|
|
308 eilutė: |
308 eilutė: |
|
:Pasinaudodami šiuo pavyzdžiu patvirtinsime šias formules: |
|
:Pasinaudodami šiuo pavyzdžiu patvirtinsime šias formules: |
|
:<math>x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2p;</math> |
|
:<math>x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2p;</math> |
|
:<math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=3q;</math> |
|
:<math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3q;</math> |
|
:<math>x_1^4+x_2^4+x_3^4=2p^2;</math> |
|
:<math>x_1^4+x_2^4+x_3^4=2p^2;</math> |
|
:<math>x_1^5+x_2^5+x_3^5=-5pq;</math> |
|
:<math>x_1^5+x_2^5+x_3^5=-5pq;</math> |
|
:čia <math>p=-12</math>, <math>q=16</math>, <math>x_1=-4</math>, <math>x_2=2</math>, <math>x_3=2</math>. Atitinkamai turime: |
|
:čia <math>p=-12</math>, <math>q=16</math>, <math>x_1=-4</math>, <math>x_2=2</math>, <math>x_3=2</math>. Atitinkamai turime: |
|
:<math>(-4)^2+2^2+2^2=16+4+4=24=-2\cdot 12;</math> |
|
:<math>(-4)^2+2^2+2^2=16+4+4=24=-2\cdot 12;</math> |
|
:<math>(-4)^3+2^3+2^3=-64+8+8=-48=3\cdot 16;</math> |
|
:<math>(-4)^3+2^3+2^3=-64+8+8=-48=-3\cdot 16;</math> |
|
:<math>(-4)^4+2^4+2^4=256+16+16=288=2\cdot (-12)^2=2\cdot 144;</math> |
|
:<math>(-4)^4+2^4+2^4=256+16+16=288=2\cdot (-12)^2=2\cdot 144;</math> |
|
:<math>(-4)^5+2^5+2^5=-1024+32+32=960=-5\cdot (-12)\cdot 16.</math> |
|
:<math>(-4)^5+2^5+2^5=-1024+32+32=960=-5\cdot (-12)\cdot 16.</math> |
321 eilutė: |
321 eilutė: |
|
:<math>-2(-x_1^2+\frac{x_1^2}{4})=2x_1^2-\frac{x_1^2}{2}=-2p.</math> |
|
:<math>-2(-x_1^2+\frac{x_1^2}{4})=2x_1^2-\frac{x_1^2}{2}=-2p.</math> |
|
:Taip pat ir su ''q'', kai <math>x_2=x_3=-\frac{x_1}{2},</math> tai |
|
:Taip pat ir su ''q'', kai <math>x_2=x_3=-\frac{x_1}{2},</math> tai |
|
:<math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1^3+\left(-\frac{x_1}{2}\right)^3+\left(-\frac{x_1}{2}\right)^3=x_1^3-2\cdot \frac{x_1^3}{8}=x_1^3-\frac{x_1^3}{4}=\frac{4 x_1^3-x_1^3}{4}=\frac{3 x_1^3}{4}=3q;</math> |
|
:<math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1^3+\left(-\frac{x_1}{2}\right)^3+\left(-\frac{x_1}{2}\right)^3=x_1^3-2\cdot \frac{x_1^3}{8}=x_1^3-\frac{x_1^3}{4}=\frac{4 x_1^3-x_1^3}{4}=\frac{3 x_1^3}{4}=-3q;</math> |
|
:<math>x_1 x_2 x_3=x_1\cdot \left(-\frac{x_1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{x_1}{2}\right)=\frac{x_1^3}{4}=-q,</math> |
|
:<math>x_1 x_2 x_3=x_1\cdot \left(-\frac{x_1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{x_1}{2}\right)=\frac{x_1^3}{4}=-q,</math> |
|
:<math>(-3)\cdot \frac{x_1^3}{4}=\frac{-3 x_1^3}{4}=(-3)\cdot(-q)=3q.</math> |
|
:<math>3\cdot \frac{x_1^3}{4}=\frac{3 x_1^3}{4}=-3q.</math> |
|
|
|
|
|
|
|
|
*'''Pavyzdis'''. Išspręsti lygtį |
|
*'''Pavyzdis'''. Išspręsti lygtį |
Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.
Naudosime tokį žymėjimą: x, x1, x2 ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.
Pagrindinė algebros teorema
-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).
Tiesinė lygtis
Bendra forma:
Sprendinys:
Nepilnoji kvadratinė lygtis
Bendra forma:
Sprendimas:
Pilnoji kvadratinė lygtis
Bendra forma:
Sprendimas:
randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:
Tada jei , tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:
- Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.
- Patikriname:
Kvadratinė lygtis, kurios
Bendra forma:
Sprendimas:
iškeliame x prieš skliaustus:
Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad
Kvadratinė lygtis, kurios
Duota kvadratinė lygtis:
kurią perrašome taip:
- Čia
- Todėl:
Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks
Duota kvadratinė lygtis:
kurią perrašome taip:
- Čia
- Todėl:
Bikvadratinė lygtis
Bendra forma:
Sprendimas:
pažymime , tada .
,
o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra ir .
Grįžtame prie pažymėjimo:
,
o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius .
Vijeto teorema
Jei yra lygtis
- Tai
- ir taip toliau, kur
Kadratinė lygtis
Jei yra lygtis
- tai lygties sprendiniai:
Kūbinė lygtis
Jei yra lygtis
- tai lygties sprendiniai:
Ketvirto laispnio lygtis
Jei yra lygtis
- tai lygties sprendiniai:
Pilnoji kubinė lygtis
Bendra forma:
Sprendimas:
Lygtį padalijame iš a ir keitiniu ,
pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą
.
Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:
Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:
1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.
2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.
3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.
Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis
Kai D > 0, ši šaknis vienintelė
Kai D ≤ 0, tai lygtį padaliję iš reiškinio , gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.
Kubinė lygtis, kurios
Bet kokia kūbinė lygtis, kurios yra išsprendžiama be jokių sunkumu.
- Pavyzdis Turime kūbinę lygtį be skaičiaus d. Tuomet ją sprendžiame taip:
- Vadinasi arba x=0 arba
Išsprendžiame kvadratinę lygtį ir gauname tris realiasias šaknis arba dvi, arba vieną x=0, kai diskriminantas neigiamas.
Kubinės lygties sprendimas Kordano metodu
Yra kūbinė lygtis:
- Pakeičiame gauname:
- Pažymime ir pakeitę gauname:
- Tegu yra sprendinis lygties (pagal teorema lygtis turi 3 kompleksines šaknis). Įvedame pagalbinį u ir tikimes, kad polinomas
- padės surasti [jei lygtis bus teisingai išspresta].
- Polinomo koeficientai - kompleksiniai skaičiai, ir todėl jis turi dvi kompleksines šaknis ir , be to, pagal Vijeto formulę,
- Įstatę į lygtį gauname:
- Iš lygties turime, kad:
- Todėl gauname:
- Dabar turime nauja gabaliuką iš Vijeto teoremos, tai yra lygtis Mes žinome, kad koeficientas q priklauso lygčiai . Todėl taip pat turime padaryti ir su kitu gabaliuku, kad sudėtos ir sudaugintos dalys duotų koeficientus (b ir c Vijeto teoremoje žymimi kvadratinėje lygtyje), taigi pakeliame kubu lygtyje narius , ir kitą pusę. Ir gauname:
- Šios dalys yra g ir s koeficientai kvadratinės lygties kuri turi sprendinius ir (iš Vijeto teoremos). Taigi, užtenka paaiškinimų, o dabar įstatome koeficientus į kvadratinę lygtį ir gauname:
- Randame diskriminantą:
- Randame sprendinius:
- Toliau ir įsistatome į lygtį kad surasti lygties sprendinį (šaknį) . Taigi, gauname:
- Kalbant apie kompleksinius sprendinius, negalima imti tokių sprendinių, kurie netenkina salygos
- Na, o visi sprendiniai yra šie:
- Jei sudėti ant apskritimo, kurio spindulys r=1, taškus ir , tai laipsnių, o laipsnių. Na o , todėl laipsnių (arba 0 laipsnių).
- Pavyzdis. Išspresti lygtį
- Keitinys (čia a yra koeficientas esantis prie ) suprastina šitą lygtį į tokią lygtį:
- Čia , , todėl
- t. y. lygtis turi vieną tikrąjį ir du kompleksinius sprendinius.
- Pagal formulę:
- Todėl t. y. . Du kitus sprendinius rasime pagal formules:
- Iš čia gauname, kad sprendiniai užduotos lygties yra skaičiai:
- Patikriname, kai , tai:
- Patikriname, kai , tai:
- Pavyzdis. Išspręsti lygtį
- Čia , , todėl
- Iš čia seka: t. y. Todėl
- Patikriname įstatę ir gauname:
- Patikriname įstatę ir gauname:
- Pasinaudodami šiuo pavyzdžiu patvirtinsime šias formules:
- čia , , , , . Atitinkamai turime:
- Kai tai
- Taip pat ir su q, kai tai
- Pavyzdis. Išspręsti lygtį
- Čia , , todėl
- Tokiu atveju, jeigu pasilikti srityje realiųjų skaičių, Kardano formulė šiai lygybei netinka, nors šios lygybė sprendiniai ir yra 2, 3 ir .
Kubinė lygtis
Kanoninė forma:
- Padaliname iš a ir įvedame vietoje x naują kintamjį
- kur ir
- Kardano sprendiniai
kur
- o ir yra sprendiniai lygties t. y.
- Tuo atveju, kai tris tikrieji sprendiniai išreiškiami kompleksiniais dydžiais, ir protinga naudotis lentelės skaičiavimo budu.
- Pavyzdis. Čia p=2, q=1;
- Tikrasis sprendinis yra
- Kompleksiniai sprendiniai:
- Patikriname:
- Pavyzdis. Čia p=1/3, q=1/2;
- Tikrasis sprendinis yra
- Patikriname:
- Pavyzdis. Čia p=7/3=2.3(3), q=18/2=9;
- Tikrasis sprendinis yra
- Patikriname:
Kūbinės lygties sprendiniai
Jei duota lygtis
- tai jos 3 sprendiniai yra šie:
- Pavyzdis. Rasime lygties realųjį sprendinį. Gauname:
- Patikriname:
- Galbūt nebuvo gautas 0, nes šis skaičius neturėtų būti neigiamas.
- Pavyzdis. Rasime lygties realųjį sprendinį. Gauname:
- Patikriname:
- Pavyzdis. Rasime lygties realųjį sprendinį. Gauname:
- Patikriname:
Nuorodos