Ištrintas turinys Pridėtas turinys
53 eilutė:
53 eilutė:
:taške <math>M(x_1; \; y_1),</math> kuriai <math>t=\frac{\pi}{4}.</math>
:taške <math>M(x_1; \; y_1),</math> kuriai <math>t=\frac{\pi}{4}.</math>
:''Sprendimas''. Iš lygčių (1) randame:
:''Sprendimas''. Iš lygčių (1) randame:
:<math>\frac{dx}{dt}=-a\sin t; \;\; \frac{dy}{dt}=b\cos t; \;\; \frac{dy}{dx}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t; \;\; k=\left(\frac{dx}{dt}\right)_{t=\frac{\pi}{4}}=-\frac{b}{a}\cot\frac{\pi}{4}=-\frac{b}{a}.</math>
:<math>\frac{dx}{dt}=-a\sin t; \;\; \frac{dy}{dt}=b\cos t; \;\; \frac{dy}{dx}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t; \;\; k=\left(\frac{dy }{dx }\right)_{t=\frac{\pi}{4}}=-\frac{b}{a}\cot\frac{\pi}{4}=-\frac{b}{a}.</math>
:Randame koordinates susilietimo taško ''M'':
:Randame koordinates susilietimo taško ''M'':
:<math>x_1=(x)_{t=\frac{\pi}{4}}=a\cos \frac{\pi}{4}=\frac{a}{\sqrt{2}}, \quad y_1=(y)_{t=\frac{\pi}{4}}=b\sin \frac{\pi}{4}=\frac{a}{\sqrt{2}}.</math>
:<math>x_1=(x)_{t=\frac{\pi}{4}}=a\cos \frac{\pi}{4}=\frac{a}{\sqrt{2}}, \quad y_1=(y)_{t=\frac{\pi}{4}}=b\sin \frac{\pi}{4}=\frac{a}{\sqrt{2}}.</math>
66 eilutė:
66 eilutė:
:Ilgis subnormalės:
:Ilgis subnormalės:
:<math>S_N=y_1 k=\left|\frac{b}{\sqrt{2}}\left(-\frac{b}{a}\right)\right|=\frac{b^2}{a\sqrt{2}}.</math>
:<math>S_N=y_1 k=\left|\frac{b}{\sqrt{2}}\left(-\frac{b}{a}\right)\right|=\frac{b^2}{a\sqrt{2}}.</math>
:Ilgiai liestinės ir normalės:
:<math>T=\left|\frac{\frac{b}{\sqrt{2}}}{-\frac{b}{a}}\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2+1}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{a^2+b^2};</math>
10:47, 16 rugpjūčio 2011 versija
Angliškai liestinės projekcija vadinasi subtangent , o liestinės normalės projekcija vadinasi subnormal . Rusiškai liestinės projekcija vadinasi подкасательная , o liestinės normalės projekcija vadinasi поднормаль .
Lygtis liestinės ir normalės. Ilgiai subtangentės ir subnormalės
Panagrinėkime kreivę, lygtis kurios yra
y
=
f
(
x
)
.
{\displaystyle y=f(x).\;}
Paimsime ant šitos kreivės tašką
M
(
x
1
;
y
1
)
{\displaystyle M(x_{1};y_{1})\;}
ir parašysime lygtį lietinės šitai kreivei taške M , tarę, kad šita liestinė ne lygiagreti ordinačių ašiai.
Lygtis tiesės su krypties koeficientų k , praeinančios per tašką M , turi pavidalą
y
−
y
1
=
k
(
x
−
x
1
)
.
{\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1}).}
Liestinei
k
=
f
′
(
x
1
)
,
{\displaystyle k=f'(x_{1}),\;}
todėl lygtis liestinės turi pavidalą
y
−
y
1
=
f
′
(
x
1
)
(
x
−
x
1
)
.
{\displaystyle y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1}).\;}
Drauge su liestine kreivės duotame taške dažnai tenka nagrinėti normalę.
Apibrėžimas . Kreivės normale duotame taške vadinama tiesė, praeinanti per duotą tašką, statmenai liestinei duotame taške.
Iš normalės apibrėžimo seka, kad jos krypties koficientas
k
n
{\displaystyle k_{n}}
surištas su koeficientu
k
t
{\displaystyle k_{t}}
liestinės lygybe
k
n
=
−
1
k
t
,
{\displaystyle k_{n}=-{\frac {1}{k_{t}}},}
t. y.
k
n
=
−
1
f
′
(
x
1
)
.
{\displaystyle k_{n}=-{\frac {1}{f'(x_{1})}}.}
Iš to seka, kad lygtis normalės kreivės
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)\;}
taške
M
(
x
1
;
y
1
)
{\displaystyle M(x_{1};y_{1})}
turi pavidalą
y
−
y
1
=
−
1
f
′
(
x
1
)
(
x
−
x
1
)
.
{\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {1}{f'(x_{1})}}(x-x_{1}).}
Ilgis T atkarpos QM liestinės, esančios tarp susilietimo taško ir ašies Ox , vadinamas liestinės ilgiu . Projekcija šitos atkarpos ant ašies Ox , t. y. atkarpa QP , vadinasi subtangentė ; ilgis subtangentės žymimas
S
T
.
{\displaystyle S_{T}.\;}
Ilgis N atkarpos MR vadinasi normalės ilgiu , o projekcija RP atkarpos RM ant ašies Ox vadinasi subnormale ; ilgis subnormalės žymimas
S
N
.
{\displaystyle S_{N}.\;}
Rasime dydžius
T
{\displaystyle T}
,
S
T
{\displaystyle S_{T}}
,
N
,
{\displaystyle N,}
S
N
{\displaystyle S_{N}}
kreivei
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)\;}
ir taškui
M
(
x
1
;
y
1
)
.
{\displaystyle M(x_{1};\;y_{1}).}
Iš paveikslėlio 87 matyti, kad
Q
P
=
T
⋅
cos
α
=
y
1
⋅
T
cos
α
y
1
=
y
1
⋅
T
cos
α
T
sin
α
=
y
1
⋅
cos
α
sin
α
=
y
1
cot
α
=
y
1
tan
α
=
y
1
y
1
′
,
{\displaystyle QP=T\cdot \cos \alpha =y_{1}\cdot {\frac {T\cos \alpha }{y_{1}}}=y_{1}\cdot {\frac {T\cos \alpha }{T\sin \alpha }}=y_{1}\cdot {\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=y_{1}\cot \alpha ={\frac {y_{1}}{\tan \alpha }}={\frac {y_{1}}{y_{1}'}},}
todėl
S
T
=
|
y
1
y
1
′
|
,
{\displaystyle S_{T}=\left|{\frac {y_{1}}{y_{1}'}}\right|,}
T
=
y
1
2
+
y
1
2
(
y
1
′
)
2
=
|
y
1
y
1
′
y
1
′
2
+
1
|
.
{\displaystyle T={\sqrt {y_{1}^{2}+{\frac {y_{1}^{2}}{(y_{1}')^{2}}}}}=|{\frac {y_{1}}{y_{1}'}}{\sqrt {y_{1}'^{2}+1}}|.}
Toliau iš šito pačio paveikslėlio aišku, kad
P
R
=
y
1
tan
α
=
y
1
y
1
′
,
{\displaystyle PR=y_{1}\tan \alpha =y_{1}y_{1}',\;}
todėl
S
N
=
|
y
1
y
1
′
|
,
{\displaystyle S_{N}=|y_{1}y_{1}'|,\;}
N
=
y
1
2
+
(
y
1
y
1
′
)
2
=
|
y
1
1
+
y
1
′
2
|
.
{\displaystyle N={\sqrt {y_{1}^{2}+(y_{1}y_{1}')^{2}}}=|y_{1}{\sqrt {1+y_{1}'^{2}}}|.}
Šitos formulės išvestos tariant, kad
y
1
>
0
,
y
1
′
>
0.
{\displaystyle y_{1}>0,\;\;y_{1}'>0.}
Tačiau jos išsisaugo ir bendru atveju.
Pavyzdžiai
Parašyti lygtį liestinės ir normalės kreivės
y
=
x
3
{\displaystyle y=x^{3}}
taške M (1; 1).
Sprendimas . Kadangi
y
′
=
3
x
2
,
{\displaystyle y'=3x^{2},}
tai kampinis koeficientas liestinės lygūs
k
=
(
y
′
)
x
=
1
=
3
⋅
1
2
=
3.
{\displaystyle k=(y')_{x=1}=3\cdot 1^{2}=3.}
Iš to seka lygtis liestinės:
y
−
y
1
=
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1});}
y
−
1
=
3
(
x
−
1
)
{\displaystyle y-1=3(x-1)}
arba
y
=
3
x
−
2.
{\displaystyle y=3x-2.}
Lygtis normalės:
y
−
y
1
=
−
1
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {1}{k}}(x-x_{1});}
y
−
1
=
−
1
3
(
x
−
1
)
{\displaystyle y-1=-{\frac {1}{3}}(x-1)}
arba
y
=
−
1
3
x
+
4
3
.
{\displaystyle y=-{\frac {1}{3}}x+{\frac {4}{3}}.}
Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės elipsei:
x
=
a
cos
t
,
y
=
b
sin
t
(
1
)
{\displaystyle x=a\cos t,\quad y=b\sin t\quad (1)}
taške
M
(
x
1
;
y
1
)
,
{\displaystyle M(x_{1};\;y_{1}),}
kuriai
t
=
π
4
.
{\displaystyle t={\frac {\pi }{4}}.}
Sprendimas . Iš lygčių (1) randame:
d
x
d
t
=
−
a
sin
t
;
d
y
d
t
=
b
cos
t
;
d
y
d
x
=
b
cos
t
−
a
sin
t
=
−
b
a
cot
t
;
k
=
(
d
y
d
x
)
t
=
π
4
=
−
b
a
cot
π
4
=
−
b
a
.
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-a\sin t;\;\;{\frac {dy}{dt}}=b\cos t;\;\;{\frac {dy}{dx}}={\frac {b\cos t}{-a\sin t}}=-{\frac {b}{a}}\cot t;\;\;k=\left({\frac {dy}{dx}}\right)_{t={\frac {\pi }{4}}}=-{\frac {b}{a}}\cot {\frac {\pi }{4}}=-{\frac {b}{a}}.}
Randame koordinates susilietimo taško M :
x
1
=
(
x
)
t
=
π
4
=
a
cos
π
4
=
a
2
,
y
1
=
(
y
)
t
=
π
4
=
b
sin
π
4
=
a
2
.
{\displaystyle x_{1}=(x)_{t={\frac {\pi }{4}}}=a\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {a}{\sqrt {2}}},\quad y_{1}=(y)_{t={\frac {\pi }{4}}}=b\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}.}
Liestinės lygtis:
y
−
y
1
=
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1});}
y
−
b
2
=
−
b
a
(
x
−
a
2
)
,
{\displaystyle y-{\frac {b}{\sqrt {2}}}=-{\frac {b}{a}}\left(x-{\frac {a}{\sqrt {2}}}\right),}
arba
b
x
+
a
y
−
a
b
2
=
0.
{\displaystyle bx+ay-ab{\sqrt {2}}=0.}
Normalės lygtis:
y
−
y
1
=
−
1
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {1}{k}}(x-x_{1});}
y
−
b
2
=
a
b
(
x
−
a
2
)
,
{\displaystyle y-{\frac {b}{\sqrt {2}}}={\frac {a}{b}}\left(x-{\frac {a}{\sqrt {2}}}\right),}
arba
(
a
x
−
b
y
)
2
−
a
2
+
b
2
=
0.
{\displaystyle (ax-by){\sqrt {2}}-a^{2}+b^{2}=0.}
Ilgis subtangentės:
S
T
=
|
y
1
k
|
=
|
b
2
−
b
a
|
=
a
2
.
{\displaystyle S_{T}=\left|{\frac {y_{1}}{k}}\right|=\left|{\frac {\frac {b}{\sqrt {2}}}{-{\frac {b}{a}}}}\right|={\frac {a}{\sqrt {2}}}.}
Ilgis subnormalės:
S
N
=
y
1
k
=
|
b
2
(
−
b
a
)
|
=
b
2
a
2
.
{\displaystyle S_{N}=y_{1}k=\left|{\frac {b}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {b}{a}}\right)\right|={\frac {b^{2}}{a{\sqrt {2}}}}.}
Ilgiai liestinės ir normalės:
T
=
|
b
2
−
b
a
(
−
b
a
)
2
+
1
|
=
1
2
a
2
+
b
2
;
{\displaystyle T=\left|{\frac {\frac {b}{\sqrt {2}}}{-{\frac {b}{a}}}}{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}+1}}\right|={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}};}