int\frac{(t^6 +t^4+t)t^5}{t^6(1+t^2)}=6\int\frac{t^5+t^3+1}{t^2+1}dt=6\int t^3 dt+6\int\frac{dt}{t^2+1}=

=\frac{3}{2}t^4+6\arctan t+C=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+6\arctan x^{\frac{1}{6}}+C, kur x = t6; dx = 6t5dt.

  • \int\frac{2}{(2-x)^2}(\frac{2-x}{2+x})^{\frac{1}{3}}dx=-\int\frac{2(1+t^3)^2 t\cdot 12t^2}{16t^6(1+t^3)^2}dt=-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{t^3}=\frac{3}{4t^2}+C=\frac{3}{4}(\frac{2+x}{2-x})^{\frac{2}{3}}+C, kur \frac{2-x}{2+x}=t^3; x=\frac{2-t^3}{1+t^3}; 2-x=\frac{4t^3}{1+t^3}; dx=\frac{-12t^2}{(1+t^3)^2}dt.
  • \int\frac{dx}{((x-1)^3(x+2)^5)^{\frac{1}{4}}}=-\int\frac{(t^4-1)(t^4-1)12t^3 dt}{3\cdot 3t^4 t(t^4-1)^2}=-\frac{4}{3}\int\frac{dt}{t^2}=\frac{4}{3t}+C=\frac{4}{3}(\frac{x-1}{x+2})^{\frac{1}{4}}+C, kur ((x-1)^3(x+2)^5)^{\frac{1}{4}}=(x-1)(x+2)(\frac{x+2}{x-1})^{\frac{1}{4}}; \frac{x+2}{x-1}=t^4; x=\frac{t^4+2}{t^4-1}; x-1=\frac{3}{x^4-1}; x+2=\frac{3t^4}{t^4-1}; dx=\frac{-12t^3}{(t^4-1)^2}dt.
  • \int\frac{1}{(1-x)^2}(\frac{1+x}{1-x})^{\frac{1}{3}}dx=\int\frac{(1+u^3)^2 u\cdot 6u^2}{4(1+u^3)^2}du=\frac{3}{2}\cdot \frac{u^4}{4}+C=\frac{3}{8}\cdot \frac{1+x}{1-x}(\frac{1+x}{1-x})^{\frac{1}{3}}+C, kur \frac{1+x}{1-x}=u^3; x=\frac{u^3-1}{u^3+1}; dx=\frac{6u^2}{(1+u^3)^2}du; 1-x=\frac{2}{1+u^3}.

[redaguoti] Oilerio keitiniai

I. \sqrt{ax^2+bx+c}=u\pm x\sqrt{a}, kai a>0,

II. \sqrt{ax^2+bx+c}=ux\pm \sqrt{c}, kai c>0,

III. \sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)}=u(x-x_1), kur x1 yra bet kuri realioji trinario ax2 + bx + c šaknis.

Pavyzdžiai

  • \int\frac{dx}{\sqrt{5x^2+x+1}};

\sqrt{5x^2+x+1}=u+x\sqrt{5}. Pakėlę šios lygybės abi puses kvadratu, gauname: x+1=u^2+2\sqrt{5}ux;\;x=\frac{u^2-1}{1-2\sqrt{5}u}; dx=d(x+1)=2udu+2\sqrt{5}xdu+2\sqrt{5}udx;\;dx=\frac{2(u+\sqrt{5}x)}{1-2\sqrt{5}u}du.

\int\frac{dx}{\sqrt{5x^2+x+1}}=2\int\frac{(u+\sqrt{5}x)du}{(u+\sqrt{5}x)(1-2\sqrt{5}u)}=2\int\frac{du}{1-2\sqrt{5}u}=-\frac{2}{2\sqrt{5}}\int\frac{d(1-2\sqrt{5})}{1-2\sqrt{5}u}=

=-\frac{\sqrt{5}}{5}\ln|1-2\sqrt{5}u|+C=-\frac{\sqrt{5}}{5}\ln|1-2\sqrt{5}(\sqrt{5x^2+x+1}-\sqrt{5}x)|+C= =-\frac{\sqrt{5}}{5}\ln|1+10x-2\sqrt{25x^2+5x+5}|+C.

  • \int\frac{dx}{\sqrt{1-6x-9x^2}};

\sqrt{1-6x-9x^2}=ux+1. Pakelę abi puses kvadratu, gauname − 6x − 9x2 = u2x2 + 2ux; − 6 − 9x = u2x + 2u. Imdami apiejų lygybės pusių diferencialus, randame: − 9dx = 2uxdu + 2du; dx=\frac{-2(ux+1)}{9+u^2}du. \int\frac{dx}{\sqrt{1-6x-9x^2}}=-2\int\frac{(ux+1)du}{(9+u^2)(ux+1)}=-2\int\frac{du}{9+u^2}=-\frac{2}{3}\arctan\frac{u}{3}+C= =-\frac{2}{3}\arctan\frac{\sqrt{1-6x-9x^2}-1}{3x}+C.

  • \int\frac{dx}{x\sqrt{-x^2+5x-6}}. Pastebėję, kad pošaknio trinario šaknys yra 2 ir 3, taikome keitinį \sqrt{(x-2)(3-x)}=u(x-2). Pakėlę šios lygybės abi puses kvadratu ir suprastinę iš (x − 2), gauname: 3 − x = u2(x − 2); x=\frac{3+2u^2}{1+u^2};\;u=\sqrt{\frac{3-x}{x-2}};\;dx=-\frac{2u(x-2)}{1+u^2}du.

\int\frac{dx}{x\sqrt{-x^2+5x-6}}=-\int\frac{2u(x-2)(1+u^2)du}{(1+u^2)(3+2u^2)u(x-2)}=-2\int\frac{du}{3+2u^2}=-\int\frac{du}{\frac{3}{2}+u^2}= =-\sqrt{\frac{2}{3}}\arctan(\sqrt{\frac{2}{3}}u)+C=-\sqrt{\frac{2}{3}}\arctan\sqrt{\frac{2(3-x)}{3(x-2)}}+C.

  • \int\frac{x\;dx}{\sqrt{(7x-10-x^2)^3}}, kur a < 0, c < 0, todėl taikome III Oilerio keitinį

\sqrt{7x-10-x^2}=\sqrt{(x-2)(5-x)}=(x-2)t. (5 − x) = (x − 2)t2; x=\frac{5+2t^2}{1+t^2}; dx=-\frac{6t\;dt}{(1+t^2)^2}; (x-2)t=(\frac{5+2t^2}{1+t^2}-2)t=\frac{3t}{1+t^2}. \int\frac{x\;dx}{\sqrt{(7x-10-x^2)^3}}=-\int\frac{(5+2t^2)(1+t^2)^3 6t\;dt}{(1+t^2)(3t)^3(1+t^2)^2}=-\frac{6}{27}\int\frac{5+t^2}{t^2}dt=-\frac{2}{9}\int(\frac{5}{t^2}+2)dt= =-\frac{2}{9}(-\frac{5}{t}+2t)+C, kur t=\frac{\sqrt{7x-10-x^2}}{x-2}.

  • \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+3}}. Taikome I Oilerio keitinį \sqrt{x^2+3}=t-x.

x2 + 3 = (t − x)2 = t2 − 2tx + x2; 3 = t2 − 2tx. Diferencijuodami abi puses gauname: 0 = 2tdt − (2xdt + 2tdx); tdx = (t − x)dt; \frac{dx}{t-x}=\frac{dt}{t};\; \frac{dx}{\sqrt{x^2+3}}=\frac{dt}{t}. \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+3}}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln|x+\sqrt{x^2+3}|+C.

[redaguoti] Diferencialinių binomų integravimas

Integralas \int x^m(a+bx^n)^p dx, kur m, n, p - racionalieji skaičiai, vadinamas integralu su binominiu diferencialu. Šį integralą elementariosiomis funkcijomis įmanoma išreikšti tik trimis atvejais:

I. p - sveikasis skaičius. Jei p > 0, tai pointegralinis binomas skleidžiamas pagal Niutono binomo formulę. Jei p < 0, tai keičiame x = tk, kur k - bendras trupmenų m ir n vardiklis.
II. \frac{m+1}{n} - sveikasis skaičius. Keičiame a + bxn = tα, kur α - trupmenos p vardiklis.
III. \frac{m+1}{n}+p - sveikasis skaičius. Keičiame a + bxn = tαxn, kur α - trupmenos p vardiklis.

Pavyzdžiai

  • \int x^{\frac{1}{3}}(2+\sqrt{x})^2 dx=\int x^{\frac{1}{3}}(4+4\sqrt{x}+x)dx=\int (4x^{\frac{1}{3}}+4x^{\frac{5}{6}}+x^{\frac{4}{3}})dx=3x^{\frac{4}{3}}+\frac{24}{11} x^{\frac{11}{6}}+\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}+C,

kur p = 2 - sveikasis skaičius. Turime I atvejį.

  • \int\frac{\sqrt{1+x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}dx=\int x^{-\frac{2}{3}}(1+x^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}dx=\int \sqrt{t^2}6t\;dt=6\int t^2\; dt=2t^3+C=2(1+x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}+C,

kur m=-\frac{2}{3};\;n=\frac{1}{3};\;p=\frac{1}{2};\;\frac{m+1}{n}=1. Turime II atvejį. 1+x^{\frac{1}{3}}=t^2;\;\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}dx=2t\;dt.

  • \int x^{-11}(1+x^4)^{-\frac{1}{2}}dx=-\frac{1}{2}\int(t^2-1)^{\frac{11}{4}}(\frac{t^2}{t^2-1})^{-\frac{1}{2}} \frac{t\; dt}{(1-t^2)^{\frac{5}{4}}}=-\frac{1}{2}\int(t^2-1)^{\frac{11}{4}+\frac{1}{2}-\frac{5}{4}}\frac{t}{t^{\frac{2}{2}}}dt=

=-\frac{1}{2}\int(t^2-1)^2 dt=-\frac{t^5}{10}+\frac{t^3}{3}-\frac{t}{2}+C=-\frac{(1+x^4)^{\frac{5}{2}}}{10x^2}+\frac{(1+x^4)^{\frac{3}{2}}}{3x^2}-\frac{(1+x^4)^{\frac{1}{2}}}{2x^2}+C, kur m = − 11; n = 4; p=-\frac{1}{2};\;\frac{m+1}{n}+p=-3. Turime III atvejį. 1 + x4 = x4t2; x=\frac{1}{(t^2-1)^{\frac{1}{4}}};\;dx=-\frac{t\;dt}{2(t^2-1)^{\frac{5}{4}}};\;t=\frac{\sqrt{1+x^4}}{x^2}.

  • \int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{1+2x^2}}=\int x^3(1+2x^2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{2}\int(\frac{u^2-1}{2})^{\frac{3}{2}}u^{-1}(\frac{u^2-1}{2})^{-\frac{1}{2}}u\;du=\frac{1}{2}\int\frac{u^2-1}{2}du=

=\frac{1}{4}(\frac{u^3}{3}-u)+C=\frac{(1+2x^2)^{\frac{3}{2}}}{12}-\frac{1}{4}(1+2x^2)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{4}\sqrt{1+2x^2}(\frac{1+2x^2}{3}-1)+C= =\frac{1}{6}(x^2-1)\sqrt{1+2x^2}+C, kur \frac{m+1}{n}=\frac{3+1}{2}=2; 1 + 2x2 = u2; x=(\frac{u^2-1}{2})^{-\frac{1}{2}};\;dx=\frac{1}{2}(\frac{u^2-1}{2})^{-\frac{1}{2}}u\;du.

  • \int x^{\frac{1}{3}}(1-x^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}}dx=-3\int(1-t^2)t^{-1}\cdot t\;dt=-3(t-\frac{t^3}{3})+C=-3(\sqrt{1-x^{\frac{2}{3}}}-\frac{\sqrt{(1-x^{\frac{2}{3}})^3}}{3})+C=

=-3\frac{3(1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}-(1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}}{3}+C=-(1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}(3-1+x^{\frac{2}{3}})+C=-(2+x^{\frac{2}{3}})\sqrt{1-x^{\frac{2}{3}}}+C, kur m=\frac{1}{3}; n=\frac{2}{3};\;p=-\frac{1}{2};\;\frac{m+1}{n}=2;\;1-x^{\frac{2}{3}}=t^2;\;-\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}dx=2t\; dt;\;dx=-3x^{\frac{1}{3}} dt;\;x^{\frac{2}{3}}=1-t^2.

Gauta iš „http://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Iracionali%C5%B3j%C5%B3_funkcij%C5%B3_integravimas“