Ištrintas turinys Pridėtas turinys
30 eilutė:
30 eilutė:
*Plotas lygiabriaunės trapecijos su spinduliu įbrėžto apskritimo lygiu <math>r</math> ir kampu prie pagrindo <math>\alpha</math> yra:
*Plotas lygiabriaunės trapecijos su spinduliu įbrėžto apskritimo lygiu <math>r</math> ir kampu prie pagrindo <math>\alpha</math> yra:
:<math>S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}.</math>
:<math>S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}.</math>
*Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę
:<math>S=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)},</math>
:čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai.
*Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo, esančio priešais [nelygiagrečią] kraštinę, tarp jų pusei:
:<math>S=\frac{1}{2}\;</math><math>d_1 d_2\;</math><math>\sin\phi.;</math>
==Nuorodos==
==Nuorodos==
20:14, 5 balandžio 2011 versija
Trapecija yra plokščia figūra, kuri turi keturias kraštines ir keturis kampus.
Trapecijos plotas Trapecijos ABCD , kurios du kampai prie pagrindo d =AD yra statūs, a =AB >CD =c, plotas yra:
S
=
1
2
⋅
(
A
B
−
C
D
)
⋅
A
D
+
C
D
⋅
A
D
=
1
2
⋅
(
a
−
c
)
⋅
d
+
c
⋅
d
=
a
⋅
d
2
−
c
⋅
d
2
+
c
⋅
d
=
a
⋅
d
2
+
c
⋅
d
2
=
d
2
(
a
+
c
)
.
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\cdot (AB-CD)\cdot AD+CD\cdot AD={\frac {1}{2}}\cdot (a-c)\cdot d+c\cdot d={\frac {a\cdot d}{2}}-{\frac {c\cdot d}{2}}+c\cdot d={\frac {a\cdot d}{2}}+{\frac {c\cdot d}{2}}={\frac {d}{2}}(a+c).}
Tuo atveju, jei
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
h
{\displaystyle h}
S
=
(
a
+
b
)
h
2
.
{\displaystyle S={\frac {(a+b)h}{2}}.}
Tuo atveju, jei m yra vidurinė linija ir
h
{\displaystyle h}
S
=
m
h
.
{\displaystyle S=mh.}
Formulė, kur
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d yra trapecijos šonai:
S
=
a
+
b
2
c
2
−
(
(
b
−
a
)
2
+
c
2
−
d
2
2
(
b
−
a
)
)
2
=
a
+
b
2
d
2
−
(
(
b
−
a
)
2
−
c
2
+
d
2
2
(
b
−
a
)
)
2
.
{\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {d^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}.}
Ir b>a, c>d. Tarkime, duota trapecija ABCD su pagrindais BC =a ir AD =b bei su kraštinėmis AB =c ir CD =d, kai AD>BC ir AB>CD. Tada iš taško B nuleista aukštinė h=BE į trapecijos ABCD pagrindą AD atkerta atkarpą AE , kurios ilgis yra:
A
E
=
(
A
D
−
B
C
)
2
+
A
B
2
−
C
D
2
2
(
A
D
−
B
C
)
=
(
b
−
a
)
2
+
c
2
−
d
2
2
(
b
−
a
)
.
{\displaystyle AE={\frac {(AD-BC)^{2}+AB^{2}-CD^{2}}{2(AD-BC)}}={\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}.}
Iš trapecijos ABCD taško C nuleista aukštinė h=CF, susikerta su pagrindu AD taške F . Atkarpos DF ilgis yra:
D
F
=
A
D
−
B
C
−
(
A
D
−
B
C
)
2
+
A
B
2
−
C
D
2
2
(
A
D
−
B
C
)
=
b
−
a
−
(
b
−
a
)
2
+
c
2
−
d
2
2
(
b
−
a
)
=
2
(
b
−
a
)
2
−
(
b
−
a
)
2
−
c
2
+
d
2
2
(
b
−
a
)
=
{\displaystyle DF=AD-BC-{\frac {(AD-BC)^{2}+AB^{2}-CD^{2}}{2(AD-BC)}}=b-a-{\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}={\frac {2(b-a)^{2}-(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}=}
=
(
b
−
a
)
2
−
c
2
+
d
2
2
(
b
−
a
)
.
{\displaystyle ={\frac {(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}.}
Pavyzdis . Lygiašonės trapecijos pagrindai yra a=7, b=13, c=d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpos, kurią nukerta aukšinė ilgis yra x=3. Tada trapecijos plotas yra
S
=
a
⋅
h
+
x
⋅
h
=
h
(
a
+
x
)
=
4
(
7
+
3
)
=
40
{\displaystyle S=a\cdot h+x\cdot h=h(a+x)=4(7+3)=40}
S
=
(
a
+
b
)
h
2
=
4
(
7
+
13
)
2
=
40.
{\displaystyle S={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {4(7+13)}{2}}=40.}
S
=
a
+
b
2
c
2
−
(
(
b
−
a
)
2
+
c
2
−
d
2
2
(
b
−
a
)
)
2
=
7
+
13
2
5
2
−
(
(
13
−
7
)
2
+
5
2
−
5
2
2
(
13
−
7
)
)
2
=
{\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {7+13}{2}}{\sqrt {5^{2}-\left({\frac {(13-7)^{2}+5^{2}-5^{2}}{2(13-7)}}\right)^{2}}}=}
=
10
25
−
(
6
2
2
⋅
6
)
2
=
10
25
−
(
36
12
)
2
=
10
25
−
3
2
=
10
(
25
−
9
)
2
=
10
⋅
16
=
40.
{\displaystyle =10{\sqrt {25-\left({\frac {6^{2}}{2\cdot 6}}\right)^{2}}}=10{\sqrt {25-\left({\frac {36}{12}}\right)^{2}}}=10{\sqrt {25-3^{2}}}=10{\sqrt {(25-9)^{2}}}=10\cdot {\sqrt {16}}=40.}
Pavyzdis . Trapecijos pagrindai yra a=7, b=16.92820323, c=8, d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpų, kurias nukerta aukšinė ilgiai yra
x
=
c
2
−
h
2
=
8
2
−
4
2
=
64
−
16
=
48
=
6.92820323
;
{\displaystyle x={\sqrt {c^{2}-h^{2}}}={\sqrt {8^{2}-4^{2}}}={\sqrt {64-16}}={\sqrt {48}}=6.92820323;}
S
=
(
a
+
b
)
h
2
=
4
(
7
+
16.92820323
)
2
=
47.85640646.
{\displaystyle S={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {4(7+16.92820323)}{2}}=47.85640646.}
S
=
a
+
b
2
c
2
−
(
(
b
−
a
)
2
+
c
2
−
d
2
2
(
b
−
a
)
)
2
=
7
+
16.92820323
2
8
2
−
(
(
16.92820323
−
7
)
2
+
8
2
−
5
2
2
(
16.92820323
−
7
)
)
2
=
{\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {7+16.92820323}{2}}{\sqrt {8^{2}-\left({\frac {(16.92820323-7)^{2}+8^{2}-5^{2}}{2(16.92820323-7)}}\right)^{2}}}=}
=
11.96410162
64
−
(
98.56921938
+
39
19.85640646
)
2
=
11.96410162
64
−
6.92820323
2
=
11.96410162
64
−
48
=
{\displaystyle =11.96410162{\sqrt {64-\left({\frac {98.56921938+39}{19.85640646}}\right)^{2}}}=11.96410162{\sqrt {64-6.92820323^{2}}}=11.96410162{\sqrt {64-48}}=}
=
11.96410162
16
=
47.85640646.
{\displaystyle =11.96410162{\sqrt {16}}=47.85640646.}
Plotas lygiabriaunės trapecijos su spinduliu įbrėžto apskritimo lygiu
r
{\displaystyle r}
α
{\displaystyle \alpha }
S
=
4
r
2
sin
α
.
{\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}.}
Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę
S
=
a
+
c
4
(
a
−
c
)
(
a
+
b
−
c
+
d
)
(
a
−
b
−
c
+
d
)
(
a
+
b
−
c
−
d
)
(
−
a
+
b
+
c
+
d
)
,
{\displaystyle S={\frac {a+c}{4(a-c)}}{\sqrt {(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}},}
čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai.
Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo, esančio priešais [nelygiagrečią] kraštinę, tarp jų pusei:
S
=
1
2
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\;}
d
1
d
2
{\displaystyle d_{1}d_{2}\;}
sin
ϕ
.
;
{\displaystyle \sin \phi .;}
Nuorodos 
