Matematika/Rutulys: Skirtumas tarp puslapio versijų

Iš Wikibooks.
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos
Nėra keitimo santraukos
19 eilutė: 19 eilutė:
:čia ''a'' yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
:čia ''a'' yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
:Įrodysime. Išveskime ašį ''Ox'', statmeną plokštumai <math>\alpha</math>. Tada rutulio nuopjovos pjūvio, gauto perkirtus ją ašiai ''Ox'' statmena plokštuma, plotas <math>S(x)</math> išreiškiamas formule <math>S(x)=\pi r^2=\pi (\sqrt{R^2-x^2})^2=\pi(R^2-x^2),</math> o <math>R-h\le x\le R.</math> Pritaikę tūrių apskaičiavimo pagrindinę formulę, kai <math>a=R-h</math>, <math>b=R</math>, gauname:
:Įrodysime. Išveskime ašį ''Ox'', statmeną plokštumai <math>\alpha</math>. Tada rutulio nuopjovos pjūvio, gauto perkirtus ją ašiai ''Ox'' statmena plokštuma, plotas <math>S(x)</math> išreiškiamas formule <math>S(x)=\pi r^2=\pi (\sqrt{R^2-x^2})^2=\pi(R^2-x^2),</math> o <math>R-h\le x\le R.</math> Pritaikę tūrių apskaičiavimo pagrindinę formulę, kai <math>a=R-h</math>, <math>b=R</math>, gauname:
:<math>V=\pi\int_{R-h}^R (R^2-x^2) dx=\pi\left( R^2 x-\frac{x^3}{3} \right)|_{R-h}^R=\pi\left[ R^2 \cdot R-\frac{R^3}{3}-\left(R^2 ( R-h)-\frac{(R-h)^3}{3}\right) \right]=</math>
:<math>V=\pi\int_{R-h}^R (R^2-x^2) dx=\pi\left( R^2 x-\frac{x^3}{3} \right)\bigg |_{R-h}^R=\pi\left[ R^2 \cdot R-\frac{R^3}{3}-\left(R^2 ( R-h)-\frac{(R-h)^3}{3}\right) \right]=</math>
:<math>=\pi\left[ R^3 -\frac{R^3}{3}-\left(R^3 -R^2 h-\frac{R^3-3R^2 h+3Rh^2-h^3}{3}\right) \right]=\pi\left[ R^3 -\frac{R^3}{3}-R^3 +R^2 h+\frac{R^3-3R^2 h+3Rh^2-h^3}{3} \right]=</math>
:<math>=\pi\left[ R^3 -\frac{R^3}{3}-\left(R^3 -R^2 h-\frac{R^3-3R^2 h+3Rh^2-h^3}{3}\right) \right]=\pi\left[ R^3 -\frac{R^3}{3}-R^3 +R^2 h+\frac{R^3-3R^2 h+3Rh^2-h^3}{3} \right]=</math>
:<math>=\pi\left[ -\frac{R^3}{3} +R^2 h+\frac{R^3-3R^2 h+3Rh^2-h^3}{3} \right]=\pi\cdot \frac{-R^3 +3 R^2 h+ R^3-3R^2 h+3Rh^2-h^3}{3} =</math>
:<math>=\pi\left[ -\frac{R^3}{3} +R^2 h+\frac{R^3-3R^2 h+3Rh^2-h^3}{3} \right]=\pi\cdot \frac{-R^3 +3 R^2 h+ R^3-3R^2 h+3Rh^2-h^3}{3} =</math>

14:26, 1 birželio 2014 versija

Sferos plotas

Sferos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

kur

S - sferos plotas,
r - sferos spindulys.

Rutulio tūris

Sferos ribojamas tūris

Rutulio nuopjovos tūris

Jei rutulio spindulys R, o nuopjovos aukštinė h, tai rutulio nuopjovos tūrio formulė yra
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
Įrodysime. Išveskime ašį Ox, statmeną plokštumai . Tada rutulio nuopjovos pjūvio, gauto perkirtus ją ašiai Ox statmena plokštuma, plotas išreiškiamas formule o Pritaikę tūrių apskaičiavimo pagrindinę formulę, kai , , gauname:
Rutulio nuopjova yra ta dalis, kuri nupjaunama nuo rutulio (kaip nupjaunama dalis obuolio).

Rutulio sluoksnio tūris

Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis, esanti tarp dviejų lygiagrečių plokštumų. Skrituliai, susidarę lygiagrečiomis plokštumomis perkirtus rutulį, vadinami rutulio sluoksnio pagrindais, o atstumas tarp tų plokštumų - rutulio sluoksnio aukštine.

Rutulio sluoksnio tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų ruulio nuopjovų tūrių skirtumą.
Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h tūris yra:
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.
Jei - tūris, kūgio sluoksnio, įdėto į rutulio sluoksnį, ir l - jo apotema, tai

Rutulio išpjovos tūris

Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos tūrio formulė yra

Išvesime šią formulę. Rutulio spindulys yra R. Rutulio nuopjovos aukštinė yra h; kūgio aukštinė yra ; kūgio apotema lygi rutulio spinduliui R. Nuopjovos ir kūgio pagrindo spindulys yra r. Turime:
Randame kūgio tūrį:
Sudedame nuopjovos ir kūgio tūrius, kad gauti išpjovos tūrį:

Rutulio nuopjovos paviršiaus plotas

Rutulio nuopjovos visas paviršiaus plotas (pridėjus pagrindo plotą) randamas pagal formulę:

čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
Nuopjovos be pagrindo plotas yra:
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys;
  • Apskaičiuosime rutulio nuopjovos plotą S, atsiradusi dėl sukimo pusiauapskritimio, aplink ašį Ox. Pagal formulę gauname:
Reikia pastebėti, kad nuopjovos plotas visada toks pat nepriklausomai, kurioje rutulio dalyje yra rutulio aukštinė h. Rutulio nuopjovos plotas priklauso tik nuo nuopjovos aukštinės h ilgio ir rutulio spindulio R.

Rutulio išpjovos paviršiaus plotas

Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos ploto formulė yra:

čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.

Rutulio sluoksnio paviršiaus plotas

Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h plotas yra:
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.
Rutulio sluoksnio plotas, neįskaitant pagrindų plotų, yra:
Rutulio spindulį R ir rutulio sluoksnio pagrindų spindulius, bei sluoksnio aukštinę h, jungia toks sąryšis:
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.