Ištrintas turinys Pridėtas turinys
42 eilutė:
42 eilutė:
:<math>=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{r^2 h(r-r_1)+r^2 r_1 h-r_1^3 h}{r-r_1}=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{r^3 h-r^2 r_1 h+r^2 r_1 h-r_1^3 h}{r-r_1}=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{r^3 h-r_1^3 h}{r-r_1}=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{h(r-r_1)(r^2 +r r_1+r_1^2 )}{r-r_1}=</math>
:<math>=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{r^2 h(r-r_1)+r^2 r_1 h-r_1^3 h}{r-r_1}=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{r^3 h-r^2 r_1 h+r^2 r_1 h-r_1^3 h}{r-r_1}=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{r^3 h-r_1^3 h}{r-r_1}=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{h(r-r_1)(r^2 +r r_1+r_1^2 )}{r-r_1}=</math>
:<math>=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot h(r^2 +r r_1+r_1^2 ).</math>
:<math>=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot h(r^2 +r r_1+r_1^2 ).</math>
[[Kategorija:Matematika]]
09:30, 26 birželio 2020 versija
Piramidės pagrindas gali būti bet kokia plokščia figūra, o piramidės aukštis yra aukštinės, kuri statmena pagrindui, ilgis.
Piramidės tūris
Piramidės, kurios pagrindas yra S , o aukštinė h , tūris yra:
V
=
S
⋅
h
3
.
{\displaystyle V={\frac {S\cdot h}{3}}.}
Nupjautinės piramidės tūris
Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė lygi h , o pagrindų plotai S ir
S
1
{\displaystyle S_{1}}
, tūrio formulė yra:
V
=
1
3
h
(
S
+
S
1
+
S
⋅
S
1
)
=
1
3
⋅
h
⋅
(
π
r
2
+
π
r
1
2
+
π
r
2
⋅
π
r
1
2
)
=
1
3
⋅
h
⋅
π
(
r
2
+
r
1
2
+
r
⋅
r
1
)
.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}\cdot h\cdot (\pi r^{2}+\pi r_{1}^{2}+{\sqrt {\pi r^{2}\cdot \pi r_{1}^{2}}})={\frac {1}{3}}\cdot h\cdot \pi (r^{2}+r_{1}^{2}+r\cdot r_{1}).}
Jei daugiakampės nupjautinės piramidės pagrindų atitinkamos kraštinės yra A ir a ; S - dydžiojo pagrindo plotas;
S
1
{\displaystyle S_{1}}
- mažojo pagrindo plotas, tai piramidės tūris yra:
V
=
1
3
h
(
S
+
S
1
+
S
⋅
S
1
)
=
1
3
h
S
[
1
+
a
A
+
(
a
A
)
2
]
.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right].}
Pavyzdžiui, nupjautinio kūgio, kurio
r
=
8
{\displaystyle r=8}
,
r
1
=
3
{\displaystyle r_{1}=3}
,
h
=
5
{\displaystyle h=5}
, tūris yra:
V
=
1
3
h
(
S
+
S
1
+
S
⋅
S
1
)
=
1
3
⋅
5
⋅
(
π
⋅
8
2
+
π
⋅
3
2
+
π
⋅
8
2
⋅
π
⋅
3
2
)
=
1
3
⋅
5
π
(
64
+
9
+
8
⋅
3
)
=
1
3
⋅
5
π
⋅
97
=
485
π
3
=
507.8908123.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}\cdot 5\cdot (\pi \cdot 8^{2}+\pi \cdot 3^{2}+{\sqrt {\pi \cdot 8^{2}\cdot \pi \cdot 3^{2}}})={\frac {1}{3}}\cdot 5\pi (64+9+8\cdot 3)={\frac {1}{3}}\cdot 5\pi \cdot 97={\frac {485\pi }{3}}=507.8908123.}
Kai apotema su kūgio pagrindu sudaro 45 laipsnių kampą kaip šiame pavyzdyje, tai nupjautinio kūgio tūris gali būtis apskaičiuotas taikant sukimo paviršiaus tūrio skaičiavimą integravimo metodu:
V
=
π
∫
3
8
r
2
d
r
=
π
∫
3
8
x
2
d
x
=
π
⋅
x
3
3
|
3
8
=
π
(
8
3
3
−
3
3
3
)
=
π
(
512
3
−
27
3
)
=
π
(
512
3
−
9
)
=
161.666667
π
=
507.8908123.
{\displaystyle V=\pi \int _{3}^{8}r^{2}dr=\pi \int _{3}^{8}x^{2}dx=\pi \cdot {\frac {x^{3}}{3}}|_{3}^{8}=\pi ({\frac {8^{3}}{3}}-{\frac {3^{3}}{3}})=\pi ({\frac {512}{3}}-{\frac {27}{3}})=\pi ({\frac {512}{3}}-9)=161.666667\pi =507.8908123.}
Pavyzdis . Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai kvadratai su kraštinėmis
A
=
5
{\displaystyle A=5}
,
a
=
3
{\displaystyle a=3}
, aukštine
h
=
4
{\displaystyle h=4}
, tūris yra:
V
=
1
3
h
(
S
+
S
1
+
S
⋅
S
1
)
=
1
3
h
(
A
2
+
a
2
+
A
2
⋅
a
2
)
=
4
3
(
5
2
+
3
2
+
5
⋅
3
)
=
4
3
(
25
+
9
+
15
)
=
4
3
⋅
49
=
196
3
=
65
,
3
(
3
)
.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}h(A^{2}+a^{2}+{\sqrt {A^{2}\cdot a^{2}}})={\frac {4}{3}}(5^{2}+3^{2}+5\cdot 3)={\frac {4}{3}}(25+9+15)={\frac {4}{3}}\cdot 49={\frac {196}{3}}=65,3(3).}
V
=
1
3
h
S
[
1
+
a
A
+
(
a
A
)
2
]
=
1
3
⋅
4
⋅
5
2
[
1
+
3
5
+
(
3
5
)
2
]
=
100
3
⋅
1
,
96
=
65
,
33333333.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{3}}\cdot 4\cdot 5^{2}\left[1+{\frac {3}{5}}+\left({\frac {3}{5}}\right)^{2}\right]={\frac {100}{3}}\cdot 1,96=65,33333333.}
Pavyzdis . Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai stačiakampiai su didžiojo pagrindo kraštinėmis
A
=
5
{\displaystyle A=5}
,
B
=
7
{\displaystyle B=7}
ir mažojo pagrindo kraštinėmis
a
=
3
{\displaystyle a=3}
,
b
=
4.2
{\displaystyle b=4.2}
, aukštine
h
=
4
{\displaystyle h=4}
, tūris yra:
V
=
1
3
h
(
S
+
S
1
+
S
⋅
S
1
)
=
1
3
h
(
A
⋅
B
+
a
⋅
b
+
A
⋅
B
⋅
a
⋅
b
)
=
4
3
(
5
⋅
7
+
3
⋅
4.2
+
5
⋅
7
⋅
3
⋅
4.2
)
=
4
3
(
35
+
12.6
+
441
)
=
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S+S_{1}+{\sqrt {S\cdot S_{1}}})={\frac {1}{3}}h(A\cdot B+a\cdot b+{\sqrt {A\cdot B\cdot a\cdot b}})={\frac {4}{3}}(5\cdot 7+3\cdot 4.2+{\sqrt {5\cdot 7\cdot 3\cdot 4.2}})={\frac {4}{3}}(35+12.6+{\sqrt {441}})=}
=
4
3
(
47.6
+
21
)
=
4
3
⋅
68.6
=
274.4
3
=
91.46666667.
{\displaystyle ={\frac {4}{3}}(47.6+21)={\frac {4}{3}}\cdot 68.6={\frac {274.4}{3}}=91.46666667.}
V
=
1
3
h
S
[
1
+
a
A
+
(
a
A
)
2
]
=
1
3
⋅
4
⋅
5
⋅
7
[
1
+
3
5
+
(
3
5
)
2
]
=
140
3
⋅
1.96
=
91.466666667.
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}hS\left[1+{\frac {a}{A}}+\left({\frac {a}{A}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{3}}\cdot 4\cdot 5\cdot 7\left[1+{\frac {3}{5}}+\left({\frac {3}{5}}\right)^{2}\right]={\frac {140}{3}}\cdot 1.96=91.466666667.}
Kraštinių santykis vienodas, 7/5=1.4 ir 4.2/3=1.4.
Nupjautinės piramidės tūrio įrodymas
Jei įrodysime nupjautinio kūgio tūrio formulę, tai įrodysime ir bet kokios nupjautinės piramidės tūrio formulę. Todėl įrodysme nupjautinio kūgio tūrio formulę.
Nupjautinino kūgio tūris yra
V
n
u
p
{\displaystyle V_{nup}}
; nupjautinio kūgio aukštinė yra h ; nupjautinio kūgio dydžiojo pagrindo spindulys yra r , o mažojo pagrindo spindulys yra
r
1
{\displaystyle r_{1}}
. Viso kūgio su pagrindu, kurio spindulys r , tūris yra
V
=
1
3
⋅
π
r
2
H
=
1
3
⋅
π
r
2
(
h
+
x
)
,
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi r^{2}H={\frac {1}{3}}\cdot \pi r^{2}(h+x),}
čia
H
=
h
+
x
{\displaystyle H=h+x}
yra viso kūgio aukštinė, kurio pagrindo spindulys yra r ; x yra aukštinė viso kūgio, kurio pagrindo spindulys yra
r
1
{\displaystyle r_{1}}
,
Turime santykį:
r
h
+
x
=
r
1
x
;
{\displaystyle {\frac {r}{h+x}}={\frac {r_{1}}{x}};}
r
x
=
r
1
(
h
+
x
)
;
{\displaystyle rx=r_{1}(h+x);}
r
x
−
r
1
x
=
r
1
h
;
{\displaystyle rx-r_{1}x=r_{1}h;}
x
(
r
−
r
1
)
=
r
1
h
;
{\displaystyle x(r-r_{1})=r_{1}h;}
x
=
r
1
h
r
−
r
1
.
{\displaystyle x={\frac {r_{1}h}{r-r_{1}}}.}
Randame nupjautinio kūgio tūrį:
V
n
u
p
=
V
−
V
1
=
S
(
h
+
x
)
−
S
1
x
=
1
3
⋅
π
r
2
⋅
(
h
+
r
1
h
r
−
r
1
)
−
1
3
⋅
π
r
1
2
⋅
r
1
h
r
−
r
1
=
π
3
(
r
2
h
+
r
2
r
1
h
r
−
r
1
−
r
1
3
h
r
−
r
1
)
=
{\displaystyle V_{nup}=V-V_{1}=S(h+x)-S_{1}x={\frac {1}{3}}\cdot \pi r^{2}\cdot (h+{\frac {r_{1}h}{r-r_{1}}})-{\frac {1}{3}}\cdot \pi r_{1}^{2}\cdot {\frac {r_{1}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\left(r^{2}h+{\frac {r^{2}r_{1}h}{r-r_{1}}}-{\frac {r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}\right)=}
=
π
3
⋅
r
2
h
(
r
−
r
1
)
+
r
2
r
1
h
−
r
1
3
h
r
−
r
1
=
π
3
⋅
r
3
h
−
r
2
r
1
h
+
r
2
r
1
h
−
r
1
3
h
r
−
r
1
=
π
3
⋅
r
3
h
−
r
1
3
h
r
−
r
1
=
π
3
⋅
h
(
r
−
r
1
)
(
r
2
+
r
r
1
+
r
1
2
)
r
−
r
1
=
{\displaystyle ={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {r^{2}h(r-r_{1})+r^{2}r_{1}h-r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {r^{3}h-r^{2}r_{1}h+r^{2}r_{1}h-r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {r^{3}h-r_{1}^{3}h}{r-r_{1}}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {h(r-r_{1})(r^{2}+rr_{1}+r_{1}^{2})}{r-r_{1}}}=}
=
1
3
⋅
π
⋅
h
(
r
2
+
r
r
1
+
r
1
2
)
.
{\displaystyle ={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot h(r^{2}+rr_{1}+r_{1}^{2}).}