Kompleksiniai skaičiai

Kompleksinis skaičius yra dviejų realiųjų skaičių pora z:

$z=(a,b)=a+b\cdot i=Re(z)+iIm(z)$,

kur a ir b – realieji skaičiai, o $i=(0,1)$ – menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

$i^{2}=-1$

Nors priimta, kad $i={\sqrt {-1}}$, tačiau ši išraiška turi būti taikoma su tam tikromis išlygomis (žr. menamasis vienetas).

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

$\mathbb {C} =\{a+b\cdot i;a,b\in \mathbb {R} \}$

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais

Sudėtis

$(a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\cdot i=(a+c,b+d)\,$

Atimtis

$(a,b)-(c,d)=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)\cdot i=(a-c,b-d)$,

Daugyba

$(a,b)\cdot (c,d)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i=(ac-bd,ad+bc)\,$

• $a\cdot (1,0)=(a,0)\cdot (1,0)=(a,0)=a$
• $b\cdot (0,1)=(b,0)\cdot (0,1)=(b+0)\cdot (0+i)=0+bi=(0,b)=bi$

Dalyba

${\frac {(a,b)}{(c,d)}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\cdot i=({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}),$

• ${\frac {(a,b)}{(a,b)}}={\frac {a+bi}{a+bi}}=1+0i=(1,0)=1$.
• ${\frac {1}{(c,d)}}={\frac {(1,0)}{(c,d)}}={\frac {1+0i}{c+di}}={\frac {c}{c^{2}+d^{2}}}+({\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}})i=({\frac {c}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}})$.

Įrodymai

Sudėtis

$(a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=a+c+(b+d)\cdot i=(a+c,b+d)\,$

Atimtis

$(a,b)-(c,d)=(a+bi)-(c+di)=a+bi-c-di=a-c+(b-d)\cdot i=(a-c,b-d)$,

Daugyba

$(a,b)\cdot (c,d)=(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bidi=ac-bd+(ad+bc)i=(ac-bd,ad+bc)\,$

• $a\cdot (1,0)=(a,0)\cdot (1,0)=(a+0)\cdot (1+0)=(a,0)=a$
• $b\cdot (0,1)=(b,0)\cdot (0,1)=(b+0)\cdot (0+i)=(b\cdot 0+b\cdot i+0\cdot 0+0\cdot 1)=0+bi=(0,b)=bi$

Dalyba

${\frac {(a,b)}{(c,d)}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd+bci-adi}{c^{2}+d^{2}}}=({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}),$

• ${\frac {(a,b)}{(a,b)}}={\frac {a+bi}{a+bi}}=1+0i=(1,0)=1$.
• ${\frac {1}{(c,d)}}={\frac {(1,0)}{(c,d)}}={\frac {1+0i}{c+di}}={\frac {1\cdot c+0\cdot d}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {(0\cdot c-1\cdot d)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {c}{c^{2}+d^{2}}}+({\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}})i=({\frac {c}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}})$.

Dalybos:

$(c+di){\frac {ac+bd+bci-adi}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac^{2}+bcd+bc^{2}i-acdi+acdi+bd^{2}i-bcd+ad^{2}}{c^{2}+d^{2}}}=$

$={\frac {ac^{2}+bc^{2}i+bd^{2}i+ad^{2}}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {c^{2}(a+bi)+d^{2}(bi+a)}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {(c^{2}+d^{2})(a+bi)}{c^{2}+d^{2}}}=a+bi$.

• ${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i$.

Pavyzdys.

$z_{1}=(2+5i),$ $z_{2}=(4+3i)$.

$z=z_{1}z_{2}=(2+5i)(4+3i)=8+6i+20i-15=-7+26i$.

Čia gauto vektoriaus z koordinatės (x; y)=(-7, 26).

Gauto vektoriaus z ilgis :$r={\sqrt {(-7)^{2}+26^{2}}}={\sqrt {725}}\approx 26.92582404$.

$r_{1}={\sqrt {2^{2}+5^{2}}}={\sqrt {29}}\approx 5.385$,

$r_{2}={\sqrt {4^{2}+3^{2}}}={\sqrt {25}}=5$.

$r=r_{1}r_{2}=5{\sqrt {29}}\approx 26.92582404$.

Kaip matome naujo vektoriaus z ilgį galima surasti ir be menamojo vieneto i.

$\phi _{1}=\arccos {\frac {a}{r_{1}}}=\arcsin {\frac {b}{r_{1}}}=\arccos {\frac {2}{\sqrt {29}}}\approx 1.19028995$

$\phi _{2}=\arccos {\frac {c}{r_{2}}}=\arcsin {\frac {d}{r_{2}}}=\arccos {\frac {4}{5}}\approx 0.643501108$

$z=z_{1}z_{2}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=r(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2}))=26.92582404(\cos(1.19028995+0.643501108)+i\sin(1.833791058))=$

$=26.92582404(-0.259973473+0.965615758i)=-6.999999989+25.99999999i$.

Kaip matome praktiškai visiškai tiksliai suradome naujo vektoriaus z koordinates (-7, 26), be panaudojimo menamojo vieneto savybių (i²=-1) ir menamasis vienetas atliko tik žymeklio vaidmenį.

Čia mes sudėjome du kampus per kuriuos buvo pasukti nuo x ašies abu vektoriai ((a, b) ir (c, d)). Pavyzdžiui vektorius (a, b) su x ašimi sudaro $\phi _{1}$=~68.2 laipsnių kampą, o vektorius (c, d) su x ašimi sudaro $\phi _{2}$=~36.87 laipsnių kampą. Kai mes sudauginome $z_{1}z_{2}$, tai kampai susidėjo ir atsirado naujas vektorius kurio ilgis $r=r_{1}r_{2}=26.92582404$ ir kuris su x ašimi sudaro $\phi =\phi _{1}+\phi _{2}$=36.87+68.2=~105.07 laipsnių kampą. Kaip matome kampus galima sudėti ir be kompleksinių skaičių, o sudaugintų vektorių ilgius ($r_{1}$ ir $r_{2})$ bei naujo atsiradusio vektoriaus $r=r_{1}r_{2}$ ilgį taip pat rasti be kompleksinių skaičių (o tiksliau be menamojo vieneto i ).

Muavro formulė

Didelę reikšmę turi vienetinio ilgio kompleksiniai skaičiai, kai r=1.

• Kai $\varphi ={\frac {\pi }{4}}$, tai

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$.

$(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}=\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi +2i\sin \varphi \cos \varphi =\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi =0+i$

$(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{3}=\cos 3\varphi +i\sin 3\varphi =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$

ir t.t. Vienetinio ilgio vektorius kaskart nuo x ašies pasisuka po 45 laipsnius prieš laikrodžio rodyklę (kai kampas $\varphi =45$ laipsniai).

• Pavyzdžiui turime vieno taško $x_{1}$ koordinatę 0.6 ir turime $x_{2}$ koordinatę 0.8. Tada $y_{1}={\sqrt {1-0.6^{2}}}={\sqrt {0.64}}=0.8$, o $y_{2}={\sqrt {1-0.8}}={\sqrt {0.36}}=0.6$. Taigi turime $(x_{1};y_{1})=0.6+0.8i$ ir $(x_{2};y_{2})=0.8+0.6i$. Sudauginus turime: (0.6+0.8i)(0.8+0.6i)=0.48+0.36i+0.64i-0.48=i. Taigi gavome, kad x ašis yra 0, o y ašis yra 1. Taigi gavome tą patį tarsi sudėję du kampus, kur pirmas kampas yra $\phi _{1}=\arccos 0.6=\arcsin 0.8=0.927295218=53.13010235$ laipsnio, o antras kampas yra $\phi _{2}=\arccos x_{2}=\arccos 0.8=0.927295218=36.86989765$ laipnsio.

• Pavyzdys. Duotas kampas $\phi _{1}=60$ laipsnių, kas yra lygu $\phi _{1}={\frac {\pi }{3}}=1.047197551$. Ir duotas kampas $\phi _{2}=15$ laipsnių arba $\phi _{2}={\frac {\pi }{12}}=0.261799387$. Žinome, kad pirmo taško ant vienetinio apskritimo (kurio spindulys r=1, o centras O=(0; 0)) koordinatės yra $(x_{1};\;y_{1})=(0.5;\;0.866025403)$, o antro taško koordinatės yra $(x_{2};\;y_{2})=(0,965925826;\;0,258819045)$. Žinome, kad $\cos \phi _{1}=\cos {\frac {\pi }{3}}=0.5$ ir $\sin \phi _{1}=\sin {\frac {\pi }{3}}=0.866025403$. Taip pat $\cos \phi _{2}=\cos {\frac {\pi }{12}}=0.965925826$ ir $\sin \phi _{2}=\sin {\frac {\pi }{12}}=0.258819045$.

Įrodysime, kad kosinuso ir sinuso formulės gautos Teiloro eilutės pagalba yra teisingos (nes kalkuliatorius kosinuso ir sinuso reikšmes skaičiuoja naudodamsis Teiloro eilute, bet galima patikrinti ir betarpiškai įstačius $\phi$ reikšmę į teiloro eilutę kosinuso, tik ilgas tikrinimas gausis).

Sudėsime kampus 60 laispnių ir 15 laipnsių ir tokiu budu gausime kampą 60+15=75 laipsnių. Arba kampus galime sudėti taip: $\phi =\phi _{1}+\phi _{2}={\frac {\pi }{3}}+{\frac {\pi }{12}}={\frac {5\pi }{12}}=1.308996939$. Dabar sudauginsime kompleksinius skaičius (sudauginsime du taškus):

$(x;y)=(x_{1}+y_{1}i)(x_{2}+y_{2}i)=(0.5+0.866025403i)(0.965925826+0.258819045i)=$

$=0.5\cdot 0.965925826+0.5\cdot 0.258819045i+0.866025403i\cdot 0.965925826+0.866025403i\cdot 0.258819045i=$

$=0.482962913+0.129409522i+0.836516303i-0.224143868=0.258819045+i0.965925825=(0.258819045;0.965925825).$

$x^{2}+y^{2}=0.258819045^{2}+0.965925825^{2}=0.066987298+0.933012699=0.999999997$.

$x=\cos \phi =\cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos(1.308996939)=0.258819045.$

$y=\sin \phi =\sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin(1.308996939)=0.965925826.$

Kampas $\phi$ taipogi gali būti surastas taip:

$\phi ={\frac {75\pi }{180}}=0.416666667\cdot 3.141592654=1.308996939.$

• Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra $(x_{1};\;y_{1})=(0.3;\;{\sqrt {1-0.3^{2}}})=(0.3;\;{\sqrt {1-0.09}})=(0.3;\;{\sqrt {0.91}})=(0.3;\;0.953939201).$ Antro taško koordinatės yra $(x_{2};y_{2})=(0,8;0,6)$.

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

$(x_{3};y_{3})=(0.3+i0.953939201)(0.8+i0.6)=0.24+0.18i+0.763151361i-0.57236352=-0.33236352+0.943151361i=(-0.33236352;0.943151361).$

$x_{3}^{2}+y_{3}^{2}=(-0.33236352)^{2}+0.943151361^{2}=0.110465509+0.889534489=0.999999999$.

$\phi _{3}=\arccos x_{3}=\arccos(-0.33236352)=1.909604781$, tai yra lygu 109.4122945 laipsnio.

$\phi _{3}=\arcsin y_{3}=\arcsin(0.943151361)=1.231987872$ tai yra lygu 70.58770545 laipsnio. Ir $\phi _{3}=90+(90-70.58770545)=90+19.41229455=109.4122946$.

$\phi _{1}=\arccos x_{1}=\arccos 0.3=1.266103673$, tai yra lygu 72.54239688 laipsnio.

$\phi _{1}=\arcsin y_{1}=\arcsin 0.953939201=1.266103673$, tai yra lygu 72.54239688 laipsnio.

$\phi _{2}=\arccos x_{2}=\arccos 0.8=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

$\phi _{2}=\arcsin y_{2}=\arcsin 0.6=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

$\phi _{3}=\phi _{1}+\phi _{2}=1.266103673+0.643501108=1.909604782$ arba $\phi _{3}=\phi _{1}+\phi _{2}=72.54239688+36.86989765=109.4122945$ laipsnio.

• Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra $(x_{1};\;y_{1})=(0.9;\;{\sqrt {1-0.9^{2}}})=(0.9;\;{\sqrt {1-0.81}})=(0.9;\;{\sqrt {0.19}})=(0.9;\;0.435889894).$ Antro taško koordinatės yra $(x_{2};y_{2})=(0,8;0,6)$.

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

$(x_{3};y_{3})=(0.9+i0.435889894)(0.8+i0.6)=0.72+0.54i+0.348711915i-0.261533936=0.458466063+0.888711915i=(0.458466063;0.888711915).$

$x_{3}^{2}+y_{3}^{2}=0.458466063^{2}+0.888711915^{2}=0.21019113+0.789808867=0.999999998$.

$\phi _{3}=\arccos(x_{3})=\arccos(0.458466063)=1.094527921$, tai yra lygu 62.71183043 laipsnio.

$\phi _{3}=\arcsin(y_{3})=\arcsin(0.888711915)=1.09452792$ tai yra lygu 62.71183035 laipsnio.

$\phi _{1}=\arccos x_{1}=\arccos 0.9=0.451026811$, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.

$\phi _{1}=\arcsin y_{1}=\arcsin 0.435889894=0.451026811$, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.

$\phi _{2}=\arccos x_{2}=\arccos 0.8=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

$\phi _{2}=\arcsin y_{2}=\arcsin 0.6=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

$\phi _{3}=\phi _{1}+\phi _{2}=0.451026811+0.643501108=1.094527921$ arba $\phi _{3}=\phi _{1}+\phi _{2}=25.84193276+36.86989765=62.71183041$ laipsnio.

• Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra $(x_{1};\;y_{1})=(0.9;\;{\sqrt {1-0.9^{2}}})=(0.9;\;{\sqrt {1-0.81}})=(0.9;\;{\sqrt {0.19}})=(0.9;\;0.435889894).$ Antro taško koordinatės yra $(x_{2};y_{2})=(0,6;0,8)$.

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

$(x_{3};y_{3})=(0.9+i0.435889894)(0.6+i0.8)=0.54+0.72i+0.261533936i-0.348711915=0.191288084+0.981533936i=(0.191288084;0.981533936).$

$x_{3}^{2}+y_{3}^{2}=0.191288084^{2}+0.981533936^{2}=0,036591131+0,963408867=0.999999998$.

$\phi _{3}=\arccos(x_{3})=\arccos(0.191288084)=1.37832203$, tai yra lygu 78,97203515 laipsnio.

$\phi _{3}=\arcsin(y_{3})=\arcsin(0.981533936)=1.378322027$ tai yra lygu 78,97203493 laipsnio.

$\phi _{1}=\arccos x_{1}=\arccos 0.9=0.451026811$, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.

$\phi _{1}=\arcsin y_{1}=\arcsin 0.435889894=0.451026811$, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.

$\phi _{2}=\arccos x_{2}=\arccos 0.6=0.927295218$, tai yra lygu 53,13010235 laipsnio.

$\phi _{2}=\arcsin y_{2}=\arcsin 0.8=0.927295218$, tai yra lygu 53,13010235 laipsnio.

$\phi _{3}=\phi _{1}+\phi _{2}=0.451026811+0.927295218=1.37832203$ arba $\phi _{3}=\phi _{1}+\phi _{2}=25.84193276+53.13010235=78.97203512$ laipsnio.

• Pavyzdys. Sudėsime 3 kampus $\phi _{1}=30$ laipsnių. Kampas $\phi _{1}$ taip pat lygus $\phi _{1}={\frac {\pi }{6}}=0.523598775$ radiano. Kampo $\phi _{1}$ galai yra taškai $(x_{0};y_{0})=(0;0)$ ir $(x_{1};\;y_{1})=({\frac {\sqrt {3}}{2}};\;0.5)=(0.866025403;\;0.5).$ Ir $0.866025403^{2}+0.5^{2}=0.75+0.25=1$.

$(x_{2};\;y_{2})=(x_{1}+iy_{1})^{2}=({\frac {\sqrt {3}}{2}}+i0.5)^{2}=0.75+2\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {i}{2}}-0.25=0.5+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}=(0.5;\;0.866025403).$

$(x_{3};y_{3})=(x_{2}+iy_{2})(x_{1}+iy_{1})=(0.5+i0.866025403)(0.866025403+i0.5)=0.433012701+i0.25+i0.75-0.433012701=i=(0;1).$

$\phi _{1}=\arccos x_{1}=\arccos {\frac {\sqrt {3}}{2}}=0.523598775$, tai yra 30 laipsnių.

$\phi _{2}=\arccos x_{2}=\arccos 0,5=1,047197551$, tai yra 60 laipsnių.

$\phi _{3}=\arccos x_{3}=\arccos(0)=1,570796327$, tai yra 90 laipsnių.

• Pavyzdys. Pasinaudodami kompleksinių skaičių dalybos taisykle ${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(ac-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i$, atimsime vieną kampą iš kito. Pirmo taško koordinatės yra $(x_{1};y_{1})=(0.6;0.8)$, o antro taško koordinatės yra $(x_{2};y_{2})=(0.8;0.6)$. Atimsime antrą kampą iš pirmo.

$(x_{3};y_{3})=(x_{1}+iy_{1})/(x_{2}+iy_{2})=(0.6+i0.8)/(0.8+i0.6)=$

$={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\cdot i={\frac {0.6\cdot 0.8+0.8\cdot 0.6}{0.6^{2}+0.8^{2}}}+{\frac {0.8\cdot 0.8-0.6\cdot 0.6}{0.8^{2}+0.6^{2}}}\cdot i=$

$={\frac {0.48+0.48}{0.36+0.64}}+{\frac {0.64-0.36}{0.64+0.36}}\cdot i={\frac {0.96}{1}}+{\frac {0.28}{1}}\cdot i=(0.96;\;0.28).$

$(x_{3})^{2}+(y_{3})^{2}=0.96^{2}+0.28^{2}=0.9216+0.0784=1$.

$\phi _{3}=\arccos(x_{3})=\arccos(0.96)=0.283794109$, tai yra lygu 16.26020471 laipsnio.

$\phi _{3}=\arcsin(y_{3})=\arcsin(0.28)=0.283794109$ tai yra lygu 16.26020471 laipsnio.

$\phi _{1}=\arccos x_{1}=\arccos 0.6=0.927295218$, tai yra lygu 53.13010235 laipsnio.

$\phi _{1}=\arcsin y_{1}=\arcsin 0.8=0.927295218$, tai yra lygu 53.13010235 laipsnio.

$\phi _{2}=\arccos x_{2}=\arccos 0.8=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

$\phi _{2}=\arcsin y_{2}=\arcsin 0.6=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

$\phi _{3}=\phi _{1}-\phi _{2}=0.927295218-0.643501108=0.283794109$ arba $\phi _{3}=\phi _{1}-\phi _{2}=53.13010235-36.86989765=16.26020471$ laipsnio.

Pritaikę vektorių formulę dvimatėms koordinatėms, galime patikrinti, kad:

$x_{3}={\frac {x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}}={\frac {0.6\cdot 0.8+0.8\cdot 0.6}{{\sqrt {0.6^{2}+0.8^{2}}}\cdot {\sqrt {0.8^{2}+0.6^{2}}}}}={\frac {0.48+0.48}{{\sqrt {0.36+0.64}}\cdot {\sqrt {0.64+0.36}}}}={\frac {0.96}{{\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {1}}}}=0.96;$

$y_{3}=|{\frac {x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}}|=|{\frac {0.6\cdot 0.6-0.8\cdot 0.8}{{\sqrt {0.6^{2}+0.8^{2}}}\cdot {\sqrt {0.8^{2}+0.6^{2}}}}}|=|{\frac {0.36-0.64}{{\sqrt {0.36+0.64}}\cdot {\sqrt {0.64+0.36}}}}|=|{\frac {-0.28}{{\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {1}}}}|=|-0.28|=0.28.$

Šios vektrorių formulės dvimatėms koordinatėms (skirtos kampui atimti) išplaukia iš vektorių formulių, surasti kampui tarp dviejų vektorių:

$\phi =\arccos {\frac {x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}+z_{1}\cdot z_{2}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}}};$

$\phi =\arcsin {\frac {\sqrt {(x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1})^{2}+(x_{1}\cdot z_{2}-x_{2}\cdot z_{1})^{2}+(y_{1}\cdot z_{2}-y_{2}\cdot z_{1})^{2}}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}}}.$

Kompleksinių skaičių laukas

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).\,$

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

$(a,b)=a\cdot (1,0)+b\cdot (0,1)=a+bi\quad {\text{ir}}\quad i^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1.$

Lauke C mes turime:

• vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
• vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
• atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
• atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b): $\left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right).$

Kompleksinių skaičių plokštuma

Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).

Trigonometrinė forma

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.

Greta algebrinės formos ($z=(a,b)=a+b\cdot i$) dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

$z=r(\cos \varphi \ +i\sin \varphi \ )=re^{i\varphi }$,

Čia

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$,

$\cos \varphi \ ={\frac {a}{r}},$

$\sin \varphi \ ={\frac {b}{r}},$.

Formulė kai $r=1$ yra vadinama Oilerio formule: $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi$.

Šiuo atveju kompleksinis skaičius $(a,b)$ turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b - y ašimi. Kampas $\phi$ yra kampas tarp x ašies ir tiesės jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b). $r$ yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).

Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:

$z=z_{1}z_{2}=r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\,r_{2}\,e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}\,$

dalyba:

$z={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}.\,$

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

$z^{n}={\big (}r\,e^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}\,e^{in\varphi }=r^{n}(\cos {n\varphi }+i\sin {n\varphi })\,$

Šaknies traukimo operacija:

$\omega ={\sqrt[{n}]{z}},$

$\omega _{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi \ +2\pi \ k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi \ +2\pi \ k}{n}}\right)$ - egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai $k\geq n,$ gaunamos reikšmės kartojasi.

Šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

Šaknies traukimo iš kompleksinio skaičiaus formulė:

${\sqrt[{n}]{\alpha }}=\beta _{k}={\sqrt[{n}]{r}}(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{n}}),\quad (k=0,\;1,\;2,\;...,n-1).$

• Pavyzdis. Išskaičiuosime ${\sqrt[{4}]{4}}.$

Čia $\phi =0$ ir $r=4$. Iš bendrosios šaknies formulės

$\beta _{k}={\sqrt {2}}(\cos {\frac {2k\pi }{4}}+i\sin {\frac {2k\pi }{4}})\quad (k=0,\;1,\;2,\;3).$

Todėl

$\beta _{0}={\sqrt {2}}(\cos {\frac {2\cdot 0\cdot \pi }{4}}+i\sin {\frac {2\cdot 0\cdot \pi }{4}})={\sqrt {2}}(\cos 0+i\sin 0)={\sqrt {2}}(1+i\cdot 0)={\sqrt {2}},$

$\beta _{1}={\sqrt {2}}(\cos {\frac {2\cdot 1\cdot \pi }{4}}+i\sin {\frac {2\cdot 1\cdot \pi }{4}})={\sqrt {2}}(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}})={\sqrt {2}}(0+i\cdot 1)=i{\sqrt {2}},$

$\beta _{2}={\sqrt {2}}(\cos {\frac {2\cdot 2\cdot \pi }{4}}+i\sin {\frac {2\cdot 2\cdot \pi }{4}})={\sqrt {2}}(\cos \pi +i\sin \pi )={\sqrt {2}}(-1+i\cdot 0)=-{\sqrt {2}},$

$\beta _{3}={\sqrt {2}}(\cos {\frac {2\cdot 3\cdot \pi }{4}}+i\sin {\frac {2\cdot 3\cdot \pi }{4}})={\sqrt {2}}(\cos {\frac {3\pi }{2}}+i\sin {\frac {3\pi }{2}})={\sqrt {2}}(0+i\cdot (-1))=-i{\sqrt {2}}.$

Nesunku matyti, kad

$(\beta _{k})^{4}=4$ visiems $k=0,\;1,\;2,\;3.$

$(\beta _{0})^{4}=\left({\sqrt {2}}\right)^{4}=2^{2}=4.$

$(\beta _{1})^{4}=\left(i{\sqrt {2}}\right)^{4}=i^{4}\left({\sqrt {2}}\right)^{4}=i\cdot i\cdot i\cdot i\left({\sqrt {2}}\right)^{4}=-1\cdot i\cdot i\left({\sqrt {2}}\right)^{4}=(-1)\cdot (-1)\cdot 2^{2}=4.$

$(\beta _{2})^{4}=\left(-{\sqrt {2}}\right)^{4}=(-1)^{4}\cdot 2^{2}=4.$

$(\beta _{3})^{4}=\left(-i{\sqrt {2}}\right)^{4}=i^{4}\left(-{\sqrt {2}}\right)^{4}=i\cdot i\cdot i\cdot i\left({\sqrt {2}}\right)^{4}=-1\cdot i\cdot i\left(-{\sqrt {2}}\right)^{4}=(-1)\cdot (-1)\cdot \left(-{\sqrt {2}}\right)^{4}=\left(-{\sqrt {2}}\right)^{4}=2^{2}=4.$

Tuo patikriname šaknies traukimą.

• Ištraukti penkto laipsnio šaknį iš kompleksinio skaičiaus $\alpha =-16+i16{\sqrt {3}}.$

Sprendimas. Randame spindulį

$r={\sqrt {16^{2}+(16{\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {256+256\cdot 3}}={\sqrt {1024}}=32.$

Toliau taikydami formule galime užrašyti

${\sqrt {\alpha }}=\beta _{k}={\sqrt[{5}]{r}}(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{5}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{5}})\quad (k=0,\;1,\;2,\;3,\;4).$

Pažymėkime:

$\epsilon ={\frac {\alpha }{r}}={\frac {-16+i16{\sqrt {3}}}{32}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}.$

Dabar žinome, kad $\phi =120^{\circ }$ arba $\phi ={\frac {2\pi }{3}},$ nes $\cos {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}$ ir $\sin {\frac {2\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}.$ Arba $\arccos \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\frac {2\pi }{3}}$ ir $\arcsin {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\pi }{3}}.$ Bet kadangi realioji dalis neigiama tai $\phi =120^{\circ },$ o ne $\phi =60^{\circ }.$

Dabar galime rasti visas šaknis:

$\beta _{0}={\sqrt[{5}]{32}}(\cos {\frac {{\frac {2\pi }{3}}+2\cdot 0\cdot \pi }{5}}+i\sin {\frac {{\frac {2\pi }{3}}+2\cdot 0\cdot \pi }{5}})=$

$=2(\cos {\frac {\frac {2\pi }{3}}{5}}+i\sin {\frac {\frac {2\pi }{3}}{5}})=2(\cos {\frac {2\pi }{15}}+i\sin {\frac {2\pi }{15}})=2(\cos(24^{\circ })+i\sin(24^{\circ })=$

$=2(0.913545457+i0.406736643)=1.827090915+i0.813473286;$

$\beta _{1}={\sqrt[{5}]{32}}\left(\cos {\frac {{\frac {2\pi }{3}}+2\cdot 1\cdot \pi }{5}}+i\sin {\frac {{\frac {2\pi }{3}}+2\cdot 1\cdot \pi }{5}}\right)=$

$=2\left(\cos \left({\frac {2\pi }{3\cdot 5}}+{\frac {2\pi }{5}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{3\cdot 5}}+{\frac {2\pi }{5}}\right)\right)=$

$=2\left(\cos {\frac {2\pi +6\pi }{3\cdot 5}}+i\sin {\frac {2\pi +6\pi }{3\cdot 5}}\right)=2\left(\cos {\frac {8\pi }{15}}+i\sin {\frac {8\pi }{15}}\right)=$

$=2(\cos(96^{\circ })+i\sin(96^{\circ }))=2(-0.104528463+i0.994521895)=-0.209056926+i1.989043791;$

$\beta _{2}={\sqrt[{5}]{32}}\left(\cos {\frac {{\frac {2\pi }{3}}+2\cdot 2\cdot \pi }{5}}+i\sin {\frac {{\frac {2\pi }{3}}+2\cdot 2\cdot \pi }{5}}\right)=$

$=2\left(\cos \left({\frac {2\pi }{3\cdot 5}}+{\frac {4\pi }{5}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{3\cdot 5}}+{\frac {4\pi }{5}}\right)\right)=$

$=2\left(\cos {\frac {2\pi +12\pi }{3\cdot 5}}+i\sin {\frac {2\pi +12\pi }{3\cdot 5}}\right)=2\left(\cos {\frac {14\pi }{15}}+i\sin {\frac {14\pi }{15}}\right)=$

$=2(\cos(168^{\circ })+i\sin(168^{\circ }))=2(-0.9781476+i0.20791169)=-1.956295201+i0.415823381;$

$\beta _{3}={\sqrt[{5}]{32}}\left(\cos {\frac {{\frac {2\pi }{3}}+2\cdot 3\cdot \pi }{5}}+i\sin {\frac {{\frac {2\pi }{3}}+2\cdot 3\cdot \pi }{5}}\right)=$

$=2\left(\cos \left({\frac {2\pi }{3\cdot 5}}+{\frac {6\pi }{5}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{3\cdot 5}}+{\frac {6\pi }{5}}\right)\right)=$

$=2\left(\cos {\frac {2\pi +18\pi }{3\cdot 5}}+i\sin {\frac {2\pi +18\pi }{3\cdot 5}}\right)=2\left(\cos {\frac {20\pi }{15}}+i\sin {\frac {20\pi }{15}}\right)=$

$=2(\cos(240^{\circ })+i\sin(240^{\circ }))=2(-0.5+i{{\sqrt {3}} \over 2})=-1+i{\sqrt {3}};$

$\beta _{4}={\sqrt[{5}]{32}}\left(\cos {\frac {{\frac {2\pi }{3}}+2\cdot 4\cdot \pi }{5}}+i\sin {\frac {{\frac {2\pi }{3}}+2\cdot 4\cdot \pi }{5}}\right)=$

$=2\left(\cos \left({\frac {2\pi }{3\cdot 5}}+{\frac {8\pi }{5}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{3\cdot 5}}+{\frac {8\pi }{5}}\right)\right)=$

$=2\left(\cos {\frac {2\pi +24\pi }{3\cdot 5}}+i\sin {\frac {2\pi +24\pi }{3\cdot 5}}\right)=2\left(\cos {\frac {26\pi }{15}}+i\sin {\frac {26\pi }{15}}\right)=$

$=2(\cos(312^{\circ })+i\sin(312^{\circ }))=2(0.669130606-i0.743144825)=1.338261213-i1486289651.$

• Ištraukti kubinę šaknį iš $a=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ ir $b=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}},$ kai $p=-19$ ir $q=30.$

Gauname

$a=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}=-{\frac {30}{2}}+{\sqrt {{\frac {30^{2}}{4}}+{\frac {(-19)^{3}}{27}}}}=-15+{\sqrt {{\frac {900}{4}}+{\frac {-6859}{27}}}}=-15+{\sqrt {225+{\frac {-6859}{27}}}}=-15+{\sqrt {\frac {225\cdot 27-6859}{27}}}=$

$=-15+{\sqrt {\frac {6075-6859}{27}}}=-15+{\sqrt {-{\frac {784}{27}}}}=-15+28{\sqrt {-{\frac {1}{27}}}}=-15+i{\frac {28}{\sqrt {27}}}=-15+5.3886025i;$

$b=-15-{\sqrt {\frac {6075-6859}{27}}}=-15-{\sqrt {-{\frac {784}{27}}}}=-15-28{\sqrt {-{\frac {1}{27}}}}=-15-i{\frac {28}{\sqrt {27}}}=-15-5.3886025i.$

Surandame vektoriaus ilgį r (tiek a tiek b ilgis r vienodas):

$r={\sqrt {(-15)^{2}+(28{\sqrt {\frac {1}{27}}})^{2}}}={\sqrt {225+{\frac {784}{27}}}}={\sqrt {\frac {225\cdot 27+784}{27}}}={\sqrt {\frac {6075+784}{27}}}={\sqrt {\frac {6859}{27}}}\approx {\sqrt {254.037037037}}\approx 15.938539.$

Padalinę a ir b iš r gausime normalizuotus a ir b [tipo vektorius]:

$a_{n}={\frac {a}{r}}={\frac {-15+5.3886025i}{15.938539}}=-0.941115117+0.33808635i;$

$b_{n}={\frac {a}{r}}={\frac {-15-5.3886025i}{15.938539}}=-0.941115117-0.33808635i.$

Atėjo laikas išsiaiškinti kokiuose vienetinio apskritimo ketvirčiuose guli vektoriai $a_{n}$ ir $b_{n}$ (kiek laipsnių vektoriai $a_{n}$ ir $b_{n}$ pasisukę prieš laikrodžio rodyklę nuo ašies Ox).

Vektoriaus $a_{n}$ realioji dalis yra su minuso ženklu, o menamoji dalis su pliuso ženklu. Todėl vektoriaus $a_{n}$ realioji dalis yra $\cos \phi _{1}=-0.941115117,\;\;\phi _{1}=\arccos(-0.941115117)=2.79670995$ ir iš to galima pasakyti, kad vektorius $a_{n}$ yra arba antrame arba trečiame ketvirtyje. Bet menamoji vektoriaus $a_{n}$ dalis yra teigiama, todėl veltorius $a_{n}$ guki antrame ketvirtyje. $\sin \phi _{1}=0.33808635,\;\;\phi _{1}=\arcsin(0.33808635)=0.344882767.$

${\frac {2.79670995}{\pi }}\cdot 180=160.239677$ laipsnių.

${\frac {0.344882767}{\pi }}\cdot 180=19.760326976$ laipsnių.

Vektorius $a_{n}=-0.941115117+0.33808635i$ yra antrame ketvirtyje, todėl $\phi _{1}=160.239677$ laipsnių.

Vektorius $b_{n}=-0.941115117-0.33808635i$ yra trečiame ketvirtyje, nes realioji dalis ir menamoji dalis yra neigiamos. Trečias ketvirtis yra nuo 180 laipsnių iki 270 laipsnių, todėl $\phi _{2}$ negali būti $160.239677$ laipsnių. Tačiau $\sin \phi _{2}=-0.33808635,\;\;\phi _{2}=\arcsin(-0.33808635)=-0.344882767.$

${\frac {-0.344882767}{\pi }}\cdot 180=-19.760326976$ laipsnių (arba 360-19.760326976=340.239673024 laipsnių). Kadangi vektorius $b_{n}$ guli trečiame ketvirtyje, tai $\phi _{2}=180+19.760326976=199.760326976$ laipsnių (arba $\phi _{2}=\pi +0.344882767=3.48647542$ radianų).

Pažymėkime

$\alpha ={\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}={\sqrt[{3}]{ra_{n}}}={\sqrt[{3}]{15.938539}}{\sqrt[{3}]{-0.941115117+0.33808635i}};$

$\beta ={\sqrt[{3}]{b}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}={\sqrt[{3}]{rb_{n}}}={\sqrt[{3}]{15.938539}}{\sqrt[{3}]{-0.941115117-0.33808635i}}.$

Tada žinodami, kad $k=3$ (0, 1, 2) ir $n=3$ gauname

$\alpha _{1}={\sqrt[{n}]{r}}(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{n}})={\sqrt[{3}]{15.938539}}(\cos {\frac {\phi _{1}+2\cdot 0\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi _{1}+2\cdot 0\pi }{3}})=2.516611459(\cos {\frac {\phi _{1}}{3}}+i\sin {\frac {\phi _{1}}{3}})=$

$=2.516611459(\cos {\frac {160.239677}{3}}+i\sin {\frac {160.239677}{3}})=2.516611459(\cos(53.41322567)+i\sin(53.41322567))=2.516611459(0.5960395+i0.80295508)=1.4999998357+2.02072596i;$

$\alpha _{2}={\sqrt[{3}]{15.938539}}(\cos {\frac {\phi _{1}+2\cdot 1\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi _{1}+2\cdot 1\pi }{3}})=2.516611459(\cos {\frac {\phi _{1}+2\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi _{1}+2\pi }{3}})=2.516611459(\cos {\frac {160.239677+360}{3}}+i\sin {\frac {160.239677+360}{3}})=$

$=2.516611459(\cos {\frac {520.239677}{3}}+i\sin {\frac {520.239677}{3}})=2.516611459(\cos(173.41322567)+i\sin(173.41322567))=2.516611459(-0.99339927+0.114707846i)=-2.499999986+0.288675079i;$

$\alpha _{3}={\sqrt[{3}]{15.938539}}(\cos {\frac {\phi _{1}+2\cdot 2\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi _{1}+2\cdot 2\pi }{3}})=2.516611459(\cos {\frac {\phi _{1}+4\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi _{1}+4\pi }{3}})=2.516611459(\cos {\frac {160.239677+720}{3}}+i\sin {\frac {160.239677+720}{3}})=$

$=2.516611459(\cos {\frac {880.239677}{3}}+i\sin {\frac {880.239677}{3}})=2.516611459(\cos(293.41322567)+i\sin(293.41322567))=2.516611459(0.397359727-0.917662927i)=1.0000000423-2.309401038i.$

Radome trys a šaknis. Analogiškai randame trys b šaknis:

$\beta _{1}={\sqrt[{n}]{r}}(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{n}})={\sqrt[{3}]{15.938539}}(\cos {\frac {\phi _{2}+2\cdot 0\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi _{2}+2\cdot 0\pi }{3}})=2.516611459(\cos {\frac {\phi _{2}}{3}}+i\sin {\frac {\phi _{2}}{3}})=$

$=2.516611459(\cos {\frac {199.760326976}{3}}+i\sin {\frac {199.760326976}{3}})=2.516611459(\cos(66.5867756587)+i\sin(66.5867756587))=2.516611459(0.3973597+i0.917662936)=0.99999997+2.30940106i;$

$\beta _{2}={\sqrt[{3}]{15.938539}}(\cos {\frac {\phi _{2}+2\cdot 1\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi _{2}+2\cdot 1\pi }{3}})=2.516611459(\cos {\frac {\phi _{2}+2\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi _{2}+2\pi }{3}})=2.516611459(\cos {\frac {199.760326976+360}{3}}+i\sin {\frac {199.760326976+360}{3}})=$

$=2.516611459(\cos {\frac {559.760326976}{3}}+i\sin {\frac {559.760326976}{3}})=2.516611459(\cos(186.58677566)+i\sin(186.58677566))=2.516611459(-0.9933992676-i0.1147078688)=-2.49999998-0.2886751369i;$

$\beta _{3}={\sqrt[{3}]{15.938539}}(\cos {\frac {\phi _{2}+2\cdot 2\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi _{2}+2\cdot 2\pi }{3}})=2.516611459(\cos {\frac {\phi _{2}+4\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi _{2}+4\pi }{3}})=2.516611459(\cos {\frac {199.760326976+720}{3}}+i\sin {\frac {199.760326976+720}{3}})=$

$=2.516611459(\cos {\frac {919.760326976}{3}}+i\sin {\frac {919.760326976}{3}})=2.516611459(\cos(306.58677566)+i\sin(306.58677566))=2.516611459(0.59603956-i0.80295507)=1.499999987-2.02072592i.$

Kubinės lygties $x^{3}-19x+30=0$ sprendinys turėtų būti $x_{0}=\alpha +\beta$, bet kadangi

${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}={\frac {30^{2}}{4}}+{\frac {(-19)^{3}}{27}}={\frac {900}{4}}+{\frac {-6859}{27}}=225-254.037037=-29.037037037<0,$

tai mes turime sudėti rastas $\alpha _{m}$ ir $\beta _{m}$ reikšmes taip, kad menamosios dalys pasinaikintų ir liktų tik 3 realieji sprendiniai. Tokiu budu gauname trys realiuosius lygties $x^{3}-19x+30=0$ sprendinius:

$x_{1}=\alpha _{1}+\beta _{3}=3;$

$x_{2}=\alpha _{2}+\beta _{2}=-5;$

$x_{3}=\alpha _{3}+\beta _{1}=2.$

Daugiau apie kubinės lygties sprendimą žiūrėti čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Diskriminantas#Kubinės_lygties_sprendimas_Kordano_metodu

Vieneto šaknys

Jei bet kuris kompleksinis skaičius, pakeltas n-tu laipsniu, lygus 1, tai jis yra to laipsnio vieneto šaknis.

$\epsilon _{k}\cdot \epsilon _{j}=(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{n}})\cdot (\cos {\frac {\phi +2j\pi }{n}}+i\sin {\frac {\phi +2j\pi }{n}})=\cos {\frac {\phi +2(k+j)\pi }{n}}+i\sin {\frac {\phi +2(k+j)\pi }{n}}.$

• Pavyzdis. Rasime šaknis ištrauktas iš ${\sqrt[{3}]{1}}.$

$\epsilon _{k}={\sqrt[{3}]{1}}=\cos {\frac {2k\pi }{3}}+i\sin {\frac {2k\pi }{3}},\quad (k=0,\;1,\;2).$

$\epsilon _{0}={\sqrt[{3}]{1}}=\cos {\frac {2\cdot 0\cdot \pi }{3}}+i\sin {\frac {2\cdot 0\cdot \pi }{3}}=\cos 0+i\sin 0=1.$

$\epsilon _{1}={\sqrt[{3}]{1}}=\cos {\frac {2\cdot 1\cdot \pi }{3}}+i\sin {\frac {2\cdot 1\cdot \pi }{3}}=\cos(2.094395102)+i\sin(2.094395102)=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}.$

$\epsilon _{2}={\sqrt[{3}]{1}}=\cos {\frac {2\cdot 2\cdot \pi }{3}}+i\sin {\frac {2\cdot 2\cdot \pi }{3}}=\cos {\frac {4\pi }{3}}+i\sin {\frac {4\pi }{3}}=\cos(4.188790205)+i\sin(4.188790205)=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}.$

Šaknies traukimas iš kompleksinio skaičiaus

${\sqrt {a_{1}+a_{2}i}}=\pm ({\sqrt {\frac {a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}{2}}}),\quad kai\quad a_{2}>0.$

${\sqrt {a_{1}+a_{2}i}}=\pm ({\sqrt {\frac {a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}{2}}}-i{\sqrt {\frac {-a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}{2}}}),\quad kai\;\;\;\;a_{2}<0.$

${\sqrt {a_{1}+0i}}=\pm {\sqrt {\frac {a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}{2}}},\quad jei\quad a_{1}>0.$

${\sqrt {a_{1}+0i}}=\pm i{\sqrt {\frac {-a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}{2}}},\quad jei\quad a_{1}<0.$

${\sqrt {0+i0}}=0.$

• ${\sqrt {3+4i}}=\pm ({\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}{2}}})=\pm ({\sqrt {\frac {3+{\sqrt {25}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {25}}}{2}}})=\pm ({\sqrt {\frac {8}{2}}}+i{\sqrt {\frac {2}{2}}})=\pm ({\sqrt {4}}+i{\sqrt {1}})=\pm (2+i).$

Patikriname:

$(2+i)^{2}=4-1+4i=3+4i,$

$(-2-i)^{2}=(-2)^{2}+2(-2)(-i)+(-i)^{2}=4+4i-1=3+4i.$

• ${\sqrt {3-4i}}=\pm ({\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}{2}}}-i{\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}{2}}})=\pm ({\sqrt {\frac {3+{\sqrt {25}}}{2}}}-i{\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {25}}}{2}}})=\pm ({\sqrt {\frac {8}{2}}}-i{\sqrt {\frac {2}{2}}})=\pm ({\sqrt {4}}-i{\sqrt {1}})=\pm (2-i).$

$(-2+i)^{2}=4-1-4i=3-4i.$

• ${\sqrt {-25}}=i{\sqrt {\frac {-(-25)+{\sqrt {(-25)^{2}+0^{2}}}}{2}}}=i{\sqrt {\frac {25+{\sqrt {625}}}{2}}}=i{\sqrt {\frac {25+25}{2}}}=i{\sqrt {\frac {50}{2}}}=i{\sqrt {25}}=\pm 5i.$

${\sqrt {-25}}=i{\sqrt {25+0}}=\pm 5i.$

• ${\sqrt {21-20i}}=\pm \left({\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot (21+{\sqrt {21^{2}+(-20)^{2}}})}}-i{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot (-21+{\sqrt {21^{2}+(-20)^{2}}})}}\right)=\pm \left({\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot (21+{\sqrt {441+400}})}}-i{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot (-21+{\sqrt {441+400}})}}\right)=$

$=\pm \left({\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot (21+{\sqrt {841}})}}-i{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot (-21+{\sqrt {841}})}}\right)=\pm \left({\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot (21+29)}}-i{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot (-21+29)}}\right)=\pm \left({\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot 50}}-i{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot 8}}\right)=\pm ({\sqrt {25}}-i{\sqrt {4}})=\pm (5-i2).$

• Turime kompleksinio skaičiaus koordinates $0.8+0.6i$. Šis taškas yra ant apskritimo (kurio spindulys r=1) linijos. Žinome, kad $\cos \phi _{1}=0.8$ it $\sin \phi _{1}=0.6$. Tada

$\phi _{1}=\arccos(0.8)=0.643501108$ radiano arba 36.86989765 laipsnių,

$\phi _{1}=\arcsin(0.6)=0.643501108$ radiano arba 36.86989765 laipsnių.

Rasime šaknį kompleksinio skaičiaus $0.8+0.6i$. Taigi:

${\sqrt {0.8+0.6i}}=\pm ({\sqrt {\frac {0.8+{\sqrt {0.8^{2}+0.6^{2}}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-0.8+{\sqrt {0.8^{2}+0.6^{2}}}}{2}}})=\pm ({\sqrt {\frac {0.8+{\sqrt {0.64+0.36}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-0.8+{\sqrt {0.64+0.36}}}{2}}})=$

$=\pm ({\sqrt {\frac {0.8+1}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-0.8+1}{2}}})=\pm ({\sqrt {\frac {1.8}{2}}}+i{\sqrt {\frac {0.2}{2}}})=\pm ({\sqrt {0.9}}+i{\sqrt {0.1}})=\pm (0.948683298+0.316227766i).$

Patikriname kokį kampą su ašmi Ox sudaro gautos koordinatės esančios ant apskritimo lanko kurio spindulys r=1.

$\phi _{2}=\arccos(0.948683298)=0.321750554$ radiano arba 18.43494883 laipsnio,

$\phi _{2}=\arcsin(0.316227766)=0.321750554$ radiano arba 18.43494882 laipsnio.

Naujai gautas kampas yra pusė pradinio kampo, nes

$18,43494882+18,43494882=36,86989765$ laipsnio, $2\cdot 0.321750554=0.643501108.$

Šaknies traukimo iš kompleksinio skaičiaus įrodymas

Dabar įrodysime, kad kvadratinė šaknis iš kompleksinio skaičiaus visada yra kompleksinis skaičius.

Tegu iš kompleksinio skaičiaus $a_{1}+a_{2}i$ turime ištraukti kvadratinę šaknį. Jei ta šaknis yra kompleksinis skaičius, tai, pažymėję jį $u_{1}+u_{2}i$, turėsime:

${\sqrt {a_{1}+ia_{2}}}=u_{1}+u_{2}i,$

$a_{1}+a_{2}i=(u_{1}+u_{2}i)^{2},$

$a_{1}+a_{2}i=u_{1}^{2}-u_{2}^{2}+2u_{1}u_{2}i.$

Iš čia gauname lygčių sistemą:

{$u_{1}^{2}-u_{2}^{2}=a_{1},$

{$2u_{1}u_{2}=a_{2}.$

Abi puses pakeliame kvadratu:

{$u_{1}^{4}-2u_{1}^{2}u_{2}^{2}+u_{2}^{4}=a_{1}^{2},$

{$4u_{1}^{2}u_{2}^{2}=a_{2}^{2}.$

Sudedame dvi lygtis ir gauname:

$u_{1}^{4}-2u_{1}^{2}u_{2}^{2}+u_{2}^{4}+4u_{1}^{2}u_{2}^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2},$

$u_{1}^{4}+2u_{1}^{2}u_{2}^{2}+u_{2}^{4}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2},$

$(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2},$

$u_{1}^{2}+u_{2}^{2}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}.$

Pridėję prie paskutinės lygties lygtį $u_{1}^{2}-u_{2}^{2}=a_{1},$ gauname:

$u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{1}^{2}-u_{2}^{2}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}+a_{1},$

$2u_{1}^{2}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}+a_{1};$

iš lygties $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}$ atėmę lygtį $u_{1}^{2}-u_{2}^{2}=a_{1},$ gauname:

$u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-(u_{1}^{2}-u_{2}^{2})={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}-a_{1},$

$2u_{2}^{2}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}-a_{1}.$

Iš to gauname:

$u_{1}=\pm {\sqrt {\frac {a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}{2}}},\quad u_{2}=\pm {\sqrt {\frac {-a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}{2}}}.$

Nuorodos

• http://www.math24.info/251,kompleksiniai-skaiciai.html
• Vieneto šaknys