Ištrintas turinys Pridėtas turinys
18 eilutė:
18 eilutė:
==Įrodymas, kad <math>{\rm Si}(x) =\pi/2</math> ==
==Įrodymas, kad <math>{\rm Si}(\infty ) =\pi/2</math> ==
:Užrašykime
<math>{\rm Si}(\infty)=\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\; \mathbf{d}t,</math>
==Nuorodos==
==Nuorodos==
13:07, 31 gruodžio 2011 versija
S
i
(
x
)
=
∫
0
x
sin
t
t
d
t
.
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.}
s
i
(
x
)
=
−
∫
x
∞
sin
t
t
d
t
.
{\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt.}
S
i
(
∞
)
=
∫
0
∞
sin
t
t
d
t
=
π
2
.
{\displaystyle {\rm {Si}}(\infty )=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}.}
Sinuso Integralo užrašymas Teiloro eilute
Kadangi sinuso Teiloro eilutetė yra
sin
t
=
t
−
t
3
3
!
+
t
5
5
!
−
t
7
7
!
+
t
9
9
!
−
t
11
11
!
+
⋯
,
{\displaystyle \sin t=t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+{\frac {t^{9}}{9!}}-{\frac {t^{11}}{11!}}+\cdots ,}
tai gauname, kad
sin
t
t
=
1
−
t
2
3
!
+
t
4
5
!
−
t
6
7
!
+
t
8
9
!
−
t
10
11
!
+
⋯
;
{\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}=1-{\frac {t^{2}}{3!}}+{\frac {t^{4}}{5!}}-{\frac {t^{6}}{7!}}+{\frac {t^{8}}{9!}}-{\frac {t^{10}}{11!}}+\cdots ;}
toliau integruodami šią eilutę gauname
S
i
(
x
)
=
∫
0
x
sin
t
t
d
t
=
∫
0
x
(
1
−
t
2
3
!
+
t
4
5
!
−
t
6
7
!
+
t
8
9
!
−
t
10
11
!
+
⋯
)
d
t
=
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\int _{0}^{x}(1-{\frac {t^{2}}{3!}}+{\frac {t^{4}}{5!}}-{\frac {t^{6}}{7!}}+{\frac {t^{8}}{9!}}-{\frac {t^{10}}{11!}}+\cdots )\,dt=}
=
(
t
−
t
3
3
!
⋅
3
+
t
5
5
!
⋅
5
−
t
7
7
!
⋅
7
+
t
9
9
!
⋅
9
−
t
11
11
!
⋅
11
+
⋯
)
|
0
x
=
{\displaystyle =(t-{\frac {t^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {t^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {t^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {t^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {t^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots )|_{0}^{x}=}
=
x
−
x
3
3
!
⋅
3
+
x
5
5
!
⋅
5
−
x
7
7
!
⋅
7
+
x
9
9
!
⋅
9
−
x
11
11
!
⋅
11
+
⋯
.
{\displaystyle =x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots .}
Belieka pasakyti, kad Sinuso Integralo išvestinės lygios nuliui nuo nulio (antra ir trečia, pavyzdžiui, o pirmos riba lygi 1), todėl negalima gauti šios eilutės įprastai naudojantis Teiloro eilutės formule.
Įrodymas, kad
S
i
(
∞
)
=
π
/
2
{\displaystyle {\rm {Si}}(\infty )=\pi /2}
Užrašykime
S
i
(
∞
)
=
∫
0
∞
sin
t
t
d
t
,
{\displaystyle {\rm {Si}}(\infty )=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\;\mathbf {d} t,}
Nuorodos