Matematika/Integravimas keičiant kintamąjį

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Integravimas keičiant kintamąjį:

1. Įvedę keitinį $x = φ(t)$ , kur $φ(t)$ - tolydžiai diferencijuojama funkcija, gauname:

$I=\int f(x) dx=\int f[\phi (t)] \phi'(t) dt.$

Suintegrave, grįžtame prie senojo kintamojo.

2. Įvedę keitinį u=g(x), gauname:

$\int g(x) g'(x) dx=\int f(u) du.$

Pavyzdžiai

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int \frac{dx}{a\sqrt{1-x^2 / a^2}}=\int \frac{d(x/a)}{\sqrt{1-(x/a)^2}}=\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C=\arcsin\frac{x}{a}+C.$

$\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\int \frac{dx}{a^2 (1+x^2/a^2)}=\frac{1}{a}\int \frac{d(x/a)}{1+(x/a)^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C.$

$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\int \frac{1}{2a} (\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}) dx =\frac{1}{2a} \int\frac{dx}{x-a}-\frac{1}{2a}\int\frac{dx}{x+a}=$

$=\frac{1}{2a}\int\frac{d(x-a)}{x-a}-\frac{1}{2a}\int\frac{d(x+a)}{x+a}=\frac{1}{2a}\ln|x-a|-\frac{1}{2a}\ln|x+a|+C=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C.$

$\int x\sqrt{1+x^2} dx=\int x\sqrt{1+x^2} \frac{d(1+x^2)}{2x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1+x^2)^{0.5+1}}{0.5+1}+C=\frac{1}{3}\sqrt{(1+x^2)^3}+C,$

kur $d (1 + x 2) = 2 x d x;$ $dx=\frac{d(1+x^2)}{2x}.$

$\int\frac{8}{x^2+4}dx=$ $\int\frac{2dx}{(\frac{x}{2})^2+1}=\int\frac{4d( \frac{x}{2} ) }{(\frac{x}{2})^2+1}= 4\arctan \frac{x}{2},$ kur $d(\frac{x}{2})= \frac{1}{2}dx; \; dx =2d( \frac{x}{2} ).$

$\int\tan^2 x\sec^2 x dx=\int \tan^2 x d(\tan x)=\frac{1}{3}\tan^3+C,$ kur $d (tan x) = sec 2 x d x$ .

$\int 6e^{-2x}dx=6\int e^{-2x}\frac{d(-2x)}{-2}=-3\int e^{-2x}d(-2x)=-3 e^{-2x}+C,$ kur $d ( - 2 x) = - 2 d x;$ $dx=\frac{d(-2x)}{-2}.$

$\int \sqrt{1 - x^2} \; \mathsf{d}x,$

Keitinys: $x = \sin t, \mathsf{d}x = \cos t \; \mathsf{d}t, t = \arcsin x \quad$ ,

$\int \sqrt{1 - \sin^2 t} \; \cos t \; \mathsf{d}t = \int \cos^2 t \; \mathsf{d}t =$

$= \frac{1}{2} \left( \int \mathsf{d}t + \frac{1}{2} \int \cos 2t \; \mathsf{d}(2t) \right) = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C.$

Įstatę pakeistą kintamąjį gauname atsakymą:

$\int \sqrt{1 - x^2} \; \mathsf{d}x = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{\sin (2\arcsin x)}{4} + C.$

Apskaičiuosime $\int \cos (2x) \; dx.$ Šiuo atveju reikia pasirinkti labai paprastą keitinį $d(2x)=2 \; dx,$ todėl $dx=\frac{d(2x)}{2}$ . Pasinaudoję tuo keitiniu, gauname

$\int \cos (2x)= \int \cos (2x) \; \frac{d(2x)}{2} = \frac{1}{2} \sin (2x)+C.$

Apskaičiuosime $\int \frac{dx}{x+a}.$ Kadangi $d x = d (x + a) = 1,$ tai

$\int \frac{dx}{x+a}=\int \frac{d(x+a)}{x+a}=\ln |x+a|+C.$

Apskaičiuosime $\int e^{\cos x} \sin x \; dx.$ Lengva numatyti, kad tas integralas apskaičiuojamas, naudojant keitinį $d(\cos x)=-\sin x \; dx.$ Tuomet $\sin x \; dx =-d(\cos x)$ ir

$\int e^{\cos x} \sin x \; dx=-\int e^{\cos x} \; d(\cos x)= -e^{\cos x}+C.$

Apskaičiuosime $\int \frac{(\arctan x)^{100}}{1+x^2} \; dx.$ Kadangi $d(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2},$ o dx=1, tai reiškinį $\frac{(\arctan x)^{100}}{1+x^2}$ galima perrašyt šitaip $(\arctan x)^{100} \; d(\arctan x).$ Todėl

$\int \frac{(\arctan x)^{100}}{1+x^2} \; dx=\int (\arctan x)^{100} \; d(\arctan x)=\frac{(\arctan x)^{101}}{101}+C.$

Apskaičiuosime $\int (7x-9)^{2999} \; dx.$ Kadangi $d (7 x - 9) = 7 d x,$ tai $dx={d(7x-9)\over 7}.$ Tada

$\int (7x-9)^{2999} \; dx = \int (7x-9)^{2999} \frac{d(7x-9)}{7} =\frac{(7x-9)^{3000}}{21000} +C.$

Apskaičiuosime $\int \frac{dx}{\cos x}.$ Kad būtų lengviau pasirinkti keitinį, integralą užrašysime šitaip:

$\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{\cos x \; dx}{\cos^2 x}=\int \frac{\cos x \; dx}{1-\sin^2 x} .$

Dabar jau aišku, kad reikia imti keitinį

t = s i n x,

d t = c o s x d x .

Tada

$\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{dt}{1-t^2}=\frac{1}{2} \ln |\frac{1+t}{1-t}|+C=\ln | tg \; (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C .$

Apskaičiuosime $\int \frac{x^3 \; dx}{(2x)^8+1}.$ Čia patogus keitinys $t = (2 x) 4$ , $d t = 64 x 3$ dx, nes $((2 x) 4)' = 64 x 3$ . Tada

$\int \frac{x^3 \; dx}{(2x)^8+1}=\frac{1}{64}\int \frac{dt}{t^2+1}=\frac{\arctan t}{64}+C=\frac{\arctan (2x)^4}{64}+C .$

$\int x\sqrt{x-2} dx=\int (2+t^2) t\cdot 2t dt=\int 4t^2+2t^4 dt=\frac{4}{3}t^3+ \frac{2}{5}t^5+C=\frac{4}{3}\sqrt{(x-2)^3}+ \frac{2}{5}\sqrt{(x-2)^5}+C,$

kur $\sqrt{x-2}=t,$ $x - 2 = t 2,$ $d x = d (x - 2) = d (t 2) = 2 t d t,$ $x = 2 + t 2 .$

$\int \frac{\cos x}{\sqrt{1+4\sin x}}dx=\int \frac{t/2}{t}dt=\frac{1}{2}\int dt=\frac{t}{2}+C=\frac{\sqrt{1+4\sin x}}{2}+C,$

kur $\sqrt{1+4\sin x}=t;$ $1 + 4sin x = t 2;$ $4cos x d x = 2 t d t;$ $\cos x dx=\frac{t}{2} dt.$

$\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{3+x}}=\int \frac{(t^2-3)^2\cdot 2t dt}{t}=2\int t^4 dt-12\int t^2 dt+18\int dt=\frac{2t^5}{5}-\frac{12t^3}{3}+18t+C=$

$=\frac{2\sqrt{(3+x)^5}}{5}-4\sqrt{(3+x)^5}+18\sqrt{3+x}+C=\frac{2\sqrt{3+x}}{5}[(3+x)^2-10(3+x)+45]+C=$

$=\frac{2\sqrt{3+x}}{5}(x^2-4x+24)+C,$

kur $\sqrt{3+x}=t;$ $3 + x = t 2;$ dx=2tdt; $x = t 2 - 3.$

$\int (2x+1)^{20} dx=\int (2x+1)^{20} \frac{d(2x+1)}{2}=\frac{(2x+1)^{21}}{42}+C,$

kur $d (2 x + 1) = 2 d x;$ $dx={d(2x+1)\over 2}.$

$\int \frac{(2\ln x+3)^3}{x}dx=\int (2\ln x+3)^3\frac{d(2\ln x+3)}{2}=\frac{1}{8}(2\ln x+3)^4+C,$

kur $d(2\ln x+3)=\frac{2}{x}dx;$ $\frac{dx}{x}=\frac{d(2\ln x+3)}{2}.$

$\int \frac{dx}{\sin x\cdot \cos x}=\int \frac{dx}{\tan x\cdot \cos^2 x}=\int \frac{d(\tan x)}{\tan x}=\ln|\tan x|+C.$
$\int \frac{dx}{1+e^x}=\int \frac{dt}{t(t-1)}=\int \frac{dt}{t-1}-\int \frac{dt}{t}=\ln|t-1|-\ln|t|+C=x-\ln (1+e^x)+C,$

kur $1 + e x = t;$ $e x = t - 1;$ $x = ln(t - 1);$ dx=dt/(t-1).

$\int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{dx}{2\sin (x/2)\cdot \cos(x/2)}=\int \frac{dt}{\sin t\cdot \cos t}=\int \frac{dt}{\tan t\cdot \cos^2 t}=\int \frac{d(\tan t)}{\tan t}=$

$=\ln|\tan t|+C=\ln|\tan\frac{x}{2}|+C,$

kur x/2=t; dx/2=dt; dx=2dt.

$\int \sqrt{a^2-x^2} dx=\int \sqrt{a^2 (1-\cos^2 t)}\cdot (-a\sin t) dt=-a^2 \int \sin^2 t dt=-\frac{a^2}{2} \int (1-\cos (2t)) dt=$

$=-\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\sin (2t)+C=-\frac{a^2}{2}\arccos\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C,$

kur $\sin(2t)=2\sin t\cos t=2\sqrt{1-\cos^2 t}\cdot\cos t=2\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\cdot \frac{x}{a}=\frac{2x}{a^2}\sqrt{a^2-x^2};$ $x = a cos t;$ $t = arccos(x / a);$ $d x = - a sin t d t .$

$\int \frac{x dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{-\frac{1}{2}d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{2}\frac{(1-x^2)^{-0.5+1}}{-0.5+1}+C=-\sqrt{1-x^2}+C,$

kur $d (1 - x 2) = - 2 x d x;$ $x dx=\frac{d(1-x^2)}{-2}.$

$\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\int_0^{\pi /2} \frac{d(\sin x)}{1+\sin^2 x}=\arctan(\sin x)\vert_0^{\pi /2}=\arctan(\sin \frac{\pi}{2})-\arctan(\sin 0)=$

$=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4},$

kur $d (sin x) = cos x d x$ arba $dx=\frac{d(\sin x)}{\cos x}.$

$\int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}dx=\int_1^e \ln^2 x d(\ln x)=\frac{\ln^3 x}{3} \vert_1^e=\frac{\ln^3 e}{3}-\frac{\ln^3 1}{3}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3},$

kur $d(\ln x)=\frac{dx}{x}$ arba $d x = x d (ln x).$

$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}=-\int_0^1\frac{d(1-x)}{\sqrt{1-x}}=-2\sqrt{1-x} \vert_0^1 =-2\sqrt{1-1}+2\sqrt{1-0}=0+2=2,$

kur d(1-x)=-dx; dx=-d(1-x).

$\int \frac{2x dx}{1+x^2}=\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=\ln(1+x^2)+C,$

kur $d (1 + x 2) = 2 x d x;$ $dx=\frac{d(1+x^2)}{2x}.$

$\int \cot x dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int \frac{d(\sin x)}{\sin x}=\ln|\sin x|+C,$

kur $d (sin x) = cos x d x .$

$\int\sin^3 x\cdot \cos x dx=\int \sin^3 x d(\sin x)=\frac{1}{4}\sin^4 x+C,$

kur $d (sin x) = cos x d x .$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}=\int \frac{4 dx}{(4x+1-1)\sqrt{4x+1}}=\int \frac{4 dx}{((\sqrt{4x+1})^2-1)\sqrt{4x+1}}=$

$=\int \frac{4\sqrt{4x+1}d(\sqrt{4x+1})}{2((\sqrt{4x+1})^2-1)\sqrt{4x+1}} =\int \frac{2 d(\sqrt{4x+1})}{(\sqrt{4x+1})^2-1} =-2\int \frac{d(\sqrt{4x+1})}{1-(\sqrt{4x+1})^2}=$

$=-2\tanh^{-1} (\sqrt{4x+1})+C=-\frac{2}{2}\ln(\frac{1+\sqrt{4x+1}}{1-\sqrt{4x+1}})+C=\ln(\frac{1-\sqrt{4x+1}}{1+\sqrt{4x+1}})+C,$ kur $d(\sqrt{4x+1})=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}dx;$ $dx=\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}d(\sqrt{4x+1}).$

$\int \frac{dx}{(a^2-x^2)^{3/2}}=\frac{1}{a^2}\int \frac{dt}{\cos^2 t}=\frac{\tan t}{a^2}+C=\frac{\sin t}{a^2 \sqrt{1-\sin^2 t}}+C=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}+C,$

kur $t=\arcsin\frac{x}{a},$ $x = a sin t,$ $d x = a cos t d t .$

$\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}dx=\int\frac{-d(\cos x)}{\cos^2 x}=-\int (\cos x)^{-2}d(\cos x)=-\frac{(\cos x)^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{1}{\cos x} +C=\sec x+C,$

kur $d (cos x) = - sin x d x;$ $dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.$

$\int\frac{x^2 dx}{(1+x)^4}=\int\frac{(z-1)^2 dz}{z^4}=\int\frac{z^2-2z+1}{z^4}dz=\int\frac{dz}{z^2}-2\int\frac{dz}{z^3}+\int\frac{dz}{z^4}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}-\frac{1}{3z^3}+C,$

kur $1 + x = z;$ $d x = d (1 + x) = d z;$ $x = z - 1.$

$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x}}=\int-\frac{2t}{t}dt=-2\int dt=-2t+C=-2\sqrt{1-x}+C,$ kur $t=\sqrt{1-x};$ $x = 1 - t 2;$ $d x = - 2 t d t .$
$\int\frac{-2x}{(1+x^2)^2}dx=\int\frac{-2x}{(1+x^2)^2}\frac{d(1+x^2)}{2x}=\int\frac{-1}{(1+x^2)^2}d(1+x^2)=-\frac{(1+x^2)^{-2+1}}{-2+1}+C=$

$=\frac{1}{1+x^2}+C,$ kur

d (1 + x 2) = 2 x d x;

$dx=\frac{d(1+x^2)}{2x}.$

$\int\frac{\sin^3 x}{\cos x}dx=\int\frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos x}dx=\int\frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos x}\frac{d(\cos x)}{-\sin x}=-\int\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}d(\cos x)=$

$=-\int\frac{1}{\cos x}-\cos x d(\cos x)=\frac{\cos^2 x}{2}-\ln\cos x+C,$ kur $d (cos x) = - sin x d x;$ $dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.$

$\int\frac{1}{\sin x -1}dx=\frac{\sin x +1}{(\sin x -1)(\sin x +1)}=\int\frac{\sin x +1}{\sin^2 x -1}dx=\int\frac{\sin x +1}{-\cos^2 x}dx=$

$=\int-\frac{\sin x}{\cos^2 x}-\frac{1}{\cos^2 x}dx=-\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\frac{d(\cos x)}{-\sin x}-\int\frac{1}{\cos^2 x}dx=\int\frac{d(\cos x)}{\cos^2 x}-\tan x+C_2=$ $=-\frac{1}{\cos x}-\tan x+C,$ kur $d (cos x) = - sin x d x;$ $dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.$

$\int\frac{x^3}{(x-1)^2}dx=\int {(t+1)^3\over t^2}=\int(t+3+\frac{3}{t}+\frac{1}{t^2})dt=\frac{t^2}{2}+3t+3\ln|t|-\frac{1}{t}+C=$

$=\frac{1}{2}(x-1)^2+3(x-1)+3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C,$ kur $x - 1 = t;$ $x = t + 1;$ $d x = d t .$

$\int{dx\over \sqrt{x^2+a}}=\int{dt\over t}=\ln|t|+C=\ln|\sqrt{x^2+a}+x|+C,$ kur $\sqrt{x^2+a}+x=t; \; dt=(\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}+1)dx; \; dx=\frac{\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}+x}dt.$
$\int{e^x dx\over\sqrt{4-e^{2x}}}=\int{dt\over\sqrt{4-t^2}}=\arcsin{t\over 2}+C=\arcsin{e^x\over 2}+C,$ kur $e x = t;$ $e x d x = d t .$
$\int x\sqrt{6-x^2}dx=\int\sqrt{6-x^2}{d(6-x^2)\over -2}=-{1\over 2}\int{(6-x^2)^{\frac{3}{2}}\over {3\over 2}}+C={1\over 3}(x^2-6)\sqrt{6-x^2}+C,$

$d (6 - x 2) = - 2 x d x;$ $d x = - d (6 - x 2) / 2 x .$

$\int\sqrt{{x+a\over a-x}}dx=-2a\int\sqrt{{a+a\cos(2t)\over a-a\cos(2t)}}\sin(2t)dt=-2a\int\sqrt{{(1+\cos(2t))^2\over 1-\cos^2(2t)}}\sin(2t)dt=$

$=-2a\int\sqrt{{(2\cos^2 t)^2\over \sin^2(2t)}}\sin(2t)dt=-2a\int{2\cos^2 t\over \sin(2t)}\sin(2t)dt=-4a\int\cos^2 t dt=$ $=-4a\int({1\over 2}+{1\over 2}\cos(2t))dt=-2at-2a\int\cos(2t){d(2t)\over 2}=-2at-a\sin(2t)+C=$ $=-2at-a\sqrt{1-\cos^2(2t)}+C=-a[\arccos{x\over a}+\sqrt{1-({x\over a})^2}]+C,$ kur $2t=\arccos{x\over a},$ $x = a cos(2 t),$ $d x = - 2 a sin(2 t) d t,$ d(2t)=2dt.

$\int{dx\over (x^2+a^2)^{3\over 2}}=\int{a\over (a^2\tan^2 t+a^2)^{3\over 2}}{dt\over \cos^2 t}={1\over a^2}\int{1\over ({1\over\cos^2 t})^{3\over 2}}{dt\over \cos^2 t}={1\over a^2}\int\cos^3 t{dt\over \cos^2 t}=$

$={1\over a^2}\int\cos t \;dt={\sin t\over a^2}+C={\tan t\over a^2\sqrt{1+\tan^2 t}}+C={a\tan t\over a^2\sqrt{a^2+a^2\tan^2 t}}+C={x\over a^2\sqrt{a^2+x^2}}+C,$ kur $t=\arctan{x\over a},\;{x\over a}=\tan t,$ $x = a tan t,$ $dx=a{dt\over \cos^2 t}.$

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