Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
185 eilutė: | 185 eilutė: | ||
*Išspręskime lygtį |
|||
:<math>y''+4y'+13y=x e^{-2x}.</math> |
:<math>y''+4y'+13y=x e^{-2x}.</math> |
||
:''Sprendimas''. Kadangi charakteringoji lygtis <math>k^2+4k+13=0</math> turi šaknis <math>k_{1, 2}=-2\pm 3i,</math> tai homogeninės lygties <math>y''+4y'+13y=0</math> bendrasis sprendinys <math>\bar{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)).</math> |
:''Sprendimas''. Kadangi charakteringoji lygtis <math>k^2+4k+13=0</math> turi šaknis <math>k_{1, 2}=-2\pm 3i,</math> tai homogeninės lygties <math>y''+4y'+13y=0</math> bendrasis sprendinys <math>\bar{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)).</math> |
||
202 eilutė: | 202 eilutė: | ||
:<math>x^1\quad | \; 9a=1, </math> |
:<math>x^1\quad | \; 9a=1, </math> |
||
:<math>x^0\quad | \; 2a+11b=0.</math> |
:<math>x^0\quad | \; 2a+11b=0.</math> |
||
:Iš sistemos randame: <math>a=\frac{1}{9}=0.(1), \; b=\frac{2a}{11}=\frac{2}{9\cdot 11}=\frac{2}{99}=0.(02).</math> Todėl <math>\tilde{y}=\left(\frac{ |
:Iš sistemos randame: <math>a=\frac{1}{9}=0.(1), \; b=\frac{2a}{11}=\frac{2}{9\cdot 11}=\frac{2}{99}=0.(02).</math> Todėl <math>\tilde{y}=\left(\frac{1}{9}x+\frac{2}{99}\right)e^{-2x}.</math> Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra |
||
:<math>y=\bar{y}+\tilde{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x))+\left(\frac{ |
:<math>y=\bar{y}+\tilde{y}=e^{-2x}(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x))+\left(\frac{1}{9}x+\frac{2}{99}\right)e^{-2x}.</math> |
||
:'''b)''' Kai <math>f(x)=e^{-2x}\sin(3x),</math> tai dešinioji lygties pusė turi išraišką, apibrėžiamą formule <math>f(x)=R_m(x) e^{\alpha x} \cos(\beta x).</math> Šį kartą <math>\alpha=-2, \; \beta =3</math> ir dydis <math>\alpha+\beta i=-2+3i</math> sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl atskirojo sprendinio <math>\tilde{y}</math> išraišką nusako (55) formulė. Taigi |
:'''b)''' Kai <math>f(x)=e^{-2x}\sin(3x),</math> tai dešinioji lygties pusė turi išraišką, apibrėžiamą formule <math>f(x)=R_m(x) e^{\alpha x} \cos(\beta x).</math> Šį kartą <math>\alpha=-2, \; \beta =3</math> ir dydis <math>\alpha+\beta i=-2+3i</math> sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl atskirojo sprendinio <math>\tilde{y}</math> išraišką nusako (55) formulė. Taigi |
||
:<math>\tilde{y}=xe^{-2x}(M\cos(3x)+N\sin(3x)).</math> |
:<math>\tilde{y}=xe^{-2x}(M\cos(3x)+N\sin(3x)).</math> |
||
224 eilutė: | 224 eilutė: | ||
Išspręskime lygtį |
*Išspręskime lygtį |
||
:<math>y''-4y'+13y=f(x),</math> |
:<math>y''-4y'+13y=f(x),</math> |
||
:kai: a) <math>f(x)=x e^{-2x}; </math> b) <math>f(x)= e^{-2x} \sin(3x). </math> |
:kai: a) <math>f(x)=x e^{-2x}; </math> b) <math>f(x)= e^{-2x} \sin(3x). </math> |
20:50, 17 balandžio 2012 versija
Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties atskirojo sprendinio parinkimo metodas (I.)
- Nagrinėkime lygtį
- kurios koeficientai ir yra pastovūs, o dešinioji pusė gali įgyti tam tikras išraiškas.
- Tarkime, kad yra daugianario ir rodiklinės funkcijos sandauga:
- čia - n-tojo laipsnio daugianaris, - realusis skaičius.
- Atskirojo sprendinio ieškosime tardami, kad jis irgi yra n-tojo laipsnio daugianaris su neapibrėžtais koeficientais ir rodiklinės funkcijos sandauga:
- Kadangi apibrėžtas (50) formule, yra (49) lygties atskirasis sprendinys, tai jis turi tikti tai lygčiai. Randame ir
- Įrašę jas į (49) lygtį, gauname tapatybę
- Ją pertvarkę ir suprastinę iš turime:
- 1. Kai nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi, tai (ir ) ir kairiojoje lygybės pusėje, kaip ir dešiniojoje , yra n-tojo laipsnio daugianaris. Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, galime rasti daugianario koeficientus.
- 2. Kai sutampa su viena nekartotine charakteringosios lygties () šaknimi, tai bet Kadangi yra -ojo laipsnio daugianaris, tai (51) lygybė negali būti tapatybė. Todėl, parinkdami atskirąjį sprendinį turime imti -ojo laipsnio daugianarį, tiesa, be laisvojo nario, nes diferencijuojant jis ir taip dingsta. Šį kartą
- (Pagal sąlygą kairė pusė turi būti tokio pačio laipsnio kaip ir bet prie gavome koeficientą nulį, nes , todėl kad kairėje pusėje gauti padauginome iš x.)
- 3. Kai sutampa su kartotine charakteringosios lygties () šaknimi, tai Kadangi pagal Vieto teoremą,
- tai ir yra -ojo laipsnio daugianaris, todėl (51) lygybės kairiojoje pusėje yra -ojo laipsnio daugianaris (). Vadinasi, (51) lygybė negali būti tapatybė. Šį kartą turime parinkti
Pavyzdžiai
- Išspręskime lygtį
- kai: a) b)
- Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties () bendrasis sprendinys
- Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
- a) Kai tai daugianaris (jis yra antrojo laipsnio) ir Kadangi nesutampa nė su viena charakteringosios lygties šaknimi, tai, pagal (50) formulę,
- (daugianaris nes jis turi būti antrojo laipsnio; beje, pirmojo laipsnio daugianaris yra trečiojo laipsnio ir t.t.).
- Toliau randame:
- Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
- Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
- Iš jos randame: Todėl ir bendrasis duotosios lygties sprendinys
- b) Kai tai Kadangi yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl, pagal (52) formulę,
- Toliau sprendžiama analogiškai a) atvejui.
- Randame išvestines:
- Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
- Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
- Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties () sprendinys yra
- Išspręskime lygtį
- Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
- Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
- Kai tai Kadangi yra nulinio laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
- Randame išvestines:
- Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
- Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
- Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
- Patikriname:
- Išspręskime lygtį
- Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
- Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
- Kai tai Kadangi yra nulinio laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
- Randame išvestines:
- Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
- Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname
- Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties () sprendinys yra
- Patikriname:
Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties atskirojo sprendinio parinkimo metodas (II.)
- Tarkime, kad
- čia ir - atitinkamai n-tojo ir m-tojo laipsnio daugianariai, - realieji skaičiai. Pažymėkime (jei m>n, tada l=m; jei m<n, tada l=n).
- 1. Kai nėra charakteringosios lygties šaknis, tai atskirąjį (49) lygties sprendinį rasime pagal formulę
- čia - l-tojo laipsnio daugianariai su neapibrėžtais koeficientais.
- 2. Kai sutampa su charakteringosios lygties () šaknimi, tai atskirasis sprendinys gaunamas iš (54) formulės, padauginus dešiniąją jos pusę iš x. Taigi
- Paminėsime, kad ir tuo atveju, kai funkcija sudaro tik vienas dėmuo arba atskirasis sprendinys nusakomas (54) arba (55) formule (taigi jį sudaro du dėmenys).
Pavyzdžiai
- Išspręskime lygtį
- Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis tai
- Šiame pavyzdyje taigi dydis nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi. Todėl, ieškodami taikysime (54) formulę. Kadangi prie yra pastovus daugiklis 3 (), tai vietoj daugianarių ir rašysime nežinomus skaičius M ir N. Taigi
- Randame:
- Įrašę ir išraiškas į duotąją lygtį, gauname tapatybę
- Sulyginę koeficientus prie ir gauname dvi lygtis:
- Padaugine antrą lygtį iš dviejų ir pridėję prie pirmos gauname:
- Ši sistema turi sprendinį
- Taigi
- o bendrasis duotosios lygties () sprendinys
- Išspręskime lygtį
- Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
- Kai tai dešinioji lygties pusė turi išraišką
- Kadangi šį kartą yra pirmojo laipsnio daugianaris, o nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad sutampa su šaknų realiąja dalimi), tai sprendinio išraišką nusako (50) formulė. Taigi
- Randame išvestines:
- Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
- Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
- Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
- b) Kai tai dešinioji lygties pusė turi išraišką, apibrėžiamą formule Šį kartą ir dydis sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl atskirojo sprendinio išraišką nusako (55) formulė. Taigi
- Randame:
- Įrašę ir išraiškas į duotąją lygtį, sutraukę panašiuosius narius ir suprastinę iš gauname tapatybę
- Išspręskime lygtį
- kai: a) b)
- Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
- a) Kai tai dešinioji lygties pusė turi išraišką
- Kadangi šį kartą yra pirmojo laipsnio daugianaris, o nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad sutampa su šaknų realiąja dalimi), tai sprendinio išraišką nusako (50) formulė. Taigi
- Randame išvestines:
- Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
- Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
- Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
- Patikriname: