Matematika/Piramidė

Piramidės pagrindas gali būti bet kokia plokščia figūra, o piramidės aukštis yra aukštinės, kuri statmena pagrindui, ilgis.

Piramidės tūris

Piramidės, kurios pagrindas yra S, o aukštinė h, tūris yra:

$V={\frac {S\cdot h}{3}}.$

Nupjautinės piramidės tūris

Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė lygi h, o pagrindų plotai S ir $S_{1}$, tūrio formulė yra:

$V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}\cdot h\cdot (\pi r^{2}+\pi r_{1}^{2}+{\sqrt {\pi r^{2}\cdot \pi r_{1}^{2}}})={\frac {1}{3}}\cdot h\cdot \pi (r^{2}+r_{1}^{2}+r\cdot r_{1}).$

Jei daugiakampės nupjautinės piramidės pagrindų atitinkamos kraštinės yra A ir a; S - dydžiojo pagrindo plotas; $S_{1}$ - mažojo pagrindo plotas, tai piramidės tūris yra:

$V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right].$

• Pavyzdžiui, nupjautinio kūgio, kurio $r=8$, $r_{1}=3$, $h=5$, tūris yra:

$V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}\cdot 5\cdot (\pi \cdot 8^{2}+\pi \cdot 3^{2}+{\sqrt {\pi \cdot 8^{2}\cdot \pi \cdot 3^{2}}})={\frac {1}{3}}\cdot 5\pi (64+9+8\cdot 3)={\frac {1}{3}}\cdot 5\pi \cdot 97={\frac {485\pi }{3}}=507.8908123.$

Kai apotema su kūgio pagrindu sudaro 45 laipsnių kampą kaip šiame pavyzdyje, tai nupjautinio kūgio tūris gali būtis apskaičiuotas taikant sukimo paviršiaus tūrio skaičiavimą integravimo metodu:

$V=\pi \int _{3}^{8}r^{2}dr=\pi \int _{3}^{8}x^{2}dx=\pi \cdot {\frac {x^{3}}{3}}|_{3}^{8}=\pi ({\frac {8^{3}}{3}}-{\frac {3^{3}}{3}})=\pi ({\frac {512}{3}}-{\frac {27}{3}})=\pi ({\frac {512}{3}}-9)=161.666667\pi =507.8908123.$

• Pavyzdis. Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai kvadratai su kraštinėmis $A=5$, $a=3$, aukštine $h=4$, tūris yra:

$V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}h(A^{2}+a^{2}+{\sqrt {A^{2}\cdot a^{2}}})={\frac {4}{3}}(5^{2}+3^{2}+5\cdot 3)={\frac {4}{3}}(25+9+15)={\frac {4}{3}}\cdot 49={\frac {196}{3}}=65,3(3).$

$V={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{3}}\cdot 4\cdot 5^{2}\left[1+{\frac {3}{5}}+\left({\frac {3}{5}}\right)^{2}\right]={\frac {100}{3}}\cdot 1,96=65,33333333.$

• Pavyzdis. Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai stačiakampiai su didžiojo pagrindo kraštinėmis $A=5$, $B=7$ ir mažojo pagrindo kraštinėmis $a=3$, $b=4.2$, aukštine $h=4$, tūris yra:

$V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}h(A\cdot B+a\cdot b+{\sqrt {A\cdot B\cdot a\cdot b}})={\frac {4}{3}}(5\cdot 7+3\cdot 4.2+{\sqrt {5\cdot 7\cdot 3\cdot 4.2}})={\frac {4}{3}}(35+12.6+{\sqrt {441}})=$

$={\frac {4}{3}}(47.6+21)={\frac {4}{3}}\cdot 68.6={\frac {274.4}{3}}=91.46666667.$

$V={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{3}}\cdot 4\cdot 5\cdot 7\left[1+{\frac {3}{5}}+\left({\frac {3}{5}}\right)^{2}\right]={\frac {140}{3}}\cdot 1.96=91.466666667.$

Kraštinių santykis vienodas, 7/5=1.4 ir 4.2/3=1.4.

Nupjautinės piramidės tūrio įrodymas

Jei įrodysime nupjautinio kūgio tūrio formulę, tai įrodysime ir bet kokios nupjautinės piramidės tūrio formulę. Todėl įrodysme nupjautinio kūgio tūrio formulę.

Nupjautinino kūgio tūris yra $V_{nup}$; nupjautinio kūgio aukštinė yra h; nupjautinio kūgio dydžiojo pagrindo spindulys yra r, o mažojo pagrindo spindulys yra $r_{1}$. Viso kūgio su pagrindu, kurio spindulys r, tūris yra $V={\frac {1}{3}}\cdot \pi r^{2}H={\frac {1}{3}}\cdot \pi r^{2}(h+x),$ čia $H=h+x$ yra viso kūgio aukštinė, kurio pagrindo spindulys yra r; x yra aukštinė viso kūgio, kurio pagrindo spindulys yra $r_{1}$,

Turime santykį:

${\frac {r}{h+x}}={\frac {r_{1}}{x}};$

$rx=r_{1}(h+x);$

$rx-r_{1}x=r_{1}h;$

$x(r-r_{1})=r_{1}h;$

$x={\frac {r_{1}h}{r-r_{1}}}.$

Randame nupjautinio kūgio tūrį:

$V_{nup}=V-V_{1}={\frac {1}{3}}S(h+x)-{\frac {1}{3}}S_{1}x={\frac {1}{3}}\cdot \pi r^{2}\cdot (h+{\frac {r_{1}h}{r-r_{1}}})-{\frac {1}{3}}\cdot \pi r_{1}^{2}\cdot {\frac {r_{1}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\left(r^{2}h+{\frac {r^{2}r_{1}h}{r-r_{1}}}-{\frac {r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}\right)=$

$={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {r^{2}h(r-r_{1})+r^{2}r_{1}h-r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {r^{3}h-r^{2}r_{1}h+r^{2}r_{1}h-r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {r^{3}h-r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {h(r-r_{1})(r^{2}+rr_{1}+r_{1}^{2})}{r-r_{1}}}=$

$={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot h(r^{2}+rr_{1}+r_{1}^{2}).$

Nupjautinės piramidės tūrio formulės įrodymas

Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė H, o pagrindų plotai S ir s, tūris lygus ${\frac {1}{3}}H(S+s+{\sqrt {Ss}}).$ Įrodykime.