Matematika/Sinuso Integralas

${\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.$

${\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt.$

${\rm {Si}}(\infty )=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}.$

Sinuso Integralo užrašymas Teiloro eilute

Kadangi sinuso Teiloro eilutetė yra

$\sin t=t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+{\frac {t^{9}}{9!}}-{\frac {t^{11}}{11!}}+\cdots ,$

tai gauname, kad

${\frac {\sin t}{t}}=1-{\frac {t^{2}}{3!}}+{\frac {t^{4}}{5!}}-{\frac {t^{6}}{7!}}+{\frac {t^{8}}{9!}}-{\frac {t^{10}}{11!}}+\cdots ;$

toliau integruodami šią eilutę gauname

${\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\int _{0}^{x}(1-{\frac {t^{2}}{3!}}+{\frac {t^{4}}{5!}}-{\frac {t^{6}}{7!}}+{\frac {t^{8}}{9!}}-{\frac {t^{10}}{11!}}+\cdots )\,dt=$

$=(t-{\frac {t^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {t^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {t^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {t^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {t^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots )|_{0}^{x}=$

$=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots .$

Belieka pasakyti, kad Sinuso Integralo išvestinės lygios nuliui nuo nulio (antra ir trečia, pavyzdžiui, o pirmos riba lygi 1), todėl negalima gauti šios eilutės įprastai naudojantis Teiloro eilutės formule.

Nuorodos

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• Sinuso Integralo įrodymas
• Sinuso Integralo užrašymo Teiloro eilute įrodymas