Aptarimas:Matematika/Makloreno eilutės: Skirtumas tarp puslapio versijų

Page contents not supported in other languages.
Iš Wikibooks.
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos
Vituzzu (aptarimas | indėlis)
S Atmestas Maloneypark (Aptarimas) pakeitimas; sugrąžinta naudotojo Versatranitsonlywaytofly versija
200 eilutė: 200 eilutė:
:+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99)=
:+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99)=
:=0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=0.678172176.
:=0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=0.678172176.

[http://editingwritingservices.org/article.php article writing services]

11:02, 20 spalio 2011 versija

Bus per Pitagoro teoremą įrodyta, kad sinuso, kosinuso eilutės ir skaičiuotuvo reikšmės yra teisingos.

Iš pradžiu, paliginsime kalkuliatoriaus reikšme, tam tikram kampui k su Tailoro eilutės rezultatu. Tarkim, kampas k=60 laipsnių arba radianų. Tuomet kalkuliatoriaus reikšmė:

Net po salyginai trumpos eilutės atsakymo tikslumas gavosi =>9 skaičiai po kablelio.

Kai kampas k=1 radianas, tada .

Tariam, kad , o . Kampas k šioje užduotyje yra lygus 1 radianui (k=1). Tiesės a reikšmės gali būti nuo 0 iki 1. Tiesės b reikšmės gali būti nuo 0 iki 1.

Dabar toliau labai svarbu apčiupti bet kuriuos taškus ant apskritimo, kurio spindulys r=1, bet, kad tie taškai sujungtų daug trumpų tiesių taip, kad tos sujungtos tiesės labai primintų apskritimo lanko formą ir kad kiekviena tiesė nebūtų ilgesnė 3 kartus už betkurią kitą tiesę, kuri jungia bet kuriuos 2 taškus. Taigi, pradedame rinkti taškus ant Ox ašies: ; ; ; ; ; ; ; ; koordinatės gali ir neprireikti, nes negali būti labai maža reikšmė. Kiekvieno taško koordinatės ant apskritimo lanko bus užrašytos šitaip: , , Dalį koordinačių jau galima užrašyti dabar: , . Likusią dalį koordinačių gausime pasinaudoję Pitagoro teorema:

Dabar žinome visų reikiamų taškų, esančių ant apskritimo lanko, koordinates: , .

Jeigu kalkuliatorius suranda teisingai ir reikšmes, tai sudėję visus tiesių ilgius (šių tiesių ilgiai bus surasti), kuriuos sudaro taškai turėtume gauti kampą k .

Yra žinoma, kad atstumas h nuo vieno taško iki kito taško yra randamas pagal formulę:

Todėl:

Matome, kad , bet sudėjus 5 dalis gaunama arba sudėjus 6 dalis gaunama (todėl tikslingiau būtų skirstyti po 0,05 tiesę a, kad gautusi 0,55). Bet , todėl arba 1-0,5=0.5 arba 1-0.6=0.4. Su sinusu reikalai yra tokie .

Matome, kad sudejus tik penkias dalis, gaunami atsakymai artimesni skaičiuotuvu gautai reikšmei nei sudėjus 6 dalis.

Štai dar kalkuliatoriumi gautos reikšmės palygintos su per Pitagoro teoremą gautomis reikšmėmis:
prieš 0,5.
prieš 0,866025401.
prieš 0,4.
prieš 0,916515136.

proof or disprove

that :. I will calculate area under line y=1/x. I will divide this line into a) 10 parts, b) 20 parts, c) 30 parts.

a) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10)=2.928968254 - this is approximate area under line y=1/x, 0<=x<=10. And
b) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20)= 2.928968254+0.668771403=3.597739657 - this is approximate area under line y=1/x, 1<=x<=20. And
c) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30)= 2.928968254+0.668771403+0.397247473=3.994987131 - this is approximate area under line y=1/x, 1<=x<=30. And And area of line in interval 1<x<=30 is ln(30)-ln(1.1)=3.401197382-0.095310179=3.305887202.
d) I will calculate area under line y=1/x in interval 10<x<30. This is

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30)= 0.668771403+0.397247473=1.066018877. And in integration way ln(30)-ln(10)=3.401197382-2.302585093=1.098612289; 10<=x<=30. Looks the same, and I think this is proved.

Įrodyti arba paneigti

kad . Aš suskaičiuosiu plotą po [hiperbolės] y=1/x šaka. Aš suskirstysiu šios šakos projekciją į a) 10 dalių, b) 20 dalių, c) 30 dalių.

a) 1*(1.1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10)=2.928968254 - tai apytikslis plotas po hiperbole y=1/x, kai 1<=x<=10. Kalkuliatoriaus reikšmė yra:
b) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19)= 3.547739657 - tai apytikslis plotas po hiperbolės y=1/x šaka, kai 1<=x<=20. Kalkuliatoriaus reikšmė yra
c) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29)= 3.961653798, tai yra apytikslis plotas po hiperbolės y=1/x šaka, kai 1<=x<=30. Kalkuliatoriaus reikšmė, kai 1<x<=30 yra ln(30)-ln(1.1)=3.401197382-0.095310179=3.305887202 arba tiksliau ln(30)-ln(1.01)=3.401197382-0.00995033=3.391247051. O visiškai tiksliai: ln(30)-ln(1)=3.401197382-0=3.401197382.
d) Aš suskaičiuosiu plotą po parablės y=1/x šaka intervale, kai 10<x<30. Ir gaunu:

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30)= 0.668771403+0.397247473=1.066018877. O integruojant ir pasinaudojant kalkuliatoriumi skaičiuoti naturinį logoritmą gaunu: ln(30)-ln(10)=3.401197382-2.302585093=1.098612289; 10<=x<=30. Atrodo panašiai (tikslumas vienas skaičius po kablelio), manau naturinio algoritmo teisingumas įrodytas.

Įrodymas sudedant iš dalių

Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 2<x<50. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 2 iki 50. Integruojant atsakymas yra:

O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 50-2=48 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+
+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49)=
=1.928968254+0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.200662299=3.479205337.
  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 10<x<50. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 10 iki 50. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 50-10=40 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50)=
=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299=1,570237083.
  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 10<x<80. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 10 iki 80. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 80-10=70 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+
+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80)=
=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.132642521=
=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.132642521=2.036511022.
  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 11<x<80. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 11 iki 80. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 80-11=69 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+
+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79)=
=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.120142521=
=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.120142521=2.024011022.


  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 10<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 10 iki 100. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-10=90 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+
+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+
+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+
+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99+1/100)=
=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.104806914=
=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.104806914=
=2.036511022+0.117091323+0.104806914=2.25840926.
  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 11<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 11 iki 100. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-11=89 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+
+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+
+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+
+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99)=
=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=
=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=
=2.036511022+0.117091323+0.094806914=2.24840926.


  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 50<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 50 iki 100. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-50=50 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+
+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+
+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99+1/100)=
=0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.104806914=0.688172176.
  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 51<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 51 iki 100. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-51=49 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+
+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+
+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99)=
=0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=0.678172176.