Aptarimas:Matematika/Ketvirto laipsnio lygtis

sutapimas tinka tik su vienetais, prie $x^{2}$ parašyt 2 ir jau netinka

• Rasime lygties $x^{4}+x^{2}+x-1=0$ realiąją šaknį.

Turime, kad $2p=1$, $p={\frac {1}{2}},$ $q=1$, $r=-1$.

Turime

$2x=u+v+w$

ir lygčių sistemą

$u^{2}+v^{2}+w^{2}=-4p,$

$u^{2}v^{2}+u^{2}w^{2}+v^{2}w^{2}=4(p^{2}-r),$

$uvw=-q.$

Tada įstatę į lygčių sistemą p, q ir r reikšmes, gauname:

$u^{2}+v^{2}+w^{2}=-4\cdot {\frac {1}{2}}=-2;$

$u^{2}v^{2}+u^{2}w^{2}+v^{2}w^{2}=4(\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}-(-1))=4({\frac {1}{4}}+1)=1+4=5;$

$uvw=-1,\quad u^{2}v^{2}w^{2}=1.$

Sudarome kubinę pagalbinę lygtį, pritaikę Vijeto teoremą:

$y^{3}-(u^{2}+v^{2}+w^{2})y^{2}+(u^{2}v^{2}+u^{2}w^{2}+v^{2}w^{2})y-u^{2}v^{2}w^{2}=0,$

$y^{3}-(-2)y^{2}+5y-1=0,$

$y^{3}+2y^{2}+5y-1=0.$

Iš kubinės lygties kalkuliatoriaus http://easycalculation.com/algebra/cubic-equation.php internete, randame, kad

$y_{1}=0.1850373752486395;$

$y_{2}=-1.0925186876243198+2.0520030453017895i;$

$y_{3}=-1.0925186876243198-2.0520030453017895i.$

Tada:

$2x=y_{1}+y_{2}+y_{3}=0.1850373752486395-1.0925186876243198+2.0520030453017895i-1.0925186876243198-2.0520030453017895i=0.1850373752486395-1.0925186876243198-1.0925186876243198=$

$=0.1850373752486395-2.185037376=-2,$

$x=-1.$

Patikriname įstatę $x=-1$ į lygtį $x^{4}+x^{2}+x-1=0$, tada

$(-1)^{4}+(-1)^{2}+(-1)-1=1+1-1-1=0.$

Tai buvo sutapimas, kad nereikėjo traukti šaknies iš $y_{1}$, $y_{2}$ ir $y_{3}$.

Ne x ten turi but, o w

Lygties

$w^{3}+mx+n=0$

Čia man atrodo vietoje x turi buti w, va taip:

$w^{3}+mw+n=0$