Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys: Skirtumas tarp puslapio versijų

Pereiti į navigaciją Jump to search
*Išspręskime lygtį
:<math>y''-4y'+13y=x e^{-2x}.</math>
:''Sprendimas''. Kadangi charakteringoji lygtis <math>k^2+4k+13=0</math> turi šaknis <math>k_{1, 2}=-2\pm 3i,</math> tai homogeninės lygties <math>y''-4y'+13y=0</math> bendrasis sprendinys <math>\bar{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)).</math>
:Kai <math>f(x)=x e^{-2x}, </math> tai dešinioji lygties pusė turi išraišką <math>P_n(x) e^{\alpha x}.</math>
:Kadangi šį kartą <math>P_n(x)=x</math> yra pirmojo laipsnio daugianaris, o <math>\alpha=-2</math> nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad <math>\alpha=-2</math> sutampa su šaknų <math>-2\pm 3i</math> realiąja dalimi), tai sprendinio <math>\tilde{y}</math> išraišką nusako (50) formulė. Taigi
:<math>\tilde{y}=(ax+b)e^{-2x}.</math>
:Randame išvestines:
:<math>x^0\quad | \; -6a+19b=0.</math>
:Iš sistemos randame: <math>a=\frac{1}{25}=0.04, \; b=\frac{6a}{19}=\frac{6}{25\cdot 19}=\frac{6}{475}=0.012631579.</math> Todėl <math>\tilde{y}=\left(\frac{x}{25}+\frac{6}{475}\right)e^{-2x}.</math> Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
:<math>y=\bar{y}+\tilde{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x))+\left(\frac{x}{25}+\frac{6}{475}\right)e^{-2x}.</math>
:Patikriname:
:<math>\tilde{y}'=\left(\left(\frac{x}{25}+\frac{6}{475}\right)e^{-2x}\right)'=\frac{1}{25}e^{-2x}-2\left(\frac{x}{25}+\frac{6}{475}\right)e^{-2x},</math>
5 067

pakeitimai

Naršymo meniu