Matematika/Trapecijos

Trapecija yra plokščia figūra, kuri turi keturias kraštines ir keturis kampus.

Trapecijos plotas

• Trapecijos ABCD, kurios du kampai prie pagrindo d=AD yra statūs, a=AB>CD=c, plotas yra:

$S={\frac {1}{2}}\cdot (AB-CD)\cdot AD+CD\cdot AD={\frac {1}{2}}\cdot (a-c)\cdot d+c\cdot d={\frac {a\cdot d}{2}}-{\frac {c\cdot d}{2}}+c\cdot d={\frac {a\cdot d}{2}}+{\frac {c\cdot d}{2}}={\frac {d}{2}}(a+c).$

• Tuo atveju, jei $a$ ir $b$ — pagrindai ir $h$ yra aukštis, trapecijos ploto formulė yra:

$S={\frac {(a+b)h}{2}}.$

• Tuo atveju, jei m yra vidurinė linija ir $h$ yra aukštinė, tuomet:

$S=mh.$

• Formulė, kur $a$, $b$ - pagrindai, $c$ ir d yra trapecijos šonai:

$S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {d^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}.$

Ir b>a, c>d.

Tarkime, duota trapecija ABCD su pagrindais BC=a ir AD=b bei su kraštinėmis AB=c ir CD=d, kai AD>BC ir AB>CD. Tada iš taško B nuleista aukštinė h=BE į trapecijos ABCD pagrindą AD atkerta atkarpą AE, kurios ilgis yra:

$AE={\frac {(AD-BC)^{2}+AB^{2}-CD^{2}}{2(AD-BC)}}={\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}.$

Iš trapecijos ABCD taško C nuleista aukštinė h=CF, susikerta su pagrindu AD taške F. Atkarpos DF ilgis yra:

$DF=AD-BC-{\frac {(AD-BC)^{2}+AB^{2}-CD^{2}}{2(AD-BC)}}=b-a-{\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}={\frac {2(b-a)^{2}-(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}=$

$={\frac {(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}.$

Pavyzdis. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra a=7, b=13, c=d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpos, kurią nukerta aukšinė ilgis yra x=3. Tada trapecijos plotas yra $S=a\cdot h+x\cdot h=h(a+x)=4(7+3)=40$ arba $S={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {4(7+13)}{2}}=40.$ Tą patį plotą gausime ir pagal formulę:

$S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {7+13}{2}}{\sqrt {5^{2}-\left({\frac {(13-7)^{2}+5^{2}-5^{2}}{2(13-7)}}\right)^{2}}}=$

$=10{\sqrt {25-\left({\frac {6^{2}}{2\cdot 6}}\right)^{2}}}=10{\sqrt {25-\left({\frac {36}{12}}\right)^{2}}}=10{\sqrt {25-3^{2}}}=10{\sqrt {(25-9)^{2}}}=10\cdot {\sqrt {16}}=40.$

Pavyzdis. Trapecijos pagrindai yra a=7, b=16.92820323, c=8, d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpų, kurias nukerta aukšinė ilgiai yra $x={\sqrt {c^{2}-h^{2}}}={\sqrt {8^{2}-4^{2}}}={\sqrt {64-16}}={\sqrt {48}}=6.92820323;$ y=3. Tada trapecijos plotas yra $S={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {4(7+16.92820323)}{2}}=47.85640646.$ Tą patį plotą gausime ir pagal formulę:

$S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {7+16.92820323}{2}}{\sqrt {8^{2}-\left({\frac {(16.92820323-7)^{2}+8^{2}-5^{2}}{2(16.92820323-7)}}\right)^{2}}}=$

$=11.96410162{\sqrt {64-\left({\frac {98.56921938+39}{19.85640646}}\right)^{2}}}=11.96410162{\sqrt {64-6.92820323^{2}}}=11.96410162{\sqrt {64-48}}=$

$=11.96410162{\sqrt {16}}=47.85640646.$

• Plotas lygiabriaunės trapecijos su spinduliu įbrėžto apskritimo lygiu $r$ ir kampu prie pagrindo $\alpha$ yra:

$S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}.$

• Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę

$S={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {a+b}{a-b}}\ {\sqrt {a-b+c+d}}\ {\sqrt {a-b-c+d}}\ {\sqrt {a-b+c-d}}\ {\sqrt {-a+b+c+d}},$

čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai.

• Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo, esančio priešais nelygiagrečią kraštinę, tarp jų pusei:

$S={\frac {1}{2}}\;$$d_{1}d_{2}\;$$\sin \phi .$

Nuorodos

• http://mkp.emokykla.lt/imo/lt/mo/311/
• http://www-1.ipc.lt/Kupiskio/Subaciaus/Skupaite/html/trapecija.htm
• http://www.neive.by.ru/geometriia/trap.html
• http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=76