Aptarimas:Gravitacija

Per viena sekunde kunas igija greiti 10 m/s. Po 2 s kunas igija greiti 20 m/s, po 3 s kunas igija greiti 30 m/s, po 4 s igija greiti 40 m/s ir taip toliau. Po 10 sekundziu igija greiti 100 m/s (jei nepaisyt oro pasipriesinimo). Per pirma sekunde vidutinis greitis bus 10/2=5 m/s, reiskia nukris 5 metrus. Per antra sekunde kuno vidutinis greitis bus (20+10)/2=15 m/s, reiskia nukris 15 metru. Per trecia sekunde kuno vidutinis greitis bus (30+20)/2=25 m/s, reiskia nukris 25 metrus. Per ketvirta (visa ketvirta sekunde) sekunde kuno vidutinis greitis bus (30+40)/2=70/2=35 m/s, reiskia kunas nukris 35 m per ketvirta sekunde. Per penkta sekunde kuno vidutinis greitis bus (40+50)/2=45 m/s, reiskia nukris 45 m. Ir taip toliau. Per sesta nukris 55 metrus, per septina sekunde nukris 65 m. Per desimta sekunde nukris 95 metrus. O per visas desimt sekundziu nukris S=5+15+25+35+45+55+65+75+85+95=500 metru. O kiek nukris per 0,5 s ? Koki atstuma nukris po tam tikro kiekio sekundziu galima apskaiciuot taip: S=v*t/2. Cia S yra kelias, v yra greitis, t yra laikas. Tai po 10 sekundziu, greitis bus 100 m/s, o kunas nukris S=v*t/2=100*10/2=500 metru. Po 5 sekundziu kuno greitis bus 50 m/s, o nukris S=v*t/2=50*5/2=250/2=125 m. Ir tai tas pats kas S=5+15+25+35+45=125 m. Po 7 sekundziu kunas nukris S=v*t/2=70*7/2=245 metrus. Ir S=5+15+25+35+45+55+65=245 m. Bet po puses sekundes greitis bus ne 5 m/s, o kazkoks kitoks. O gal ir 5 m/s, bet negaliu garantuot. Na tai jei 5 m/s po puses sekundes tai nukris kunas S=0,5*5/2=2,5/2=1.25 m. Tada po 1/4 sekundes kuno greitis bus 2,5 m/s ir kunas nukris S=0.25*2.5/2=0.3125 metro arba 31,25 cm. Po t=1/8=0.125 sekundes kuno greitis bus v=10/8=1,25 m/s ir kunas nukris S=v*t/2=0.125*1,25/2=0.078125 m arba 7,8125 cm. Po 0,6 s kuno greitis bus 6 m/s, o kunas nukris S=v*t/2=6*0.6/2=1,8 m.

Dabar akmeni i virsu meta [1,25 m ugio] vaikas 10 m/s greiciu. Ir akmeni i virsu meta nezinomo ugio gigantas greiciu 100 m/s. Praejus pirmai sekundei vaiko akmuo i virsu nuskrenda 10 m, bet del gravitacijos nukrenta 5 m, nes (10+0)/2=5 m/s vidutinis greitis kritimo per pirma sekunde. Laiko momentu 1,1 s akmuo jau i virsu nebekyla, nes greitis kritimo jau bus 11 m/s, o kilimo i virsu tik 10 m/s, todel lygiai po pirmos sekundes akmuo sustoja. Ir atstuma akmuo nuskrenda i virsu 10-5=5 m. Taigi vaikas ismete akmeni i 5 metru auksti sviesdamas 10 m/s greiciu ji tiesiai i virsu. Dabar giganto akmuo skrenda 100 m/s i virsu, o po pirmos sekundes jis nukrenta 5 metrus, reiskia po pirmos skundes giganto akmuo nukeliauja i virus 100-5=95 m. Per antra sekunde giganto akmuo nukeliauja 100-15=85 m. Per trecia sekunde giganto akmuo nukeliauja 100-25=75 m. Per ketvirta sekunde 100-(40+30)/2=100-35=65 m ir taip toliau, kol per desimta sekunde akmuo nukeliauja 100-(100+90)/2=100-95=5 metrus. Taigi skaiciavimo formule koki auksti pasieks akmuo, kol pasieks sustojima tokia pati kaip ir formule S=t*v/2=10*100/2=500 metru. Taigi akmuo [sviestas 100 m/s greiciu i virsu] sustos kai pasieks 500 metru auksti. Per 11 sekundes akmens kritimo greitis bus 110 m/s, o kilimo tik 100 m/s, todel akmuo tik nukris 100-(100+110)/2=100-105=-5 m, reiskia akmuo per vienuolikta sekunde nukris 5 metrus. Iskart po desimtos sekundes, tarkim 10,1 s prades krist, nes greitis bus 101 m/s, todel 100-(101+100)/2=100-100,5=-0,5 m akmuo nukris zemyn po 100,1 s. Tai reiskia, kad vaiko akmuo mestas i virsu 10 m/s pakils ir sustos po 1 sekundes 5 metru aukstyje. O giganto akmuo mestas i virsu 100 m/s greiciu pakils i 500 metru auksti ir sustos po 10 sekundziu. O Po dvieju sekundziu vaiko akmuo nukris i ta auksti is kurio buvo mestas. Ir Po 20 skundziu giganto akmuo nukris iki to aukscio is kurio buvo mestas (rankos atsilietimo nuo akmens aukstis). giganto akmuo greiti pasieks 100/10=10 kartu didesni. Laika uztruks giganto akmuo 10/1=10 kart ilgesni. Auksti giganto akmuo pasieks 500/5=100 kart didesni negu vaiko akmuo. Vaikas ir gigantas akmenį meta iš duobės taip, kad akmuo pradeda skristi be rankos lietimo iš 0 metrų auksčio (giganto duobe daug gilesnė nei vaiko).

Jeigu kulka bus issauta 350 m/s greiciu horizontaliai, tai yra lygiagreciai zemes pavirsiui is 1,25 metro aukscio, tai ji del kritimo nusileis iki zemes per laika, kuri reikia gauti issprendus lygti is formules S=t*v/2. S=1,25 m, sita zinau. v=t*10. Tai formule pakeisti lygtimi galiu taip 1,25=t*t*10/2; 2,5=t*t*10; 0,25=t*t; 0,5=t. Tai reiskia po 0,5 s kulka nukris (shliuosh) issauta ant zemes. Kulka issauta 350 m/s greiciu jei ant zemes nusileistu po sekundes tai nuskritu 350 metru, bet ji nusileis po puse sekundes tai reiskia nuskris 350/2=175 metrus. Kiek ironiska ar keista, kad i virsu issauta nuskris toliau nei issauta tiesiai, bet tokia tiesa (tiesiai issauta dar tures dideli slidimo momenta). Oro pasipriesinimas nepaisomas, bet jis atstuma sumazins gal 20-40 metru, t.y iki ~140 m.

Koki auksti pasieks kulka sauta 45 laipsniu kampu, 350 m/s greiciu, jei oro pasipriesinimas nepaisomas? Kulkos kilimo greitis vertikaliai bus 350/2=175 m/s. Kulkos skridimo horizontaliai greitis bus irgi 175 m/s. Kulka pasieks maksimalu auksti po 17,5 s. Kulka nukris ant zemes po 17,5*2=35 s. Kulka pasieks auksti S=t*v/2=17.5*175/2=3062,5 m. Kulka nuskries atstuma kol prisilies iki zemes 35*175=6125 m. Nezinau [kol kas] cia sutapimas ar taisykle, kad sauta vertikaliai pasiekia toki pati auksti kaip ir atstuma nuskrenda sauta 45 laipsniu kampu tuo paciu greiciu. Su oro pasipriesinimu nulektu apie 5500 m atstuma. Dabar patikrinsiu ar snaiperio kulka sauta 800 m/s greiciu apie 15 g svorio (tuo tarpu ten kulka buvo apie 3 g svorio) nuskris ta pati atstuma i virsu kaip ir 45 laipsniu kampu sauta. Snaiperio kulka sauta i virsu vertikaliai 800 m/s greiciu pasieks auksti S=t*v/2=80*800/2=64000/2=32000 m = 32 km. Nes is 32000 m aukscio kulka atleista pasieks zeme po 80 s ir pasieks greiti 800 m/s (kulka nuo suvio iki palietimo zeme ore prabus 160 s). Dabar kulka sauta 45 laipnsiu kampu 800 m/s; reiskia vertikaliai kils greiciu 400 m/s, o horizontaliai leks 400 m/s. Maksimalu auksti pasieks po 40 s ir nukris ant zemes po 80 sekundziu. Snaiperio kulka [sauta 45 laipsniu kampu] pasieks auksti S=t*v/2=40*400/2=8000 m. Snaiperio kulka nuleks atstuma 80*400=32000 m. Reiskia ne sutapimas, o taisykle, kad kunas judedamas 45 laipsniu kampu tokiu pat greiciu kaip ir judedamas 90 laipsniu kampu pasieks ta pati atstuma. Tik 90 laipsniu kampu mestas ar sautas kunas pasieks atstuma vertikaliai, o 45 laipsniu kampu pasieks atstuma horizontaliai.

Koki atstuma nuskris snaiperio kulka issauta 800 m/s greiciu ir sauta 5 laipsniu kampu? Kulka kils greiciu 800*5/90=44,44444 m/s. Kulka pakils i maksimalu auksti po 4,4444 s. Kulka pasieks maksimalu auksti S=t*v/2=4.444*44.4444/2=98,7654 m. Kulka nusileis ant zemes po 8,8888 s. Kulka skris horizontaliai greiciu 800*85/90=755.5555 m/s. Kulka nuskries atstuma 755.5555*8.8888=6716 m.

Snaiperio kulka sauta tiesiai is 1.25 m aukscio 800 m/s greiciu jau is ankstesniu skaiciavimu nuskris 400 m ir prabus ore 0,5 s. Koki atstuma nuskris kulka sauta is 1,5 m aukscio tiesiai 800 m/s greiciu? Del gravitacijos kulka nukris po tam tikro laiko. S=t*v/2; v=t*10; S=1.5 m; 1.5=t*v/2; 1.5=t*t*10/2; 3=t*t*10; 0.3=t*t; t=0.5477 s; v=t*10=5.477 m/s. Kulka nuskris atstuma 0.5477*800=438 m.

Atradau buda kaip patikrinti visus mano skaiciavimus apie saunant kulka tam tikrais kampais. Su matlankiu labai tiksliai parinkau 5 laipsniu kampa ir prie 5 laipsniu pazymejau taska. Paskui su liniuote nuo matlankio centro iki tasko prie 5 laipsniu nuvedziau ilga linija. Ta linija padare projekcija Ox asyje. Ox asyje bus kulkos nuskrietas atstumas, bet tik tuo atveju kai kulkos greitis daug didesnis uz gravitacijos kritimo pagreiti, kas kulkai tinka sovus is 1.5 metro, nes tada del gravitacijos vis greitis igaunamas vis tiek tik apie 5.5 m/s (tiksliai bus 1.5=t*v/2=t*t*10/2; 3=t*t*10; 0.3=t*t; 0.5477 m/s; v=5.477 m/s; vidutinis greitis 5.477/2=2.7385 m/s), nes is 1.25 m aukscio atleidus del gravitacijos greitis bus pasiektas prisilietus zeme v=t*10=0.5*10=5 m/s. Akmeniui metant 25 m/s greiciu 5laipsniu kampu zemyn stipriai itakos gravitacija, o kulkai aisku, kad ne. Taigi 1 langelis yra 50 cm. Tai kur ta linija susiduria su auksciu 3 langeliai, ten yra 3*50=150 cm. O projekcijos ilgis nuo to triju langeliu aukstyje esancio tasko ant tos linijos iki matlankio centro (arba susilietimo su Ox asimi) yra 36 langeliai. Reiskia nuskris 36*50=1800 cm= 18 m. Na 18 m ir 25.5 m siek tiek skyriasi, bet cia gal del nelvisai tikslaus braizymo, o gal ir mano skaiciavimai truputi nevisai tikslus, bet kaip jau sakiau kokia tai matrica simuliuot ju pilnai uztenka. 25.5/18=1.416666 karto toliau ne grafiko budu.

Dabar patikrinus dar karta siuos skaiciavimus, imamas kulkos sovimo kampas zemyn 10 laipsniu ir snaiperio kulka saunama is 1,5 m aukscio 800 m/s greiciu. Gravitacija velgi neitakoja beveik nieko (gal 2-20 cm skirtumas arba apie 1%). Reiskia kulka zemyn skrenda greiciu 800*10/90=88,8888 m/s. Kulka atstuma 1.5 metro 88,8888 m/s greiciu nuskris per 1.5/88,8888=0.016875 sekundes. Kulka skris horizontaliai greiciu 800*80/90=711,1111 m/s. Is viso kulka nuskris atstuma kol prisilies iki zemes 0.016875*711.1111=12 m. Su matlankiu padejau taska prie 10 laipsniu ir nubreziau per ta taska (ir matlankio centra arba koordinaciu centra O) ilga linija. Paskui paziurejau nuo Ox asies kur yra 7 langeliai iki susikirtimo su ta linija. Vienas langelis yra X cm. Tada 7 langeliai yra lygu 150 cm. Tada 1 langelis yra 150/7=21.42857 cm. Reiskia X=21.42857 cm. Horizontaliai yra nuo tos stacios 7 langeliu ilgio linijos iki O tasko 38 langeliai. Tai is viso kulka nuskris ilgi 38*21,42857=814,2857 cm=8,142857 m. Na vel 12 m ir 8.1 m sioks toks 12/8.1=1.47 karto skirtumas. Bet kas zino gal vel netikslumai truputi braizyme.

Atradau skaiciavimus, kurie 5 laipsniu kampu sovimui zemyne ir 10 laipsniu kampu sovimui zemyn daug tiklsiau atitinka grafikus. Kulka sauta 800 m/s greiciu 5 laipsniu kampu zemyn is 1.5 m aukscio prisilies zeme po 1.5/v laiko. Kulka skris vertikaliai zemyn greiciu v=800*sin(5)=69.72459 m/s . Kulka nusileis ant zemes po 1.5/69.72459=0.0215132 s. Kulka skris greiciu horizontaliai 800*cos(5)=796.95576 m/s. Kulka nuskris atstuma S=t*v=0.0215132*796.95576=17,145078 m. Daug arciau prie 18 m, o 1 m galetu but netikslumai braizyme. Dabar kulka sauna 800 m/s greiciu 10 laipsniu kampu zemyn is 1.5 m aukscio. Snaiperio kulka skris vertikaliai zemyn greiciu 800*sin(10)=138.91854 m/s. Kulka nusileis ant zemes po 1.5/138.91854=0.01079769 s. Kulka skris horizontaliai greiciu 800*cos(5)=796.95576 m/s. Kulka nuskris atstuma S=t*v=0.01079769*796.95576=8,6052849 m. Grafiskai gavosi 8.14 m, o 0.5 m galetu but netikslumas braizyme.

Dabar kulka sauta is 1.5 m aukscio 800 m/s greiciu 20 laipsniu kampu zemyn. Kulka vertikaliai zemyn skris greiciu 800*sin(20)=273.616 m/s. Kulka nusileis ant zemes po 1.5/273.616=0.005482133 s. Kulka skris greiciu horizontaliai 800*cos(20)=751.7540966 m/s. Kulka nuskris atstuma 751.7540966*0.005482133=4.121216129 m. Grafiskai sprendziant, matlankiu per taska O ir taska prie 20 laipsniu nubreziama ilga linija. Kita linija, kuri kerta sia pasvyra linija su asim Ox sudaro 90 laipsniu kampa ir yra ilgio 14 langeliu. Tu 14 langeliu atitinka 150 cm. Vadinasi 1 langelis yra 150/14=10.7142857 cm. Asis Ox iki susikirtimo su stacia linija [is 14 langeliu] turi 39 langelius. Reiskia kulka nuskris atstuma 39*10.7142857=417.857=4.17857 m. Gana tiksliai. Koki gi atstuma nuskristu skaiciuojant senuoju budu? Kulka vertikaliai skristu zemyn 800*20/90=177,7777 m/s. Kulka paliestu zeme po 1.5/177.7777=0.0084375 s. Kulka skristu horizontaliai 800*70/90=622.2222 m/s. Kulka nuskristu atstuma 622.2222*0.0084375=5.25 m. O skirtumas yra 5.25/4.17857=1.25641 karto toliau.

Dabar snaiperio kulka sauta 800 m/s greiciu is 1.5 metro aukscio, 30 laipsniu kampu zemyn. Kulka vertikaliai zemyn skris greiciu 800*sin(30)=800*0.5=400 m/s. Kulka nusileis ant zemes po 1.5/400=0.00375 s. Kulka skris horizontaliai greiciu 800*cos(30)=800*sin(60)=692.82 m/s. Kulka nuskris atstuma 692.82*0.00375=2.598076 m. Grafiko budu, matlankiu prie 30 laipsniu padedamas taskas ir nuo koordinaciu pradzios tasko O iki padeto tasko breziama ilga linija. Linija tam tikroje vietoje turi iki Ox asies 20 langeliu. Ta 20 langeliu linija toje vietoje kur kertasi su Ox asim atideda taska nuo kurio iki tasko O yra 35 langeliai. 20 langeliu yra kaip 1.5 m. Reiskia vienas langelis yra 1.5/20=0.075 m. Reiskia atstuma kulka nuskris 35*0.075=2.625 m. Ir tai yra labai panasu i sinusu buda. Senuoju budu kulka vertikaliai skris zemyn 800*30/90=266.6666 m/s. Kulka palies zeme po 1.5/266.6666=0.005625 s. Kulka skris horizontaliai greiciu 800*60/90=533.3333 m/s. Kulka nuskris atstuma 533.3333*0.005625=3 m. Senuoju budu nuskris kulka 3/2.625=1.142857 karto toliau.

Dabar kulka sauta 800 m/s greiciu is 1.5 m aukscio, 45 laipsniu kampu zemyn. Kulka vertikaliai zemyn skris greiciu 800*sin(45)=565.6854 m/s. Kulka nusileis ant zemes po 1.5/565.6854=0.00265165 s. Kulka horizontaliai skris greiciu 800*cos(45)=565.6854 m/s. Kulka nuskris atstuma 565.6854*0.00265165=1.49999 m. Dabar grafiko budu nera ka ir skaiciuot, atsakymas bus 1.5 metro. O senuoju budu kulka vertikaliai skris zemyn 800*45/90=400 m/s greiciu. Kulka nusileis po 1.5/400=0.00375 s. Kulka horizontaliai skris irgi 400 m/s greiciu. Kulka nuskris atstuma 400*0.00375=1.5 m.

Tokiu budu metus akmeni 25 m/s greiciu, 30 laipsniu kampu jis nuskris atstuma, kuris bus gautas skaiciuojant sinusu budu. Akmuo kils vertikaliai greiciu 25*sin(30)=25*0.5=12.5 m/s. Toki greiti akmuo igauna nukrites is aukscio po 1.25 s. Reiskia akmuo pakils atstuma S=t*v/2=1.25*12.5/2=7.8125 m. Po 1.25*2=2.5 s akmuo nukris ant zemes. Akmuo skris horizontaliai greiciu 25*cos(30)=21.650635 m/s. Akmuo nuskris atstuma 21.650635*2.5=54.12659 m. Tai reiskia, kad akmuo metamas gerokai mazesniu greiciu. Senuoju budu vertikalus greitis yra 25*30/90=8.3333 m/s. Horizontalus greitis 25*60/90=16.6666 m/s. Akmuo pakila i S=t*v/2=8.3333*0.83333/2=3.472222 m. Akmuo nuskrenda atstuma 16.6666*2*0.83333=27.77777 m.

Su sinusu tikrai teisingu budu apskaiciuosiu koki atstuma nuskris akmuo mestas 45 laipsniu kampu ir 25 m/s greiciu. Akmuo vertikaliai kils greiciu 25*sin(45)=25*0.7071=17.67767 m/s. Akmuo i maksimalu auksti pakils po 1.767767 s. Akmuo nusileis ant zemes po 2*1.767767=3.535534 s. Akmuo horizontaliai tiesiai skris greiciu 25*cos(45)=17.67767 m/s. Akmuo nuskris atsuma 17.67767*3.535534=62.50 m. Senuoju budu tik 31.25 m mestas tuo paciu greiciu ir kampu – dvigubai maziau.

Koki gi atstuma turetu nuskrist snaiperio kulka sauta 45 laipsniu kampu 800 m/s greiciu be oro pasipriesinimo? Kulka vertikaliai kils greiciu 800*sin(45)=565.6854 m/s. Horizontaliai skris tuo paciu greiciu kaip ir vertikaliai. Kulka nustos kilti po 56.56854 s. Kulka pasieks maksimalu auksti S=t*v/2=565.6854*56.56854/2=16000 m= 16 km. Kulka prabus ore 56.56854*2=113.13708 s. Kulka nuskris atstuma 113.13708*565.6854=63999.99 m =64 km. Kulka nuskires atstuma dvigubai didesni nei senuoju budu 400*40*2=32000 m=32 km.

Na tai tikriausiai tada zmogus meta akmeni apie 17 m/s greiciu. Nes tokiu greiciu 45 laipsniu kampu metus akmuo vertikaliai skris greiciu 17*sin(45)=12.0208 m/s. Toks pat ir horizontalus greitis. Akmuo pasieks maksimalu auksti po 1.20208 s. Akmuo pakils i auksti S=t*v/2=1.20208*12.0208/2=7.225 m. Akmuo prabus ore kol nukris ant zemes 1.20208*2=2.404163 s. Akmuo nuskris atstuma 2.404163*12.0208=28.9 m.

Snaiperio kulka sauta 800 m/s greiciu 5 laipsniu kampu i virsu. Kulka skris vertikaliai greiciu 800*sin(5)=69.72459 m/s greiciu. Kulka pasieks maksimalu auksti po 6.972459 s. Kulka is viso bus ore 13.9449 s. Kulka pasieks maksimalu auksti S=t*v/2=13.9449*69.72459/2=972.3 m. Kulka horizontaliai skris greiciu 800*cos(5)=796.95576 m/s. Kulka nuskris atstuma 13.9449*796.95576=11113 m=11.113 km.

galimas daiktas neteisinga $t_{kilimo}={v_{vert} \over g}={\frac {17}{9.8}}=1.734693878\;(s)$

• Akmuo mestas $\alpha =30$ laipsnių kampu v=34 m/s greičiu iš aukščio 0 metrų. Laisvojo kritimo pagreitis yra 9,8 $m/s^{2}$. Rasime atstumą (tiesės ilgį), kuris buvo numestas nuo metimo taško iki akmens nukritimo taško. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

Sprendimas. Iš pradžiu reikia rasti akmens šešėlio greitį (akmens greitį judant vien horizontaliai arba kitaip sakant horizontalios projekcijos greitį) iki to kai akmuo pakils į aukščiausią tašką. Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:

$v_{horiz}=v\cdot \cos \alpha =34\cdot \cos {\frac {\pi }{6}}=34\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}=17{\sqrt {3}}=29.44486373\;(m/s).$

Akmuo kils į viršu greičiu (vertikali greičio projekcija):

$v_{vert}=v\cdot \sin \alpha =34\cdot \sin {\frac {\pi }{6}}=34\cdot {\frac {1}{2}}=17\;(m/s).$

Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:

$t_{kilimo}={v_{vert} \over g}={\frac {17}{9.8}}=1.734693878\;(s).$

Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:

$t=t_{kilimo}+t_{kritimo}=1.734693878+1.734693878=3.469387755\;(s).$

Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį $v_{horiz}=29.44486373\;(m/s),$ tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):

$S=v_{horiz}\cdot t=29.44486373\cdot 3.469387755=102.1556497\;(m).$

Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:

$h=v_{vert}\cdot t_{kilimo}=17\cdot 1.734693878=29.48979593\;(m).$

Po pirmos sekundės akmuo pakils 17 metrų ir nukris 10/2=5 metrus. Per antrą sekundę akmuo pakils 17 metrų ir nukris (10+20)/2=15 metrų. Per trečią sekundę akmuo pakils 17 metrų ir nukris (20+30)/2=25 metrus. Per ketvirtą sekundę akmuo pakils 17 metrų ir nukris (30+40)/2=35 metrus. Per penktą sekundę akmuo pakils 17 metrų ir nukris 45 metrus. Per šeštą sekundę akmuo pakils 17 metrų ir nukris 55 metrus. Dabar reikia sudėti kiek pakils ir kiek nukris, kol nukris daugiau nei pakils... 17*6=102 metrus pakils per 6 sekundes (pakiltų akmuo 102 metrus po 6 sekundžių, jei nebūtų gravitacijos). Dabar reikia surasti tą ribą, kai akmuo nukrenta daugiau nei pakyla... 5+15+25+35+45+55=180, kas jau per daug. Po penkių sekundžių akmuo nukris 5+15+25+35+45=125 metrus. Po 5 sekundžių akmuo pakils 17*5=85 metrus. Panašiausias rezultatas gaunasi, kai akmuo kyla 17 m/s greičiu ir krenta su pagreičiu 10 m/(s*s) kai praeina 3 sekundės. Nes 17*3=51 ir 5+15+25=45. Nes 51~45. Vadinasi akmuo kils apie 3 sekundes.

Kita vertus, kaip akmuo gali kilti, kai po trečios sekundės akmens [kritimo] greitis jau 25 m/s, kas yra daugiau nei 17 m/s. Apytikslis rezultatas būtų 2 sekndės nes tada akmens greitis ygija 15 m/s kritimo greiti, kas šiek tiek mažiau nei kilimo greitis, todėl atsakymas būtų apytiksliai apie 2 sekundės su kažkiek kaip 2.1 sekuundės (kol akmuo sustos kilt).

Vėl nesamonės, prisipainiojo. Akmuo po dviejų sekundžių turės greitį 20 m/s. Tai 1.734693878 sekundės atrodo visai logiškai. O po apie 3.5 sekundės akmuo nukris ant žemės.

Apie klaidą iš "Sunkesni pavyzdžiai"

"

• Akmuo mestas vertikaliai į dangų nuo pat žemės (iš griovio) greičiu v=17 m/s. Pagreitis g=9,8 (m/s)/s. Rasime didžiausią aukštį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

Sprendimas. Reikia surasti iš kokio aukščio akmuo nukristų ant žemės, kai butų pasiektas greitis 17 m/s. Tokiame aukštyje akmuo ir sustos ir tai bus jo maksimalus pakilimo aukštis.

$t=v/g=17/9.8=1.734693878$ s.

$h={\frac {v}{2}}\cdot t={\frac {17}{2}}\cdot 1.734693878=14.74489796$ m, arba

$h={\frac {g\cdot t^{2}}{2}}={\frac {9.8\cdot 1.734693878^{2}}{2}}={\frac {9.8\cdot 3.009162849}{2}}={\frac {29.48979592}{2}}=14.74489796\;(m).$

Vadinasi akmuo pasieks didžiausią pakilimo tašką virš žemės 14,74489796 metrų aukštyje.

• Akmuo mestas $\alpha =45$ laipsnių kampu v=17 m/s greičiu iš aukščio 0 metrų. Laisvojo kritimo pagreitis yra 9,8 $m/s^{2}$. Rasime atstumą (tiesės ilgį), kuris buvo numestas nuo metimo taško iki akmens nukritimo taško. Oro pasipriešinimas netaikomas.

Sprendimas. Iš pradžiu reikia rasti akmens šešėlio greitį (akmens greitį judant vien horizontaliai arba kitaip sakant horizontalios projekcijos greitį) iki to kai akmuo pakils į aukščiausią tašką. Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:

$v_{horiz}=v\cdot \cos(\alpha )=17\cdot \cos(45)=17\cdot \cos {\frac {\pi }{4}}=12.02081528\;(m/s).$

Akmuo kils į viršu greičiu (vertikali greičio projekcija):

$v_{vert}=v\cdot \sin \alpha =17\cdot \sin {\frac {\pi }{4}}=12.02081528\;(m/s).$

Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:

$t_{kilimo}={v_{vert} \over g}={\frac {12.02081528}{9.8}}=1.226613804\;(s).$

Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:

$t=t_{kilimo}+t_{kritimo}=1.226613804+1.226613804=2.453227608\;(s).$

Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį $v_{horiz}=12.02081528\;(m/s),$ tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):

$S=v_{horiz}\cdot t=12.02081528\cdot 2.453227608=29.48979592\;(m).$

Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:

$h=v_{vert}\cdot t_{kilimo}=12.02081528\cdot 1.226613804=14.74489796\;(m).$

"

Iš pavyzdžių matyti, kad mestas vertikaliai į viršų akmuo 17 m/s greičių pasieks tokį patį aukštį, kaip akmuo mestas 45 laipsnių kampų irgi 17 m/s greičiu. Manau, klaida yra tame, kad kilimo vertikaliai (mestam akmeniui 45 laipsnių kampu) vidutinis vertikalus greitis bus 2 kartus mažesnis (nei $v_{vert}=12.02081528\;(m/s)$). Nes akmens mesto 17 m/s greičiu, vertikalus kilimo greitis linijiniai mažės, o vidutinis vertikalus greitis bus $v_{vert}/2=12.02081528/2=6.01040764\;(m/s).$ Kilimo laikas, manau, nustatytas teisingai ir vertikaliai mesto akmens 17 m/s kilimo laikas yra didesnis negu mesto akmens 45 laipsnių kampu 17 m/s greičiu:

$1.734693878>1.226613804.$

Todėl antrame pavyzdyje maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:

$h={\frac {v_{vert}}{2}}\cdot t_{kilimo}={\frac {12.02081528}{2}}\cdot 1.226613804=6.01040764\cdot 1.226613804=7.372449\;(m).$

Reikia pastebėti, kad mestam tiesiai į viršų pradinis kilimo greitis yra 17 m/s, o mestam 45 laipsnių kampu 17 m/s greičių, kilimo vertikaliai greitis yra 12.02081528 (m/s).

Čia yra tokia idomi gravitacijos savybė, kad metus n kartu didesniu greičiu akmuo nuskrenda $n^{2}$ didesnį atstumą. Pavyzdžiui, jei akmuo mestas tuo pačiu kampu 2 kartus didesniu greičių. tai jis nuskris 4 kartus toliau. Jei akmuo mestas 3 kartus didesniu greičiu tuo pačiu kampu, tai jis nuskris 9 kartus toliau. Jeigu akmuo mestas 4 kartus didesniu greičiu tuo pačiu kampu, tai jis nuskris $4^{2}=16$ kartų toliau. Šis dėsnis išplaukia iš to, kad reikia mesti iš, pavyzdžiui, 9 kartus didesnio aukščio, kad akmuo isibegėtų iki 3 kartus didesnio galutinio greičio (kai pasieks žemę).