Matematika/Trapecijos: Skirtumas tarp puslapio versijų

Naršyti istoriją interaktyviai

← Ankstesnis keitimas Vėlesnis pakeitimas →

Ištrintas turinys Pridėtas turinys

VizualusVikitekstas

Inline

19:29, 5 balandžio 2011 versija

Trapecija yra plokščia figūra, kuri turi keturias kraštines ir keturis kampus.

Trapecijos plotas

Trapecijos ABCD, kurios du kampai prie pagrindo d=AD yra statūs, a=AB>CD=c, plotas yra:

S={\frac {1}{2}}\cdot (AB-CD)\cdot AD+CD\cdot AD={\frac {1}{2}}\cdot (a-c)\cdot d+c\cdot d={\frac {a\cdot d}{2}}-{\frac {c\cdot d}{2}}+c\cdot d={\frac {a\cdot d}{2}}+{\frac {c\cdot d}{2}}={\frac {d}{2}}(a+c).

Tuo atveju, jei $a$ ir $b$ — pagrindai ir $h$ yra aukštis, trapecijos ploto formulė yra:

S={\frac {(a+b)h}{2}}.

Tuo atveju, jei m yra vidurinė linija ir $h$ yra aukštinė, tuomet:

S=mh.

Formulė, kur $a$ , $b$ - pagrindai, $c$ ir d yra trapecijos šonai:

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}.

Ir b>a, c>d.

Tarkime, duota trapecija ABCD su pagrindais BC=a ir AD=b bei su kraštinėmis AB=c ir CD=d, kai AD>BC ir AB>CD. Tada iš taško B nuleista aukštinė h=BE į trapecijos ABCD pagrindą AD atkerta atkarpą AE, kurios ilgis yra:

AE={\frac {(AD-BC)^{2}+AB^{2}-CD^{2}}{2(AD-BC)}}={\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}.

Iš trapecijos ABCD taško C nuleista aukštinė h=CF, susikerta su pagrindu AD taške F. Atkarpos AF ilgis yra:

AF=AD-BC-{\frac {(AD-BC)^{2}+AB^{2}-CD^{2}}{2(AD-BC)}}=b-a-{\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}={\frac {2(b-a)^{2}-(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}=

={\frac {(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}.

Pavyzdis. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra a=7, b=13, c=d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpos, kurią nukerta aukšinė ilgis yra x=3. Tada trapecijos plotas yra

S=a\cdot h+x\cdot h=h(a+x)=4(7+3)=40

arba

S={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {4(7+13)}{2}}=40.

Tą patį plotą gausime ir pagal formulę:

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {7+13}{2}}{\sqrt {5^{2}-\left({\frac {(13-7)^{2}+5^{2}-5^{2}}{2(13-7)}}\right)^{2}}}=

=10{\sqrt {25-\left({\frac {6^{2}}{2\cdot 6}}\right)^{2}}}=10{\sqrt {25-\left({\frac {36}{12}}\right)^{2}}}=10{\sqrt {25-3^{2}}}=10{\sqrt {(25-9)^{2}}}=10\cdot {\sqrt {16}}=40.

Pavyzdis. Trapecijos pagrindai yra a=7, b=16.92820323, c=8, d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpų, kurias nukerta aukšinė ilgiai yra

x={\sqrt {c^{2}-h^{2}}}={\sqrt {8^{2}-4^{2}}}={\sqrt {64-16}}={\sqrt {48}}=6.92820323;

y=3. Tada trapecijos plotas yra

S={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {4(7+16.92820323)}{2}}=47.85640646.

Tą patį plotą gausime ir pagal formulę:

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {7+16.92820323}{2}}{\sqrt {8^{2}-\left({\frac {(16.92820323-7)^{2}+8^{2}-5^{2}}{2(16.92820323-7)}}\right)^{2}}}=

=11.96410162{\sqrt {64-\left({\frac {98.56921938+39}{19.85640646}}\right)^{2}}}=11.96410162{\sqrt {64-6.92820323^{2}}}=11.96410162{\sqrt {64-48}}=

=11.96410162{\sqrt {16}}=47.85640646.

Plotas lygiabriaunės trapecijos su spinduliu įbrėžto apskritimo lygiu $r$ ir kampu prie pagrindo $\alpha$ yra:

S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}.

@@ 16 eilutė: / 16 eilutė: @@
 :<math>AE=\frac{(AD-BC)^2+AB^2-CD^2}{2(AD-BC)}=\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}.</math>
 :Iš trapecijos ''ABCD'' taško ''C'' nuleista aukštinė h=CF, susikerta su pagrindu ''AD'' taške ''F''. Atkarpos ''AF'' ilgis yra:
-:<math>AD-BC-\frac{(AD-BC)^2+AB^2-CD^2}{2(AD-BC)}=b-a-\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}=</math>
+:<math>AF=AD-BC-\frac{(AD-BC)^2+AB^2-CD^2}{2(AD-BC)}=b-a-\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}=\frac{2(b-a)^2-(b-a)^2-c^2+d^2}{2(b-a)}=</math>
+:<math>=\frac{(b-a)^2-c^2+d^2}{2(b-a)}.</math>
 :'''Pavyzdis'''. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra a=7, b=13, c=d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpos, kurią nukerta aukšinė ilgis yra x=3. Tada trapecijos plotas yra <math> S=a\cdot h+x\cdot h=h(a+x)=4(7+3)=40</math> arba <math>S= \frac{(a+b)h}{2}=\frac{4(7+13)}{2}=40.</math> Tą patį plotą gausime ir pagal formulę:

19:29, 5 balandžio 2011 versija

Trapecijos plotas

Nuorodos