Matematika/Rutulys: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
13 eilutė: | 13 eilutė: | ||
: <math>\mathbf{V} = \mathbf{{4\over 3} \pi R^3},</math> |
: <math>\mathbf{V} = \mathbf{{4\over 3} \pi R^3},</math> |
||
:'''Įrodymas'''. Nagrinėkime rutulį, kurio spindulys ''R'', centras ''O''. Ašimi ''Ox'' pasirinkime bet kurią tiesę, einančia per tašką O. Rutulį perkirtę plokštuma, statmena ašiai ''Ox'' ir einančia per tos ašies tašką ''M'', gausime skritulį, kurio centras ''M''. To skritulio spindulį pažymėkime raide ''r'', o jo plotą - <math>S(x)</math>; čia ''x'' - taško ''M'' abscisė. Plotą <math>S(x)</math> išreikšime abscise ''x'' ir spinduliu ''R''. Iš stačiojo trikampio ''OMC'' (čia ''C'' yra bet kuris taškas apskritimo, kurio centras yra taškas ''M''; ''C'' yra skritulio, gauto perkirtus rutlį plokštuma statmena ašiai ''Ox'', ir |
:'''Įrodymas'''. Nagrinėkime rutulį, kurio spindulys ''R'', centras ''O''. Ašimi ''Ox'' pasirinkime bet kurią tiesę, einančia per tašką O. Rutulį perkirtę plokštuma, statmena ašiai ''Ox'' ir einančia per tos ašies tašką ''M'', gausime skritulį, kurio centras ''M''. To skritulio spindulį pažymėkime raide ''r'', o jo plotą - <math>S(x)</math>; čia ''x'' - taško ''M'' abscisė. Plotą <math>S(x)</math> išreikšime abscise ''x'' ir spinduliu ''R''. Iš stačiojo trikampio ''OMC'' (čia ''C'' yra bet kuris taškas apskritimo, kurio centras yra taškas ''M''; ''C'' yra skritulio, gauto perkirtus rutlį plokštuma statmena ašiai ''Ox'', ir rutulį ribojančios sferos susikirtimo bet kuris taškas) gauname: |
||
:<math>r=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{R^2-x^2}.</math> |
:<math>r=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{R^2-x^2}.</math> |
||
:Kadangi <math>S(x)=\pi r^2</math>, tai |
:Kadangi <math>S(x)=\pi r^2</math>, tai |
12:46, 14 liepos 2020 versija
Sferos plotas
Sferos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:
kur
- S - sferos plotas,
- r - sferos spindulys.
Rutulio tūris
Sferos ribojamas tūris
- Įrodymas. Nagrinėkime rutulį, kurio spindulys R, centras O. Ašimi Ox pasirinkime bet kurią tiesę, einančia per tašką O. Rutulį perkirtę plokštuma, statmena ašiai Ox ir einančia per tos ašies tašką M, gausime skritulį, kurio centras M. To skritulio spindulį pažymėkime raide r, o jo plotą - ; čia x - taško M abscisė. Plotą išreikšime abscise x ir spinduliu R. Iš stačiojo trikampio OMC (čia C yra bet kuris taškas apskritimo, kurio centras yra taškas M; C yra skritulio, gauto perkirtus rutlį plokštuma statmena ašiai Ox, ir rutulį ribojančios sferos susikirtimo bet kuris taškas) gauname:
- Kadangi , tai
Rutulio nuopjovos tūris
- Jei rutulio spindulys R, o nuopjovos aukštinė h, tai rutulio nuopjovos tūrio formulė yra
- čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
- Įrodysime. Išveskime ašį Ox, statmeną plokštumai . Tada rutulio nuopjovos pjūvio, gauto perkirtus ją ašiai Ox statmena plokštuma, plotas išreiškiamas formule o Pritaikę tūrių apskaičiavimo pagrindinę formulę, kai , , gauname:
- Rutulio nuopjova yra ta dalis, kuri nupjaunama nuo rutulio (kaip nupjaunama dalis obuolio).
Rutulio sluoksnio tūris
Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis, esanti tarp dviejų lygiagrečių plokštumų. Skrituliai, susidarę lygiagrečiomis plokštumomis perkirtus rutulį, vadinami rutulio sluoksnio pagrindais, o atstumas tarp tų plokštumų - rutulio sluoksnio aukštine.
- Rutulio sluoksnio tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų rutulio nuopjovų tūrių skirtumą.
- Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h tūris yra:
- čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.
Rutulio išpjovos tūris
Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos tūrio formulė yra
- Išvesime šią formulę. Rutulio spindulys yra R. Rutulio nuopjovos aukštinė yra h; kūgio aukštinė yra ; kūgio apotema lygi rutulio spinduliui R. Nuopjovos ir kūgio pagrindo spindulys yra r. Turime:
- Randame kūgio tūrį:
- Sudedame nuopjovos ir kūgio tūrius, kad gauti išpjovos tūrį:
Rutulio nuopjovos paviršiaus plotas
Rutulio nuopjovos visas paviršiaus plotas (pridėjus pagrindo plotą) randamas pagal formulę:
- čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
- Nuopjovos be pagrindo plotas yra:
- čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys;
- Apskaičiuosime rutulio nuopjovos plotą S, atsiradusi dėl sukimo pusiauapskritimio, aplink ašį Ox. Pagal formulę gauname:
- Reikia pastebėti, kad nuopjovos plotas visada toks pat nepriklausomai, kurioje rutulio dalyje yra rutulio aukštinė h. Rutulio nuopjovos plotas priklauso tik nuo nuopjovos aukštinės h ilgio ir rutulio spindulio R.
Rutulio išpjovos paviršiaus plotas
Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos ploto formulė yra:
- čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
Rutulio sluoksnio paviršiaus plotas
- Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h plotas yra:
- čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.
- Rutulio sluoksnio plotas, neįskaitant pagrindų plotų, yra:
- Rutulio spindulį R ir rutulio sluoksnio pagrindų spindulius, bei sluoksnio aukštinę h, jungia toks sąryšis:
- čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.